SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 85 a 99
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- Josefina Villalobos Río
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1 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 Página 8 1. a) x > / 2 x < 2 / x > 6 / 3 = 2 d) x 4 e) x < 3 f) x 2. a) 1ª ecuación x 2ª ecuación x Son equivalentes. 1ª ecuación x 1 2ª ecuación x 1 Son equivalentes. h) Semirrecta cerrada a la izquierda del 1. Página 88. a) x 1 = 2, x 2 = 4 f(0) = 8 < 0 Solución: [ 2, 4] Página a) mcm (6, 2) = 6 x 24 18x + 3; 27 13x; 27 / 13 x mcm (, 10) = 6 2 (x 3) + 10 > 3x; 2x + 4 > 3x; 4 > x mcm (4, 3, 6) = 12 3x 48 20x 2; 46 17x; 46 / 17 x d) mcm (4, 2) = 4 x 6 (x 2) 4 (x 17); x x 68; 80 9x; 80 / 9 x x 2 2x 24 < 0 x 1 = 4, x 2 = 6 f(0) = 24 < 0 Solución: ( 4, 6) x 1 = 3, x 2 = 7 f() = 4 < 0 Solución: (, 3] [7, + )` 4. Marcaremos las semirrectas abiertas con un punto blanco y las cerradas con un punto negro. a) Semirrecta abierta a la izquierda del 4. Semirrecta cerrada a la derecha del 1. Semirrecta abierta a la derecha del 3. d) Semirrecta cerrada a la derecha del 6. e) Semirrecta abierta a la izquierda del. f) Semirrecta cerrada a la izquierda del 0. g) Semirrecta abierta a la izquierda del 4. d) x 2 + 3x 10 > 0 x 1 =, x 2 = 2-9
2 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 f(0) = 10 < 0 Solución: (, ) (2, + )` Solución: (, 8) ( 3, + ) 6. Actividad personal, por ejemplo: a) x 2 9x + 18 < 0 x 2 + x 6 0 x d) x 2 + x 20 0 e) x 2 x f) x 2 x 12 > 0 d) x 1 = 0, x 2 = 7; Solución: [0, 7] 7. a) x 1 = 2, x 2 = 7; Solución: (2, 7) x 1 = 6, x 2 = 6; Solución: (, 6] [6, + ) x 1 = 8, x 2 = 3; 8. Si no corta el eje de abscisas y la gráfica queda por encima de dicho eje: La inecuación no tiene solución si es del tipo f(x) < 0 ó f(x) 0. La solución es (, + ) si es del tipo f(x) > 0 ó f(x) 0. Se razona de forma análoga si la gráfica queda por debajo del eje de abscisas. Si la gráfica corta en un único punto x = a el eje de abscisas y queda por encima del eje: La inecuación no tiene solución si es del tipo f(x) < 0,. La solución es x = a si es del tipo f(x) 0. La solución es (, a) (a, + ) si es del tipo f(x) > 0. La solución es (, + ) si es del tipo f(x) 0. a) No corta el eje de abscisas y queda por encima del eje. Solución: (, + ) Corta el eje de abscisas en x = 2 y queda por encima del eje. Solución: x = 2-10
3 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 Página a) d) 6 10 Solución: x 6 (, 6] La semirrecta cerrada que queda a la izquierda de x = x Solución: x = 7 La solución es el punto x = 7. 4 x 2 No tiene solución 8 / 7 4 / 3 < x Solución: ( 4 / 3, 8 / 7] = ( 1,3; 1,143] La solución es el intervalo de extremos x = 4 / 3 y x = 8 / 7 abierto por el extremo inferior y cerrado por el superior. 