Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009

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1 Programación Lineal y Optimización Segundo Examen Parcial : Profr. Eduardo Uresti, Verano 2009 Matrícula: Nombre: 1. Suponga que se tiene disponible la siguiente información salida de LINDO a un problema de maximización al cual se le ha pedido realice el análisis de sensibilidad. LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X X INFINITY X RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY a) Qué coeficiente tiene X2 en la función objetivo y arriba de qué valor hace que en la solución optima tenga a X2 como variable básica? Tiene 30 y arriba de 35 aparece X2 en la base. b) En la función objetivo, suponga que el coeficiente X2 se incrementa en 3 y que el coeficiente de X3 pasa a ser 20.9, habrá un cambio en las variables básicas? Escoja una opción a. La regla aplica: es seguro que no. b. La regla no aplica: se debería correr el modelo. c. La regla aplica: sí habrá cambio. a. es la respuesta c) Suponga que el lado derecho de la restricción 1 (row 2) se disminuye en 10 y el lado derecho de la restricción 4 (row 5) pasa a ser 9, habrá algún cambio en las variables básicas? No habrá cambio. 2. Una compañía debe entregar 7 tipos de paquetes y hay tres paquetes de cada tipo. La compañía puede rentar 5 camiones diferentes cuyas capacidades son 7, 5, 6, 5, y 4 paquetes, respectivamente. Suponga que el costo de rentar tales camiones es de 100, 50, 50, 60 y 40 dólares, respectivamente. Indique qué camiones rentar y cómo distribuir la mercancía si la compañía quiere minimizar el costo del transporte total con el requisito de que cada camión puede llevar a lo más 2 paquetes de cada tipo. 3. SteelCo produce tres tipos de acero en diferentes instalaciones. En la siguiente tabla se muestra el costo y el tiempo requerido para producir 1 tonelada de acero en cada acerera. Costo Tiempo Planta Acero 1 Acero 2 Acero 3 (min) Cada semana, 100 toneladas de acero de cada tipo deben ser producidas y cada planta dispone de 40 horas semanales. a) Formule y resuelva un problema de transporte balanceado para minimizar el costo al cumplir los requerimientos de la compañía.

2 TC3001, segundo examen parcial 2 b) Suponga que el tiempo para producir cada tipo acero depende de la planta de acuerdo a la siguiente tabla. Se puede todavía formular como un problema de transporte? Tiempo(Min) Planta Acero 1 Acero 2 Acero Inciso b:! Inde de suministro, s es el vector de capacidades ; m /1..3/: s;! Indice de demandas, d es el vector de demandas ; n /1..3/: d;! x(i,j): toneladas de acero j a producir en la planta i;! c(i,j): costo en la planta i de producción de una tonelada de acero j;! ct(i,j): tiempo en minutos invertido por la planta i para producir una tonelada de acero j; links (m,n): x, c, ct; s = 2400, 2400, 2400; d = 100, 100, 100; c = 60, 40, 28, 50, 30, 30, 43, 20, 20; ct = 15, 12, 15, 15, 15, 20, 10, 10, 15; min n(j): c(i,j)*x(i,j) ) n(j): x(i,j)*ct(i,j)) = m(i): x(i,j)) = d(j) ); Global optimal solution found. Objective value: Variable Value Reduced Cost X( 1, 3) X( 3, 1) X( 3, 2) X( 3, 3) La empresa Allí, donde tú estás tiene cuatro empleados para asignar a cuatro solicitudes de reparación de lavadoras en la casa de los clientes, que deben ser atendidos mañana, por lo cual los empleados viajan directamente de su hogar hasta el del cliente. Como la empresa paga la gasolina del auto de los trabajadores, desea ahorrar lo máximo, motivo por el cual necesita conocer la forma de asignar los trabajadores a los clientes de tal manera que se tenga la menor distancia total de viaje de los empleados. La tabla siguiente muestra las distancias desde la casa de cada empleado hasta la de cada cliente.

3 TC3001, segundo examen parcial 3 Cliente Trabajador VD x ij = 1 si el trabajador i realizará el trabajo j Objetivo Minimizar el tiempo total de cada asignación. Restricciones Que cada trabajo se haga un exactamente una persona. Que cada persona haga exactamente un trabajo. TRABAJADOR /1..4/; TRABAJO /1..4/; ASIGNACIONES (TRABAJADOR, TRABAJO): tiempo,x; tiempo = 10, 22, 14, 10, 20, 10, 8, 15, 14, 12, 6, 20, 12, 32, 6, 23; MIN tiempo*x); Global optimal solution found.;! Objective value: ;! X( 1, 4) ;! X( 2, 2) ;! X( 3, 3) ;! X( 4, 1) ; 5. Aplica el algoritmo de Ramificación y Acotamiento para resolver el siguiente PLE: max z = x + 2 y sujeto a con x y y enteros y mayores o iguales que cero. 17 x + 11 y x + 2 y x + 30 y 100

