LINGO - Parte 3. Análisis de sensibilidad con LINGO

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Luis Roldán Montes
hace 6 años
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1 Optimització Curs 2006/2007 Assignatura d Estadística, UAB LINGO - Parte 3 Análisis de sensibilidad con LINGO Ejemplo Una carpintería industrial produce tablas de madera de cuatro tamaños: pequeñas, medianas, gruesas y extra-gruesas. Dichas tablas se pueden fabricar en cualquiera de los tres tipos siguientes de máquina: básica, normal y especial. Las capacidades de procesamiento de cada máquina (en términos de centímetros de tabla por hora) son las que figuran en la tabla siguiente: Máquina Tabla Básica Normal Especial Pequeña Mediana Gruesa Extra-gruesa Cada máquina se puede usar hasta 300 horas por mes. Los costes de procesamiento por hora, para cada tipo de máquina, son de 25, 40 y 60 euros respectivamente. Mensualmente se requieren 12000, 9000, 8000 y 8000 centímetros de los distintos tamaños de las tablas. Cuánto tiempo se debe usar cada máquina (mensualmente) para producir cada uno de los 4 tipos de tablas en el plan óptimo que minimice los costes de producción? Hay cuatro tipos de tablas (T1, T2, T3, T4) y tres máquinas (M1, M2, M3). Para cada tipo de tabla i hay una demanda (en centímetros) DEMANDAi. Para cada máquina j hay un coste por hora (en euros) COSTEj. Para producir una tabla de tipo i en la máquina j: -las horas necesarias son HORASij -hay una capacidad de procesamiento por hora, PRODUCCIONij El objetivo es: Minimizar j { COSTEj * (horas total en la máquina j ) } El tiempo total en la máquina j es i ( HORAS ij ), entonces el objetivo es: Minimizar j { COSTEj * i ( HORAS ij ) } 1

2 La primera restricción es la de demanda: la producción total para cada tipo de tabla no se puede se mayor que la demanda para este tipo de tabla: Para cada tipo de tabla (i): { j ( PRODUCCIONij * HORASij )>=DEMANDAi } La segunda restricción es la restricción de horas disponibles en cada máquina: Para cada tipo de máquina (j): { i ( HORAS ij ) <= 300 } Para expresar este problema en el lenguaje del LINGO: Primero definimos los SETS (conjuntos) de problema, es decir los conjuntos primarios TABLAS/ T1 T2 T3 T4 /: DEMANDA; MAQUINAS/ M1 M2 M3 /: COSTE; y el conjunto derivado ENLACE (TABLAS, MAQUINAS):PRODUCCION, HORAS; El objetivo es [objetivo] MIN J)) ); Las restricciones son: 1. Restriccion de TABLAS( I): MAQUINAS( J): PRODUCCION( I, J) * HORAS(I, J) ) >= DEMANDA( I)); 2. Restriccion de tiempo MAQUINAS( J): TABLAS( I): HORAS( I, J)) <= 300); Ejercicio 1 Crear un archivo LINGO y escribir el programa anterior. No olvidar ingresar los datos del problema. 2

3 MODEL: TITLE LINGO3_EJEMPLO; SETS: TABLAS/ T1 T2 T3 T4 /: DEMANDA; MAQUINAS/ M1 M2 M3 /: COSTE; ENLACE (TABLAS, MAQUINAS):PRODUCCION, HORAS; ENDSETS!El objetivo; [Objetivo] MIN );!Restriccion de TABLAS( I): MAQUINAS( J): PRODUCCION( I, J) * HORAS(I,J) ) >= DEMANDA( I));!Restriccion de MAQUINAS( J): TABLAS( I): HORAS( I, J)) <= 300);!Los datos; DATA: DEMANDA = ; COSTE = ; PRODUCCION = ; ENDDATA END Observar, en el programa anterior, la línea TITLE LINGO3_EJEMPLO; que asigna un título a nuestro modelo y se pone después de la línea MODEL:. Si queremos asegurar que hemos ingresado las ecuaciones (objetivo-restricciones) del problema correctamente, LINGO puede crear un informe en que se puede ver todas las ecuaciones en una forma expandida. Por ejemplo, en el programa anterior, se puede seleccionar LINGO -> GENERATE. Aparece el dialogo 3