10. Actividad personal, por ejemplo: a) 3 Solución: x = 3 3 > 1 Solución: x = (1, 6) < 6 2 Solución: x = [ 2, 3] 3 d) No existe tal sistema. e) 7 < 2 x = 0 x = x = x 2 1 = 0 x 1 = 1, x 2 = x 0 Sí Sí Sí Sí Sí Sí No x No Sí Sí Sí No No No Solución: [ 1, 1] x 2 1 = 0 x 1 = 1, x 2 = 1 x 2 4 = 0 x 1 = 2, x 2 = x Sí Sí Sí Sí No Sí Sí Sí Sí x No Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí No Solución: [ 2, 1] [1, 2] Página a) No hay solución 3 < 0 < (3, 6] 3 > 0 > 3 La solución es (3, 6]. + 1 > 0 > 1 (, + ) > 0 > + 1 < 0 < 1 (, 1) < 0 < Solución: (, 1) (, + ) 4x 8 2x ; 0 x + 4 x + 4 2x No hay solución + 4 < 0 < 4 Página a) 3x 6 = 0 x = 2 x 2 9 = 0 x 1 = 3, x 2 = x 6 0 No No No Sí Sí Sí Sí x Sí Sí No No No Sí Sí Solución: [3, + ) 2x ( 4, 8] + 4 > 0 > 4 Página 92 Solución: ( 4, 8] 13. a) y 7 x 0 < 7 El origen de coordenadas no pertenece a la solución -11
4 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 y x 1 2 < 0 El punto (1, 2) pertenece a la solución 14. a) Semiplano cerrado por encima de la recta horizontal y = 2. Semiplano cerrado por debajo de la recta horizontal y = 3. Semiplano cerrado a la derecha de la recta vertical x = 0. d) Semiplano abierto a la izquierda de la recta vertical x = 0. e) Semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = 3. f) x > 3 semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = 3. Página a) -x + 4 = y y 4 x 2 1 < 3 El origen de coordenadas no pertenece a la solución x - 2 = y x = 4 y = 1 d) y > 2x 1 2 < 0 El origen de coordenadas pertenece a la solución. y > 3 2x 3x 3 y y = 3x - 3 y = -3-2x -12
5 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 d) y 2 y < 4 x x = 0 y = 4 - x y = -x + 4 y = 0 y = -2 Si añadimos x 0 el sistema no tiene solución: y = x e) 0 / 3 y y = 4 y = 1 y = x / 3 y = x - 1/ 2 f) y > x y = -x x = 0 x = 1 / a) Si añadimos x + 8 y el sistema no tiene solución: y = x + 6 y = x - 2 Si añadimos x 2 el sistema no tiene solución: Página Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Actividad personal. 2. Cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. 3. Se invierte el sentido de la desigualdad. 4. Actividad personal.. Actividad personal. 6. Puede ocurrir cuando la gráfica de la parábola asociada a la inecuación no corta el eje de abscisas. Por ejemplo, si la inecuación es del tipo f(x) < 0 ó f(x) 0 y la gráfica se encuentra por encima del eje horizontal, la inecuación no tiene solución. 7. Actividad personal. 8. Actividad personal. 9. Actividad personal Se despeja y en la inecuación. 2. Se representa la gráfica de la función asociada a la inecuación. 3. Se comprueba si algún punto, en general el origen de coordenadas, verifica la inecuación. Si es así, la solución es el semiplano que contiene a este punto. 11. Por ejemplo: x y -13