4 TC3001, segundo examen parcial 4 No hay de otra siga el algoritmo de ramificación y acotamiento: la solución da z = 11 con x = 3 y y = 4. Si se sigue siempre como primera rama añadir la restricción x i a i, se requieren de 13 usos del Simplex; Ocurren 4 regiones no factibles y el criterio de aspiración se reajusta 2 veces aunque nunca se acota la búsqueda. a) Nodo 0: P o (Problema inicial), Simplex dice: Z=11.43 con X=3.17 y Y = 4.18 b) Nodo 0.1: P o, X 4, Simplex dice: Z=9.81 con X=4.00 y Y = 2.9 c) Nodo 0.1.1: P o, X 4, Y 3, Simplex dice: Región factible vacía d) Nodo 0.1.2: P o, X 4, Y 2, Simplex dice: Z=8.58 con X=4.58 y Y = 2.0 e) Nodo : P o, X 4, Y 2, X 5, Simplex dice: Z=7.72 con X=5.0 y Y = 1.36 f ) Nodo : P o, X 4, Y 2, X 5, Y 2, Simplex dice: Región vacía g) Nodo : P o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, Simplex dice: Z=7.23, X= 5.23,Y = 1.0 h) Nodo : P o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 6, Simplex dice: RF Vacía i) Nodo : P o, X 4, Y 2, X 5, Y 1, X 5, Simplex dice: Z=7,X=5,Y=1 j ) Nodo : P o, X 4, Y 2, X 4, Simplex dice: Z=8 con X=4 y Y =2 k) Nodo 0.2: P o, X 3, Simplex dice: Z=11.26, X=3.00, Y=4.13 l) Nodo 0.2.1: P o, X 3, Y 5, Simplex dice: RF Vacía m) Nodo 0.2.2: P o, X 3, Y 4, Simplex dice: Z=11, X=3, Y=4 6. Una empresa que fabrica componentes de computadoras tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 900 y 1400 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costos de transporte, en dólares por pieza, son los que aparecen en la tabla siguiente. Cómo debe organizarse el transporte para que el costo sea mínimo? Fábrica Tienda A Tienda B Tienda C I II Variables de decisión x ij son las unidades producidas enviadas de la fábrica i (i = 1 para fábrica I y i = 2 para la fábrica II) a la ciudad j ( j = 1 para la ciudad A, j = 2 para la ciudad B, y j = 3 para la ciudad C) Función objetivo Minimizar los costos de trasporte: 2 3 Minimizar c ij x ij Restricciones i=1 j=1 Cubrir las demandas: No exceder las capacidades: x 11 + x x 12 + x x 13 + x x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x Codificación en LINGO m /1..2/:s; n /1..3/:d; links (m,n): x, c;

5 TC3001, segundo examen parcial 5 s = 900, 1400; d = 1000, 700, 600; c = 3, 7, 1, 2, 2, 6; @sum(n(j):x(i,j)) <= >= d(j) ); end Resultado de LINGO Conclusión El plan de mínimo costo de envio ($5,700 dólares) es: Enviar de I a A 300 unidades Enviar de I a C 600 unidades Enviar de II a A 700 unidades Enviar de II a B 700 unidades Global optimal solution found. Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) X( 1, 2) X( 1, 3) X( 2, 1) X( 2, 2) X( 2, 3) Armadillo Auto considera la fabricación de 3 tipos de autos: Compacto, mediano, y grande. En la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos y las ganancias por cada tipo de auto. En la actualidad se cuenta con 700 toneladas de acero y 70,000 horas de trabajo. Para que la producción de un tipo de auto compacto sea factible hay que fabricar al menos 70 automóviles, para que la producción de autos medianos sea factible se requieren al menos 60, y la de autos grandes requiere al menos 50. Formule un modelo PLE para maximizar la ganancia de Armadillo Auto. Variables de decisión x 1 = número de autos compactos a fabricar x 2 = número de autos medianos a fabricar x 3 = número de autos grandes a fabricar Función objetivo Maximizar la ganancia: COMPACTO MEDIANO GRANDE Acero requerido 1.5 ton 3 ton 5 ton Trabajo requerido 30 horas 25 horas 40 horas Ganancia obtenida 2,000 dólares 3,000 dólares 4,000 dólares Restricciones Maximizar z = 2000 x x x 3

6 TC3001, segundo examen parcial 6 Recurso: Acero Recurso: Horas de trabajo Condiciones de fabricación 1.5 x x x x x x x 1 = 0 ó x 1 70 x 1 M y 1 y 70 x 1 M (1 y 1 ) x 2 = 0 ó x 2 60 x 2 M y 2 y 60 x 2 M (1 y 2 ) x 3 = 0 ó x 3 50 x 3 M y 3 y 50 x 3 M (1 y 3 ) Codificación en LINGO n /1..3/:x,y,g,a,h;! Ganancias por cada auto; g = 2000, 3000, 4000;! Acero requerido por auto; a = 1.5, 3, 7;! Horas de trabajo requeridas por auto; h = 30, 25, 40; <= <= x(i) <= 10000*y(i); 100-x(i) <= 10000*(1-y(i)); ); end Salida de LINGO Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X( 1) X( 2) X( 3) Conclusión El plan de máxima ganancia consiste en producir 466 autos chicos, y se obtendrá una ganancia de $932,000 dólares.

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