4 Seleccionando ALGEBRAIC, LINGO nos da el informe siguiente: MIN 60 HORAS( T4, M3) + 40 HORAS( T4, M2) + 25 HORAS( T4, M1) + 60 HORAS( T3, M3) + 40 HORAS( T3, M2) + 25 HORAS( T3, M1) + 60 HORAS( T2, M3) + 40 HORAS( T2, M2) + 25 HORAS( T2, M1) + 60 HORAS( T1, M3) + 40 HORAS( T1, M2) + 25 HORAS( T1, M1) SUBJECT TO R_DEMANDA( T1)] 850 HORAS( T1, M3) HORAS( T1, M2) HORAS( T1, M1) >= R_DEMANDA( T2)] 750 HORAS( T2, M3) HORAS( T2, M2) HORAS( T2, M1) >= 9000 R_DEMANDA( T3)] 650 HORAS( T3, M3) HORAS( T3, M2) HORAS( T3, M1) >= 8000 R_DEMANDA( T4)] 350 HORAS( T4, M3) HORAS( T4, M2) HORAS( T4, M1) >= 8000 R_HORAS( M1)] HORAS( T4, M1) + HORAS( T3, M1) + HORAS( T2, M1) + HORAS( T1, M1) <= 300 R_HORAS( M2)] HORAS( T4, M2) + HORAS( T3, M2) + HORAS( T2, M2) + HORAS( T1, M2) <= 300 R_HORAS( M3)] HORAS( T4, M3) + HORAS( T3, M3) + HORAS( T2, M3) + HORAS( T1, M3) <= 300 END El informe anterior contiene todas las ecuaciones de nuestro modelo en forma expandida. De misma manera, seleccionando LINDO, LINGO nos devuelve nuestro programa escrito en el lenguaje del LINDO. Ejercicio 2 Resolver el problema con LINGO. a) Cuál es el coste de producción mínimo? ( euros) b) Cuál es el tiempo total (en horas) en cada máquina en el óptimo? (M1=0, M2 aprox 50, M3 aprox 24.3) Rango (Range) = análisis de sensibilidad El comando rango (LINGO -> RANGE) se utiliza para generar un informe de rango para el modelo de la ventana activa. El informe de rango muestra sobre qué rangos se puede: 1) cambiar un coeficiente en la función objetivo sin causar un cambio en alguno de los valores óptimos de las variables de decisión, ó 2) cambiar una constante de una restricción (coeficiente del segundo miembro) sin provocar un cambio en los valores óptimos de los precios duales o costos reducidos. 4

5 Por ejemplo, seleccionando RANGE en nuestro ejemplo, aparece la ventana son los datos siguientes: Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease HORAS( T1, M1) INFINITY HORAS( T1, M2) HORAS( T1, M3) INFINITY HORAS( T2, M1) INFINITY HORAS( T2, M2) INFINITY HORAS( T2, M3) HORAS( T3, M1) INFINITY HORAS( T3, M2) INFINITY HORAS( T3, M3) HORAS( T4, M1) INFINITY HORAS( T4, M2) HORAS( T4, M3) INFINITY Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease R_DEMANDA( T1) R_DEMANDA( T2) R_DEMANDA( T3) R_DEMANDA( T4) R_HORAS( M1) INFINITY R_HORAS( M2) INFINITY R_HORAS( M3) INFINITY La primera sección del informe se titula Rangos de Coeficientes Objetivos (Objective Coefficient Ranges). En la primera columna, titulada Variable, se listan por su nombre todas las variables a optimizar. La siguiente columna, titulada Current Coefficient (Coeficiente actual) muestra el coeficiente actual de la variable en la función objetivo. La columna Allowable Increase (Incremento permitido) nos dice el monto en que podríamos incrementar el coeficiente en la función objetivo sin cambiar los valores óptimos de las variables. La última columna, Allowable Decrease (Decremento permitido) muestra el monto en que podríamos disminuir el coeficiente en la función objetivo sin que cambien los valores óptimos en las variables. La información de los incrementos y decrementos permitidos de los coeficientes de la función objetivo es útil para responder a las preguntas como: "Cuanto mas (menos) provechoso puede ser esta actividad antes de que estemos dispuestos a hacer mas (menos) de esto?" Nota: Los rangos son válidos si se quiere cambiar un solo coeficiente de la función objetivo o del segundo miembro de alguna restricción. 5

6 La segunda sección del informe de rango se titula Rangos del Lado Derecho (Righthand Side Ranges). La primera columna, Row (fila), muestra los nombres de todas las filas a optimizar, o restricciones del modelo. La segunda columna, Current RHS (RHS Actual) dice el término constante, o segundo miembro (miembro del lado derecho) de la restricción. Las dos columnas siguientes, Allowable Increase y Alolowable Decrease, nos dice cuanto podemos incrementar o disminuir el coeficiente correspondiente a la restricción, sin afectar a los valores de los precios duales o costos reducidos. Nota: Cada restricción en el modelo del ejemplo está precedida por un nombre encerrado entre corchetes. Esta es una práctica importante si se quiere generar informes de rango. Si no se le ponen nombres a las restricciones, LINGO les asigna un número de fila que utiliza internamente como índice. Este índice interno no corresponderá siempre con el orden de la restricción en el modelo original. Entonces es conveniente nombrar las restricciones para hacer mas entendible el informe de rango. Ejercicio 3 Hacer un análisis de sensibilidad para el problema anterior. a) Qué cambiaría en el valor del coste óptimo si los costes de procesamiento por hora para la máquina 1 incrementarían a 35 euros? ( Allowable increase de HORAS(T1,M1), HORAS(T2,M1) y HORAS(T3,M1) =INFINITY) b) Qué pasaría si los centímetros requeridos mensualmente del tamaño mediano serían 7000? ( Allowable decrease de R_DEMANDA(T2) =9000). Noviembre 2006 Maria Zakynthinaki 6

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