6 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a La región factible es la intersección de todas las regiones que son solución de las inecuaciones del sistema y, por lo tanto, es la solución del sistema. 0 El sistema y 0 tiene como solución el x + 3 y triángulo cerrado de vértices (0, 0), (3, 0) y (0, 3). 13. a) No son equivalentes, la solución de la primera es (, 18 / 7] y la de la segunda es (, 6] Son equivalentes, la solución es [ 4, + ) 14. a) x > 6 7 < x x 1 d) x > 7 e) x > 10 f) x 1. a) mcm (11,, 10) = x x 27 x / x 60 3x x > 9x 3 > x d) 3x x x 60 12x x e) 13 6x < x < x 132 / < x f) mcm (2, 3) = 6 3x 2x + 6x 126 7x 126 x 18 h) Semirrecta cerrada a la izquierda de a) x 1 = 2, x 2 = 7 f(0) = 14 < 0 Solución: [ 2, 7] x 2 9x + 10 > 0 x 1 = 7,7; x 2 = 1,3 f(2) = 4 < 0 Solución: ( ; 1,3) (7,7; + ) x 1 = 10,7; x 2 = 1,7 f(0) = 18 < 0 Solución: ( ; 10,7] [1,7; + ) 16. a) Semirrecta abierta a la izquierda de 2. Semirrecta cerrada a la derecha de 4. Semirrecta abierta a la derecha de 0,. d) Semirrecta cerrada a la derecha de 3. e) Semirrecta abierta a la izquierda de 6. f) Semirrecta cerrada a la izquierda de 4. g) Semirrecta abierta a la izquierda de 1,. d) x 2 + 7x 60 < 0 x 1 = 12, x 2 = f(0) = 60 < 0 Solución: ( 12, ) -14
7 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a Actividad personal. En el apartado b consideraremos el intervalo [ 7, 6]. 19. a) x 1 = 11, x 2 = 6 Solución: (, 8) ( 3, + ) e) x 1 = 0, x 2 = 6 Solución: (, 11) (6, + ) x 1 = x 2 = 1 Solución: [0, 6] f) x 1 = 2, x 2 = 13 Solución: (, + ) x 1 = 0, x 2 = Solución: [2, 13] 20. a) x 1 = 8, x 2 = 0, x 3 = 8 f(x) = x 3 64x = x (x 8) (x + 8) Solución: (0, ) d) x 1 = 8, x 2 = x x x f(x) Solución: (, 8) (0, 8) 2x > 0 x = 3-1
8 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 f(x) = 2x = 2 (x 3) (x 2 + 3x + 9) x x 2 + 3x f(x) + 0 Solución: (, 3) x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = x x x f(x) Solución: (, 2) (0, 1) d) x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 2 f(x) = 2x 3 8x = 2x (x 2) (x + 2) x x x Página a) d) e) f(x) Solución: [ 2, 0] [2, + ) 21 2x 21/ 2 x 32 / 6 x 32 6x 32 / 6 x [ 32 / 6, + ) = [ 16 / 3, + ) 9 x 9 / x x 9 / 4x 2 2 / 4 = 1/ 2 (, 9 / ] 0 4 No tiene solución 3x x 3x 18, 1] 16 4x 3 x solución 3 / 3 = 1 x x 1 (, 18 / 3 = 6 16 / 4 = 4 x No tiene 3 x f) 8 8 x 8 [8, + ) 3 2x 3 / 2 x 22. a) x = 2 x 1 = 2, x 2 = 2 0 = 0 < 2 Como 2 < 0 < 2 Solución: [ 2, 2] Intervalo cerrado de extremos 2 y 2. 4x 2 = 0 4x 2 = 0 x = 1 / 2 Como 4x 2 > 0 para el resto de valores Solución: x = 1 / 2 Un único punto, x = 1 / 2. x 2 = 3 x 2 = 3 x 1 = / = 1 O bien, x 2 = 3 x 2 = 1 / Si x = 0, 0 2 = 2 < 3 Por lo tanto, como 1 / < 0 < 1 Solución: ( 1/ /, 1) Intervalo abierto de extremos 1 / = 0,2 y a) 4x 18 = 0 x = 9 / 2 x 2 4 = 0 x 1 = 2, x 2 = 2 9 / x 18 0 Sí Sí No No No No No x Sí Sí Sí No No No Sí Solución: (, 9 / 2] x 2 16 = 0 x 1 = 4, x 2 = 4 x = 0 x 1 = 1, x 2 = x Sí Sí No No No No No Sí Sí x Sí Sí Sí Sí No Sí Sí Sí Sí Solución: (, 4] [4, + ) x 2 2 = 0 x 1 =, x 2 = x 2 = 2 x 1 = 2, x 2 = x Sí Sí No No No No No Sí Sí x 2 2 No No No Sí Sí Sí No No No No tiene solución d) 36 9x = 0 x = 4 x 2 x + 4 = 0 x 1 =1, x 2 = 4-16
