Universidad de Managua Al más alto nivel Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas. Curso de Programación Unidad IV Lineal Tema.

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1 Universidad de Managua Al más alto nivel Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Estudiantes: F.C.E.A Curso de Programación Unidad IV Lineal Tema Análisis Dualidad de Sensibilidad y Análisis de y Sensibilidad Dualidad Año Académico: III Cuatrimestre 2014

2 Objetivos: Los participantes al finalizar la unidad serán capaces de: Analizar la importancia del problema Dual y su relación con el Primal. Comprender el principio de solución del Método Simplex Dual. Resolver problemas de Programación Lineal mediante el Simplex Dual. Efectuar Análisis de Sensibilidad a una solución dada de un PPL. Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian, ya sea que disminuyen o aumenten. Que ocurre con la función objetivo?

3 Análisis de sensibilidad Introducción. EL objetivo fundamental del Análisis de Sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo).

4 Análisis de sensibilidad Introducción. En algunos casos, cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la solución BF básica factible) óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo de valores para el que la solución BF óptima (con los valores ajustados de las variables básicas) seguirá siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para permanecer factible). El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

5 Variaciones que podemos realizar en el modelo general: Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes tipos de cambios en el modelo original como: 1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, C ij 2. Cambios en los recursos, b i 3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, a ij 4. Adición de una nueva variable y X i 5. Adición de una nueva restricción. a ij >= b i

6 POM-QM WinQSB

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8 EJEMEPLO DE APLICACIÓN DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD Un fabricante produce tres componentes para venderlos a compañías de refrigeración. Los componentes se procesan en dos máquinas: conformadora y ensambladora. Los tiempos (en minutos) requeridos por cada componente en cada máquina se indican en la tabla. La conformadora está disponible por 120 horas y la ensambladora está disponible por 110 horas. No se pueden vender más de 200 unidades del componente 3, pero se pueden vender hasta 1,000 unidades de los otros dos componentes.

9 De hecho la fábrica tiene órdenes de venta por cumplir del componente 1 de 600 unidades. Las utilidades por la venta de cada componente 1, 2 y 3 son, respectivamente $8, $6 y $9. Con el modelo lineal formulado para este problema y resuelto con POM-QM, conteste las siguientes preguntas: a. Cuánto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique? b. Qué sucede si la ensambladora sólo está disponible por 90 horas? c. Si se pudieran conseguir más horas de la máquina ensambladora, Cuánto estaría dispuesto a pagar el fabricante? d. Qué sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del componente 1 a 800 unidades? Y si se incrementa a 1200 unidades? e. Si se pudieran vender más unidades del componente 3 reduciendo su utilidad a $4, Valdría la pena hacerlo?

10 Solución: 1. Formularemos el problema matemático lineal en la forma estándar: a. Comenzamos, denominando las variables de la función objetivo. X 1 : número de unidades del componente 1 producidas. X 2 : número de unidades del componente 2 producidas. X 3 : número de unidades del componente 3 producidas. b. Ahora, como sabemos las utilidades por cada unidad de los tres componentes que producen, construimos la función objetivo. Max Z = 8X 1 + 6X 2 + 9X 3 c. Construimos las restricciones del problema lineal; para lo cual conocemos los tiempos en minutos que cada componente requiere en cada una de las dos máquinas para su construcción, así como los tiempos disponibles por cada máquina.

11 6X 1 + 3X 2 + 4X 3 120x60 (minutos disponibles en la máquina conformadora) 4X 1 + 5X 2 + 2X 3 110x60 (minutos disponibles en la máquina ensambladora) X (tiene órdenes de venta de 600 unidades) X 1 + X (se pueden vender hasta 1000 unidades del componente 1 y 2) X (no se pueden vender más 200 unidades del componente 3) X 2, X 3 0 (no negatividad)

12 d. Modelo completo en la forma estándar Max Z = 8X 1 + 6X 2 + 9X 3 Sujeto a: 6X 1 + 3X 2 + 4X X 1 + 5X 2 + 2X X 1 + X X X X 2, X 3 0

13 2. Ingresamos el modelo que hemos construido en el Software POM-QM. Seleccionamos el Módulo:Linear Programming

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15 Responderemos las preguntas: a. Cuánto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique? En la tabla 3: El componente 2 (representado por la variable X2) como vimos los resultados comentado anteriormente, ese componente no se debe producir con la utilidad actual, por que generaría pérdida, por cada unidad de $2. Si vemos la última columna de la parte superior en la variable X2. Señala que aunque la utilidad aumente en $8 aun no es atractivo producirlo, eso significa que su utilidad debe ser superior a $8 para producirlo.

16 b. Qué sucede si la ensambladora sólo está disponible por 90 horas? Si la ensambladora solo contara con 90x60=5400 minutos disponible. Resulta que los minutos requeridos para ensamblar los 1200 componentes son 4,400 minutos Por lo que aún sobrarían 1000 minutos. Es decir no habría ninguna afectación al modelo óptimo actual.

