UNIDAD 5. Problema de Transporte

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1 UNIDAD 5 Problema de Transporte En matemáticas y economía, un problema de transporte es un caso particular de problema de programación lineal en el cual se debe minimizar el coste del abastecimiento a una serie de puntos de demanda a partir de un grupo de puntos de oferta posiblemente de distinto número, teniendo en cuenta los distintos precios de envío de cada punto de oferta a cada punto de demanda. Planteamiento Se disponen puntos de oferta o factorías con una producción determinada (representada mediante un vector, F) y puntos de demanda o mercados de demanda determinada (vector M): Además se dispone como dato de una matriz de precios, C, de forma que C ij es el precio de envío por unidad desde la factoría F i al mercado M j : El objetivo es calcular una nueva matriz, X, de forma que X ij sea el número de unidades que se envían de la factoría F i al mercado M j. Con estos datos podemos formular las condiciones que se han de cumplir:

2 El precio total a pagar por el transporte, C T, que se ha de minimizar, se determinará por la suma de los productos del precio de cada unidad por el coste de envío por unidad de cada fábrica a cada mercado: Ejercicio de Problema del Transporte Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en pesetas por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo? Tienda A Tienda B Tienda C Fábrica I Fábrica II En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden generarse inventario del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas. En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que x + y + z = 800. Pero, además, si desde I se envían x unidades a A, el resto, hasta las 1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, x unidades serán enviadas desde II a A. Del mismo modo, si desde I a B se envían y, el resto necesario, y, deben enviarse desde II. Y lo mismo para C, que recibirá z desde I y z desde II.

3 En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho: Envíos a la tienda A (1000) a la tienda B (700) a la tienda C (600) Desde la fábrica I ( 800) x y x - y Desde la fábrica II (1500) x y x + y La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma: Como x + y + z = 800, se tiene que z = x - y, de donde, z = (800 - x - y) = x + y Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades: x 0 ; x 0 ; y 0; y 0 ; x - y 0 ; x + y Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones: 1000 x 0 ; 700 y 0 ; 800 x + y 0 Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costes de transporte. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario. Se obtiene: Z = f(x,y) = 3x + 2( x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) + 6(x + y - 200) = 6x + 10y En definitiva, el programa lineal a resolver es: Minimizar: Z = 6x + 10y sujeto a: 1000 x y x + y 0

4 La región factible se da en la imagen del margen. Sus vértices son A(200,0) ; B(800,0) ; C(100,700) ; D(0,700) y E(0,200). El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es: en A, 4200 en B, 7800 en C, en D, en E, 5000 El mínimo se da en A, cuando x = 200 e y = 0. Luego, las cantidades a distribuir son: Envíos a la tienda A (1000) a la tienda B (700) a la tienda C (600) Desde la fábrica I ( 800) Desde la fábrica II (1500) Uso del Computador en la Solución de Problemas de Programación Lineal: Programas de computación Adicional al programa SOLVER, incluido en EXCEL-2000 de MIcrosoft (cuya explicación didáctica del funcionamiento del programa Solver (445 kb), se incluye en este documento que puede ser bajado por Usted), se incorporan otros programas que operan bajo sistema WIndows 98/ME/2000/XP, debiendo disponer de una computadora actualizada con procesador Pentium II y superiores, memoria mínima de 256 kb y capacidad de disco de 50 MB y los cuales pueden ser bajados a continuación:

5 A.1) El programa WinQSB (3.9 Mb), cuya propiedad intelectual es del Dr. Yih-Long Chang y es aplicable a todos los problemas de Investigación de Operaciones. Para conocer sus usos y aplicaciones, se incorpora el MANUAL DE USO del WINQSB. A.2) El programa PrgLin, cuya propiedad es de la Universidad de Lisboa (Portugal), el cual se aplica para soluciones gráficas de problemas de dos dimensiones. A.3) El programa InvOp (361 kb), desarrollado por la Universidad del Cuyo en Argentina, se aplica para la solución de problemas relacionados con transporte y redes. A.3) El programa Lingo, propiedad de Lindo Systems Inc (USA), que dado su gran tamaño (18.9 Mb), se recomienda que Usted lo recupere directamente de la pagina Web del propietario de dicha tecnología. Uso del programa solver de Excel (Microsoft) Para conocer la aplicación del método SOLVER de EXCEL (Microsoft), se utilizará un ejemplo práctico: Max Z= 10 X1 + 8 X2 Sujeto a: 30X1 +20X2 <= 120 2X1 + 2X2 <= 9 4X1 + 6X2 <= 24 X1,X2 >=0 La única dificultad que tenemos es el de modelar el programa dentro del Excel, y eso, es muy fácil. Por supuesto, hay infinidad de maneras de hacerlo, aquí propongo una. Se activa Excel y en una hoja... Se ubican las celdas que se corresponderán con el valor de las variables de decisión; en éste caso, las celdas B6 y C6, se les da un formato para diferenciarlas de las demás, aquí azul oscuro (ver captura abajo). Se ubica también, las celdas que contendrán los coeficientes de las variables de decisión,