9 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a x 0 Sí Sí No No No No No x 2 x No No No Sí Sí Sí No No tiene solución e) x 2 14x + 33 = 0 x 1 = 3, x 2 = 11 3x + 1 = 6 x = x 2 14x Sí Sí Sí Sí No Sí Sí 3x No Sí Sí Sí Sí Sí Sí Solución: [ 3, 3] [11, + ) f) x 2 2x + 1 = 0 x = 1 2x + 1 = 0 x = 1 / 2 1 / 2 1 x 2 2x + 1 > 0 Sí Sí Sí No Sí 2x No Sí Sí Sí Sí Solución: [ 1 / 2, 1) (1, + ) 2x a) ( 4, 4] + 4 > 0 > 4 2x No hay solución + 4 < 0 < 4 La solución es ( 4, 4]. La representación es un intervalo semiabierto por 4 cuyo otro extremo es 4. 4x 0 / 4 [ / 4, + ) 3 + x > 0 > 3 4x 0 / 4 (, 3) 3 + x < 0 < 3 Solución: (, 3) [ / 4, + ) La semirrecta abierta a la izquierda de 3 y la semirrecta cerrada a la derecha de / 4 = 1,2. 2x > 0 / 2 > x ( 6, / 2) + 6 > 0 > 6 2x < 0 / 2 < x No hay solución + 6 < 0 < 6 Solución: ( 6, / 2) El intervalo abierto de extremos 6 y / 2 = 2,. 3x 12 x + 4 d) 4 0 ; 0 x 4 x 4 x x (4, + ) 4 > 0 > 4 x (, 4) 4 < 0 4 > x Solución: (, 4) (4, + ) Todos los puntos de la recta real pertenecen a la solución excepto x = 4. x 10 x + 2 e) 6 0 ; 0 x 2 x 2 x / x (2, + ) 2 > 0 > 2 x / x (, 2 / ] 2 < 0 < 2 Solución: (, 2 / ] (2, + ) La semirrecta cerrada a la izquierda de 2 / = 0,4 y la semirrecta abierta a la derecha de x x + 4 f) + 1 < 0 ; < 0 x + 1 x a) y x + 4 < 0 4 < x (4, + ) + 1 > 0 > 1 x + 4 > 0 4 > x (, 1) + 1 < 0 < 1 Solución: (, 1) (4, + ) La semirrecta abierta a la izquierda de 1 y la semirrecta abierta a la derecha de 4. 0 < 8 x 8 El origen de coordenadas no pertenece a la solución -17
10 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 y 2x < 3 El origen de coordenadas no pertenece a la solución f) y 8x < 1 El origen de coordenadas pertenece a la solución y > 3 2x 0 > 3 / 2 El origen de coordenadas pertenece a la solución d) y x 3 0 < 3 El origen de coordenadas pertenece a la solución 26. a) Semiplano cerrado por encima de la recta horizontal y = 3. Semiplano abierto a la izquierda de la recta vertical x =. Semiplano cerrado a la derecha de la recta vertical x = 4. d) Semiplano cerrado por debajo de la recta horizontal y = 2. e) Semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = 2. f) y > 2x > 0 El punto (0, 1) pertenece a la solución. e) y < 6 2x 18 > 0 El origen de coordenadas no pertenece a la solución -18
11 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a a) e) 2 y 7 2x y = 2x - 2 y = -x + 9 y = 7-2x x = 2 6 x y 2 y x 7 f) y = -x + 7 y = (-6 - x) / 2 y = x x 4 y a) x = 1 y = -2x + 6 y = 0 y = (x - 4) / 2 x = 2 La región está acotada e incluye sus fronteras. d) 1 y 7 y = 7 y = 4 x = -1 y = 1 y = x + 3 y = -x + 3 La región está acotada e incluye sus fronteras. -19