17 c. Si se pudieran conseguir más horas de la máquina ensambladora, Cuánto estaría dispuesto a pagar el fabricante? Para la producción de los 1200 componentes no se requieren más horas de ensamblaje, al contrario hay un sobrante de 2200 minutos. Por tanto los fabricantes no estarían interesados en pagar tiempo adicional para ensamblaje.

18 d. Qué sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del componente 1 a 800 unidades? Y si se incrementa a 1,200 unidades? Si se vendieran 800 componentes de tipo 1, no pasaría nada, el óptimo seguiría siendo el mismo, ya que del componente 1 se producen Si se incrementaran a 1200 las ventas del componente 1; cambia la solución óptima por completo ya que X1=1200 y X2=0; X3=0 y la contribución total sería de $9600.

19 e. Si se pudieran vender más unidades del componente 3 reduciendo su utilidad a $4, Valdría la pena hacerlo? Si es posible seguirlo produciendo, ya que el mínimo puede llegar a cero y la solución seguirá siendo la misma. Por lo tanto, si valdría la pena, solo disminuiría la utilidad o contribución total a $ $800= $8800.

20 EJEMEPLO 2 DE APLICACIÓN DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD La empresa Emerson S:A: se dedica a la fabricación de tres productos; A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación. El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía. Datos de producción para la compañía (minutos por producto)

21 Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Adicionalmente responda las siguientes preguntas: 1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual permanece 2. Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?

22 3. En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por qué? 4. Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección, cambiaría la función objetivo? 5. En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el departamento de formado? 6. Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de mantenimiento en el departamento de acabado? 7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, cómo se afecta la base actual y el objetivo?

23 11. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3)T, Qué recomendaría? 8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto, recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en qué departamento y cuánto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual? 9. Qué pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A? 10. Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos, el producto A cambiara sus tiempos de fabricación en: a1= (2,3,2) a a1 = (1,2,2)

24 Solución: Considerando la información, se planteó el modelo de programación lineal, como los tiempos de procesos están dados en minutos, convertiremos las 8 horas de trabajo también en minutos. Definimos las variables de decisión como sigue: X1: número de productos tipo A. X2: número de productos tipo B. X3: número de productos tipo C.

25 Al igual que en el ejemplo 1 ingresamos los datos en el módulo activo (linear programming) Tal como se muestra en la imagen siguiente. Debemos recordar que el software POM-QM asume que las variables son no negativas.

26 Ahora procedemos ha resolver el problema haciendo clic en botón Solve.

27 Se nos mostrará la tabla siguiente: Puedo observarse que la solución óptima se obtiene para: X1= 0; X2=48 ; X3=96. Para un valor óptimo de Z=20*0 + 48* *45 = 0 + 1, = $6, de utilidades.

28 Respuestas a las preguntas: 1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual permanece. X2 está entre 22.5 y , X3 está entre 32.5 y 70, la variable X1 no es básica, es decir no se recomienda producir del producto A. 2. Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece? Para formación se puede tener entre 240 y 1440 minutos. Para inspección se puede tener entre 288 y M (ilimitado) minutos. Para acabado se puede tener entre 160 y 960 minutos.

29 3. En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por qué? En acabado, por ejemplo con 2 horas más en acabado se producirían 132 unidades del producto C, actualmente son 96. Con una nueva utilidad de 7,200 contra 6,000 que actualmente se obtienen. El intervalo lo permite con una costo por minuto de U$10. No obstante también se requerirían horas de formación, dado que no hay y son requeridas. La horas extras estarían orientadas para el producto C por ser el más rentable. 4. Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección, cambiaría la función objetivo? No cambiaría la función objetivo, la cual permanecerá igual porque no se afectaría la producción. Los 20 minutos que darían como sobrantes, es decir no se aprovecharían.

30 5. En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el departamento de formado? La utilidad óptima seguiría siendo la misma que la actual, no habría incremento en la producción, y los 50 minutos no serían utilizados. 6. Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de mantenimiento en el departamento de acabado? Si se programan 30 minutos de acabado solo contaríamos con 450 minutos para este proceso, lo que afectaría la producción de la siguiente manera: se producirían 51 unidades tipo B y 87 unidades tipo C, para una utilidad óptima de 5,700.00, teniéndose una pérdida de utilidad de U$ 300 por el tiempo perdido en mantenimiento.

31 7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, cómo se afecta la base actual y el objetivo? Actualmente los costos de producción del producto B es U$50.00 con 25% menos los costos de producción serán de U$ Por lo tanto la utilidad por unidad producida será de (U$37.50+U$15.00=U$52.50) y es vendida en U$ por lo que la utilidad será de U$ Esto afectará la función objetivo, la que lógicamente aumentará su óptimo a U$6, produciendo los mismos productos. 8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto, recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en qué departamento y cuánto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual?

