Tema 3: Aplicación de las Derivadas. 3.0 Conceptos previos

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1 Tema 3: Aplicación de las Derivadas. 3.0 Conceptos previos Diferencia entre función y ecuación Funciones: Pueden tener raíces. Se pueden intentar factorizar. No se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por un número, ya que sería otra función. Podemos hallar el valor de la función para un valor de x. Ecuaciones: Pueden tener soluciones (valores que cumplan la igualdad). Se puede intentar factorizar un miembro de la ecuación. Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por un número ambos miembros de la igualdad, y aunque la convertimos en otra ecuación, esta nueva ecuación tendrá las mismas soluciones que la primera (ecuación equivalente). Soluciones de una ecuación de Segundo Grado Las ecuaciones polinómicas de segundo grado son de la forma ax 2 + bx + c = 0 Las soluciones de una ecuación de segundo grado coinciden con la solución de x = = Ejemplo: -2x 2 + 3x + 2 = 0 x = = ó - En las ecuaciones de segundo grado incompletas ( no es necesario aplicar la fórmula general: o Las ecuaciones del tipo ax 2 + bx = 0 se resuelven sacando factor común: x ( - b) = 0, donde las soluciones serán: Ejemplo: 2x 2-12x = 0 x (2x-12) = o Las ecuaciones del tipo ax 2 + c = 0 se resuelven despejando la incógnita:, donde las soluciones serán: y Ejemplo: x 2-16 = 0 x 2 = Soluciones de una ecuación de Tercer Grado Las ecuaciones polinómicas de tercer grado son de la forma ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 La primera de las soluciones la buscaremos entre los divisores enteros del término independiente (d) Con esa primera solución realizaremos Ruffini, donde nos dará como resto 0. De la ecuación de segundo grado resultante buscaremos el resto de las soluciones. Ejemplo: Divisores de -2 1, -1, 2, -2 =1 es la primera solución Realizamos Ruffini con el 1: El resto debe dar 0. Solucionamos la ecuación de 2º grado resultante: x = = La ecuación tiene tres soluciones:, y - En algunas ecuaciones de tercer grado incompletas podemos seguir otros procedimientos más cortos: o Cuando no hay término independiente: Sacamos x factor común y solucionamos la ecuación de segundo grado resultante. Una solución será, y por lo tanto tendrá como PC el. Ejemplo: Sacamos x factor común: Solucionamos la ecuación de 2º grado resultante: La ecuación tiene dos soluciones:, o Cuando no hay incógnitas de distintos grados : Despejamos la x y solucionamos la igualdad. Ejemplo: Despejamos la x: La ecuación tiene una única solución:

2 3.1 Puntos de Corte con el eje de las Y Si Hallaremos el punto de corte con el eje OY en cualquier función sustituyendo el 0 en la función: f (x) = 1 Punto de corte con el eje OY Una función no tendrá punto de corte con el eje OY si no pertenece al dominio de la función. f (x) Dom 3.2 Puntos de Corte con el eje de las X Si Polinomios de grado 3 (Cúbica): a) Cuando hay término independiente e incógnitas de distintos grados : Hacemos Ruffini una vez y solucionamos la ecuación de segundo grado resultante. f (x) Realizamos Ruffini: º PC: Solucionamos la ecuación de 2º grado resultante: x = = b) Cuando no hay término independiente: Sacamos x factor común y solucionamos la ecuación de segundo grado resultante. Una solución será, y por lo tanto tendrá como PC el. f (x) Sacamos x factor común: 1º PC: Solucionamos la ecuación de 2º grado resultante: c) Cuando no hay incógnitas de distintos grados : Despejamos la x y solucionamos la igualdad. f (x) Despejamos la x: PC: Polinomios de grado 2 (Parábola): Solucionamos la ecuación de segundo grado resultante. f (x) x = = Polinomios de grado 1 (Recta): Despejamos la x. f (x) Polinomios de grado 0 (Recta Horizontal o Asíntota Horizontal): f (x) No tiene punto de corte con el eje OX Racional: Despejamos la x. f (x) Inversa: No tiene punto de corte con el eje OX f (x)