12 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 d) y x + 6 y x + 2 y 2 + x y x 2 y = x - 2 y = -x + 6 y = 2 + x y = -x + 2 La región está acotada e incluye sus fronteras. > 1 y < 3 y > 2x 3 y < 2x + y = 3 x = -1 y = 2x - 3 y = -2x + La región está acotada. Las fronteras correspondientes a las rectas y = 3, x = 1 no están incluidas. y 4x + 8 4x y La solución es el triángulo de y 0 vértices ( 1, 4), ( 2, 0) y (4, 0). Página No, será siempre una semirrecta. Al despejar la x siempre queda una expresión de la forma x a, x a o las correspondientes con las desigualdades estrictas. En los casos en los que las incógnitas se anulan, la inecuación no es de primer grado. Por ejemplo: 3x x 4 + 2x 0 4 No tiene solución pero no es una inecuación de primer grado. 31. Actividad personal. 32. Actividad personal. y x y x y a) Buscamos los valores tales que x 2 x + 6 > 0: x 1 = 2, x 2 = 3 Si evaluamos el polinomio en x = 2, obtenemos 0,2 < 0 x 2 x + 6 > 0 en (, 2) (3, + ) Análogamente, buscamos x tal que: x > 0 x 3 > 0 ya que x > 0 para x 3 todo x El logaritmo tiene sentido en (3, + ). 3. Si x son los minutos de llamada: Precio con TELESTAR f(x) = + 0,x Precio con VODOMENA g(x) = ,3x Interesa escoger VODOMENA cuando f(x) > g(x) + 0,x > ,3x 0,2x > 11 x > Por lo tanto, cuando se sobrepasan los minutos de llamadas. 36. Si x es la cantidad de unidades vendidas (suponemos que fabrica sólo las que va a vender) los beneficios vienen dados por la expresión: 1,4x 1,2x = 0,2x Hay beneficios cuando 0,2x > 0 x > A partir de unidades. 37. x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 f(x) = x 3 4x 2 + x + 6 = (x + 1) (x 2) (x 3) x x x f(x) Solución: [ 1, 2] [3, + ) -20
13 TEMA. INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 8 a 99 Autoevaluación a) 1 + x x < x + x ; 1 < x < x (14 / 31, + ) 31 x 1 = 2, x 2 = 3 Por ejemplo, 2 (2,) , + 12 = 0, x = 0, pertenece a la solución La solución es [2, 3] x + x a) ; x > x > 4 67 < x x x > 3 6 3x 2 + 9x 12 = 0 x 1 = 4, x 2 = 1 x + 20 = 0 x = 20 / = x 2 + 9x 12 > 0 Sí No No No Sí x + 20 < 0 Sí No No No No Solución: (, 4) 3x 2 6x + 3 = 0 x 1 = x 2 = 1 2x 2 14x + 12 = 0 x 1 = 1, x 2 = x 2 6x + 3 > 0 Sí No Sí Sí Sí 2x 2 14x No Sí Sí Sí No Solución: (1, 6] No hay solución 2x + 3 < 0 < 3 / 2 La solución es ( 3 / 2, 12]. 2x + 12 x ; 0 x 4 x 4 x x (4, 24] 4 > 0 > 4 x x No hay solución 4 < 0 < 4 La solución es (4, 24].. Para los valores de x tales que o + > 0 >, + ) x x + x 1 (, 1] [1, x 1 No hay solución + < 0 < La raíz cuadrada existe para los valores de x que pertenecen al conjunto (, 1] [1, + ). > y 1 + x y 2 y = (1 + x) / 2 y = x 3. Actividad personal a) 2x + 3 > 0 > 3 / 2 ( 3 / 2, 12] 7. Los números que buscamos son del tipo 10a + b donde a y b son números naturales. 11, 12, 13, 14, 22, 23-21
Soluciones de las actividades. d) 2x 2 3x + 1 = 0 Δ = 9 8 = 1 > 0 Dos soluciones distintas. 6. Las soluciones son: a) z = b) z = c) z = d) z = e) z =
Soluciones de las actividades Página 7. Si a 0 y b 0, no tiene solución. Si a 0 y b 0, tiene infinitas soluciones. Si a 0, tiene una única solución, -b / a.. Las soluciones son a) 0 + 8; ; / b) + 8 ; ;
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