6 B4 y C4, y se llenan con sus respectivos valores, 10 y 8. Aunque éste último paso, se podría omitir y dejar los coeficientes definidos en la celda de la función objetivo, así es mejor para los análisis de sensibilidad y para que la hoja quede portable para otro programa. Se ubica la celda que se corresponderá con la función objetivo (celda objetivo), la B3. En ella se escribe la función que sea, en éste caso, será el coeficiente de X1 (en B4) por el valor actual de X1 (en B6) mas el coeficiente de X2 (en C4) por el valor actual de X2 (en C6) O sea: =$B$4*$B$6+$C$6*$C$4 Coeficientes para la primera restricción: los podemos escribir en la misma columna de las variables de decisión; en las celdas B7 y C7, con los valores 30 y 20, seguido del sentido de la desigualdad (<=) y de su correspondiente RHS: 120. A la derecha ubicaremos el valor actual de consumo de la restricción, ella se escribirá en función de las variables de decisión y de los coeficientes de la restricción. Esta celda, la utilizará Solver como la real restricción, cuando le digamos que el valor de ésta celda no pueda sobrepasar la de su correspondiente RHS. De nuevo será el valor del coeficiente por el de la variable:=b7*$b$6+c7*$c$6. Nótese que ahora B7 y C7 no tienen el signo $. Pues es que luego que se haya escrito ésta celda, se podrá arrastrar hacia abajo para que Excel escriba la fórmula por nosotros (la pereza!), pero tome los valores relativos a los coeficientes que le corresponda a los mismos valores de las variables de decisión. Se repite los pasos anteriores para las otras restricciones, pero ahora la fórmula será: =B8*$B$6+C8*$C$6 y =B9*$B$6+C9*$C$6.

7 El resto del formato es para darle una presentación más bonita a la hoja. Ahora a resolverlo! Al hacer click en Herramientas, Solver se tendrá una pantalla como la siguiente. Lo primero que hay que hacer es especificar la celda objetivo y el propósito: maximizar. Se escribe B3 (o $B3 ó B$3 ó $B$3 como sea, da igual), en el recuadro "cambiando las celdas", se hace un click en la flechita roja, para poder barrer las celdas B6 y C6; lo mismo da si se escriben directamente los nombres.

8 Y ahora para las restricciones: se hace click en agregar... En F7 está la primera restricción, como se puede ver en la captura. Se especifica el sentido de la restricción <=, >= ó =. Aquí también se puede especificar el tipo de variable, por defecto es continua, pero se puede escoger "Int" para entera o "Bin" para binaria. En el recuadro de la derecha establecemos la cota. Aquí podemos escribir 120 pero mejor escribimos $E$7 para que quede direccionado a la celda que contiene el 120, y después lo podríamos cambiar y volver a encontrar la respuesta a manera de análisis de sensibilidad. Se repite éste paso para las otras dos restricciones. La condición de no negatividad hay que incluirla manualmente, así: El cuadro de diálogo debe lucir así:

9 Se hace click en resolver y ya. Parece un poco largo en comparación con los otros paquetes de programación lineal, pero esto se hará sólo una vez, para los próximos programas se podrá utilizar la misma hoja cambiando los coeficientes. Sin embargo, como se puede notar, la flexibilidad de modelar es muy grande, y se puede introducir directamente en una hoja donde se haga el análisis de Planeación Agregada, Transporte, Inventario, Secuencias, balanceo, etc.

10 Realizado por los creadores del sitio: Correspondiente a la unidad 5. Investigación de Operaciones

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