3 3.3 Puntos de Corte en las funciones a trozos Puntos de corte con el eje de las y Si En las funciones a trozos, habrá que tener en cuenta en que rama se encuentra para hallar. Puntos de corte con el eje de las x Si En las funciones a trozos, habrá que igualar a 0 cada rama. Para que las x que nos salgan sean punto de corte con el eje OX, deben pertenecer a la rama correspondiente. Ejemplo: Halla los puntos de corte con los ejes de la siguiente función: - Puntos de corte con el eje OY: Si - Puntos de corte con el eje OX: Si 1ª Rama: Punto corte 1ª rama eje OX: 2ª Rama: P.C. 2ªRama 3.4 Signo El signo es estudiar en qué intervalos toma valores positivos (por encima del eje X) y en qué intervalos toma valores negativos (por debajo del eje X). Cuando la y va a ser positiva y cuando negativa. Para lo cual solucionaremos la inecuación: Pasos: a. Dibujamos una recta real b. Señalaremos los puntos que no pertenezcan al dominio. En esos valores de la X la función no existirá. c. Señalaremos los puntos que hacen que la función se anule ). En esos valores de la X la función corta al eje OX. d. Estudiamos el signo de la función a cada lado de los puntos marcados. Para que una función pase de positiva a negativa, o viceversa (de estar por debajo del eje OX a estar por encima del eje OX, o viceversa) debe o pasar por el eje (valores que anulan la función) o debe atravesar una asíntota vertical (valores que no pertenecen al dominio). Ejemplo: Halla el signo de la función: f (x) Dominio Denominador La función es positiva (por encima del eje x): La función es negativa (por debajo del eje x): La función es nula (corta al eje x) en: La función no existe (puntos que al dominio) en: Ejercicio 1: Halla los puntos de corte con los ejes y el signo de las siguientes funciones: a) d) g) i) f (x) b) e) h) c) f) j) f (x)

4 3.5 Signo en las funciones a trozos Al igual que en las funciones simples, solucionaremos la inecuación: Pasos: a. Dibujamos una recta real b. Si la función está acotada, acotaremos la recta real c. Señalaremos los cambios de rama d. Señalaremos los puntos que no pertenezcan al dominio. En esos valores de la X la función no existirá. e. Señalaremos los puntos que hacen que la función se anule ). En esos valores de la X la función corta al eje OX. En las funciones a trozos tenemos que igualar a cero cada rama. Si los valores que nos salen pertenecen a la rama correspondiente, los incluiremos en la recta real. f. Estudiamos el signo de la función a cada lado de los puntos marcados. Para que una función pase de positiva a negativa, o viceversa (de estar por debajo del eje OX a estar por encima del eje OX, o viceversa) debe o pasar por el eje (valores que anulan la función) o debe atravesar una asíntota vertical (valores que no pertenecen al dominio). Ejemplo: Halla el signo de la función: Cotas y cambio de rama En la cota la función es: En el cambio de rama la función es: La función es positiva (por encima del eje x): La función es negativa (por debajo del eje x): La función es nula (corta al eje x) en: y en Ejercicio 2: Halla los puntos de corte con los ejes y el signo de las siguientes funciones: 3.6 Monotonía de funciones (Crecimiento y decrecimiento). Queremos hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. Para ello hallaremos el signo de la primera derivada: El procedimiento será igual que para el signo de la función, pero con la primera derivada. - : En los intervalos en que la 1ª derivada sea positiva, mi función será creciente. - En los intervalos en que la 1ª derivada sea negativa, mi función será decreciente. - En los puntos en que se anule la 1ª derivada, la función ni crecerá ni decrecerá. En estos puntos podrán existir extremos relativos de la función (siguiente punto del tema)