32 El modelo recomienda de acuerdo a los intervalos que se pueden contratar minutos extras en inspección y acabado, siendo el acabado el de mayor costo. Si hay una disminución de costo. Se podría aumentar al máximo recomendado de 8 horas extras o sea 480 minutos en acabado para un total de 960 minutos en acabado. Esto permitirá óptimo de U$ 10, con una producción concentrada en el producto C. que es de mayor rentabilidad. 9. Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A? Si se producen 10 unidades del producto A, las utilidades se reducirían a U$ 5, o sea se tendría una pérdida de U$75.00 con respecto a la utilidad actual.

33 10. Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus tiempos de fabricación en a1= (2,3,2) a a1 = (1,2,2) Seguiría siendo poco atractivo producir el producto A dado su poca utilidad en comparación con los productos B y C. de manera que se seguiría produciendo la misma cantidad de B y C y por lo tanto obtendríamos el mismo óptimo actual. 11. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3), Qué recomendaría? Remplazar el producto A que no es rentable y producir el nuevo producto según el análisis de optimilidad con los parámetros del nuevo producto se vuelve atractivo producirlo, ya que la nueva utilidad neta sería de U$ 9, con tiempo de procesamiento menor. Esto implica ahorro en maquinaria y horas-hombres.

34 Dualidad y análisis de sensibilidad Teoría de dualidad: La teoría de dualidad parte de que asociado a todo problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual. Las relaciones entre el problema dual y el problema original o (primal) son en extremos útiles en una gran variedad de situaciones. Uno de los aspectos más importantes de la teoría de dualidad es la interpretación y realización del análisis de sensibilidad.

35 Dualidad y análisis de sensibilidad Esencia de la teoría de dualidad: Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha. Max Min 0 : 1 1 j i n j j ij n j j j x b x a a sujeto x c Z 0 : 1 1 i j n j i ij m i i i y c y a a sujeto y b W El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el problema primal, pero en diferentes lugares.

36 Dualidad y análisis de sensibilidad Esencia de la teoría de dualidad: Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y del problema dual. Max Z c sujeto x a : Min W yb sujeto a : Ax b ya c x 0 y 0 Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.

37 Dualidad y análisis de sensibilidad

38 Dualidad y análisis de sensibilidad La Wyndor lass Co. Produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres. Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reducción de las ganancias, la alta gerencia ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen ventas potenciales grandes:

39 Dualidad y análisis de sensibilidad Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies x 6. El producto 1 requiere capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía pede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3, no se está claro cual es la mezcla de productos que sería mas rentable.

40 Dualidad y análisis de sensibilidad Se conoce que el número de horas disponible en la semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos productos son las siguientes: Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18 horas. Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades totales. En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en horas en cada planta para producir un lote de cada producto.

41 Dualidad y análisis de sensibilidad Tiempo de producción por lote en hrs Tiempo disponible semanal Planta Producto 1 Producto 2 (horas) Ganancia x lote $3000 $5000

42 Dualidad y análisis de sensibilidad X1: número de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios) X2: número de lotes del producto 2 (ventas corredizas) Z= ganancia semanal total (miles de dólares) al producir puertas y ventas de vidrio. Es un problema típico de mezcla de programación lineal de maximización.

43 Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co : x x x x x x a sujeta x x Z Max : y y y y y y y a sujeta y y y W Min A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y a la derecha el problema dual en forma algebraica.

44 Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co : x x x x a sujeta x x Z Max : y y y y y y a sujeta y y y W Min A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a la derecha el problema dual en forma matricial.

45 Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co. La solución óptima es: Y1=0, Y2=1.5, Y3=1 para z= 36 Z= 0* *12 + 1*18= 36

46 Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co. La solución óptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36 Z=2*3 + 6*5=6+30 = 36 Esto es se debe producir 40 puertas y 120 ventas para utilidad máxima de U$36,000.

47 Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co. El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no básica. La columna Déficit o Superávit muestra los valores de las variables de holgura. La columna precio sombra: esto es, cuanto se estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional de cada recurso.

48 Comparando solución del Primal con el Dual Problema primal Problema Dual

49 Dualidad y análisis de sensibilidad MAX Z= 3X 1 + 4X 2 2X 3 Variables duales S. a: 4X 1 12X 2 + 3X 3 < 12 Y 1 2X 1 + 3X 2 + X 3 < 6 Y 2 5X 1 + X 2 6X 3 < -40 Y 3 3X 1 4X 2 2X 3 < 10 Y 4 X 1 > 0, X 2 < 0, X 3 no restringida en signo Min W = 12Y 1 + 6Y 2 40Y Y 4 S. a: 4Y 1 2Y 2 5Y 3 + 3Y 4 >= 3 12Y 1 + 3Y 2 + Y 3-4Y 4 >= 4 3Y 1 + Y 2 6Y 3 2Y 4 >= -2 Y 1 > 0, Y 2 < 0, Y 3 > 0, Y 4 no restringida en signo