5 3.7 Extremos relativos (Máximos y mínimos relativos) : En los puntos en que se anule la 1ª derivada, podrán existir extremos relativos (máx. y mínimos). - Máximo relativo : Existe en a un máximo relativo, si en todo entorno reducido de a, toda f de cualquier valor del entorno reducido, es menor que. Si la función es continua en a, y si justo allí pasa de creciente a decreciente, existirá un máximo relativo en a, y valdrá. Para que un máximo relativo de la función sea máximo absoluto,, para cualquier valor de x. Un máximo absoluto es el mayor valor que puede tomar una función en todo su dominio. - Mínimo relativo : Existe en b un mínimo relativo, si en todo entorno reducido de b, toda f de cualquier valor del entorno reducido, es mayor que. Si la función es continua en b, y si justo allí pasa de decreciente a creciente, existirá un mínimo relativo en b, y valdrá. Para que un mínimo relativo de la función sea mínimo absoluto,, para cualquier valor de x. Un mínimo absoluto es el menor valor que puede tomar una función en todo su dominio. La 2ª representación corresponde a una función acotada. En las cotas de dichas funciones nos podremos encontrar extremos absolutos, sin producirse en dichos puntos cambios en el crecimiento de la función. Para saber si en las cotas hay extremos absolutos, nos bastará con hallar el valor de la función en dichas cotas, y compararlas con los extremos relativos de la función. Ejemplo: Determina los intervalos de crecimiento y los extremos de la función: f (x) es En En es Creciente de: es Decreciente de: habrá un máximo habrá un mínimo Monotonía en las funciones a trozos Al igual que en las funciones simples para la Monotonía estudiaremos el signo de la 1ª derivada, resolviendo la inecuación: Al igual que para estudiar el signo de la función, en la recta real tendremos que tener en cuenta: - Si la función está acotada, acotaremos la recta real - Señalaremos los cambios de rama - En las funciones a trozos tenemos que igualar a cero cada rama. Si los valores que nos salen pertenecen a la rama correspondiente, los incluiremos en la recta real. 3.9 Extremos en las funciones a trozos - Si la función está acotada, tendremos que ver el valor de la función en la cota, ya que en ella podremos encontrarnos un extremo absoluto de la función. Habrá que comparar dicho valor con los extremos relativos de la función. - En los cambios de rama tendremos que poner atención. Para que exista un extremo relativo de la función, no basta con que en el cambio de rama haya un cambio en el signo de la monotonía, además debe ser continua en dicho punto.

6 Ejemplo: Halla la monotonía y los extremos de: Cotas y cambio de rama La función es creciente: La función es decreciente: Hay un mínimo local en Hay un posible máximo local en Si la función es continua en Es continua es máximo Observamos: Será un Mínimo absoluto o global Curvatura de funciones (Concavidad, Convexidad y Puntos de Inflexión) Queremos hallar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función. Para ello hallaremos el signo de la segunda derivada: El procedimiento será igual que para el signo de la función, pero con la segunda derivada. - : En los intervalos en que la 2ª derivada sea positiva, mi función será convexa. - En los intervalos en que la 2ª derivada sea negativa, mi función será cóncava. - En los puntos en que se anule la 2ª derivada, la función ni será cóncava ni será convexa. En estos puntos podrán existir puntos de inflexión de la función. Para que exista un punto de inflexión la función tiene que pasar en ese punto de cóncava a convexa o de convexa a cóncava, y ser continua en ese punto. Ejemplo: Determina la curvatura y los puntos de inflexión de la función: 0 1 f (x) es es Convexa en: es Cóncava en: En habrá un Punto de Inflexión En habrá un Punto de Inflexión Ejercicio 3: Halla la monotonía, los extremos relativos, la curvatura y los puntos de inflexión de las funciones: a) d) g) i) f (x) b) e) h) c) f) j) f (x) Ejercicio 4: Halla la monotonía y los extremos relativos de las siguientes funciones: