RESOLUCION DE EJERCICIOS DEL CAPITULO 2. Variables de decisión:

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1 RESOLUCION DE EJERCICIOS DEL CAPITULO 2 EJERCICIO 2.1: Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo. Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar como embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. Tampa = T Plantas Miami = M Orlando = O Jacksonville = J Huertos Gaineisville = G Huertos O G Plantas T M J Variables de decisión: X OT = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino T. X OM = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino M X OJ = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino J. X GT = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino T. X GM = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino M X GJ = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino J. EJERCICIO 2.2: Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable No necesita formular el modelo. Pensión Planners, Inc., administra una cartera particular que consiste en 1800, 1000 y 500 acciones de fondos mutuos. Dadas ciertas suposiciones sobre las condiciones económicas en los siguientes 2 meses, el administrador de la agenda desea determinar el número de acciones de cada fondo por vender o comprar en cada uno de los siguientes dos meses, para maximizar el valor esperado de la agenda. 1

2 . Fondo1 Ventas Fondo2 Compras Fondo3 Variables de decisión: X 1 = cantidad de acciones del fondo 1 por vender en los siguientes dos meses. X 2 = cantidad de acciones del fondo 2 por vender en los siguientes dos meses. X 3 = cantidad de acciones del fondo 3 por vender en los siguientes dos meses. X 4 = cantidad de acciones del fondo 1 por comprar en los siguientes dos meses. X 5 = cantidad de acciones del fondo 2 por comprar en los siguientes dos meses. X 6 = cantidad de acciones del fondo 3 por comprar en los siguientes dos meses. F1 = cantidad total de acciones del fondo 1 al final de los dos meses. F2= cantidad total de acciones del fondo 2 al final de los dos meses. F3 = cantidad total de acciones del fondo 3 al final de los dos meses. EJERCICIO 2.3: Para el ejercicio 2.1, el huerto que está cerca de Orlando tiene libras de naranjas y el huerto cercano a Gainesville tiene libras de naranjas. La planta de Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos libras de naranjas. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Restricciones de no negatividad: X i >= 0 siendo i = 1 6 Restricciones de producción: X OT + X OM + X OJ < = X GT + X GM + X GJ < = naranjas Orlando puede enviar hasta libras de naranjas Gainesville puede enviar hasta libras de 2

3 Restricciones de demanda: X OT + X GT >= 8000 X OM + X GM >= X OJ + X GJ >= naranjas. Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas Miami requiere al menos libras de naranjas. Jacksonville requiere al menos libras de EJERCICIO 2.4: Al determinar el número de acciones por comprar o vender en el ejercicio 2.2, la administración nunca desearía vender más acciones de las que tiene. Asimismo, el fondo 1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo 2, y este último tampoco debe tener más del doble del número de acciones del fondo 3. Finalmente, la cantidad total invertida en cada fondo no debe exceder los $ Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Restricciones de no negatividad: X i >= 0 siendo i = 1 6 Restricciones de venta: F1 = X 4 X 1 F2 = X 5 - X 2 F3 = X 6 - X 3 El total del fondo1 es lo que tiene más lo que compra y vende. El total del fondo2 es lo que tiene más lo que compra y vende. El total del fondo3 es lo que tiene más lo que compra y vende. X 1 < = X 4 X 2 < = X 5 X 3 < = X 6 Lo que hay para vender del fondo1 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. Lo que hay para vender del fondo2 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. Lo que hay para vender del fondo3 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. Restricciones de compra: F1 < = 2 * F2 F2 < = 2 * F3 El fondo1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo2 El fondo2 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo3 Restricciones de inversión: F1 < = La cantidad total invertida en el fondo1 no debe exceder los $ F2 < = La cantidad total invertida en el fondo2 no debe exceder los $ F3 < = La cantidad total invertida en el fondo3 no debe exceder los $

4 EJERCICIO 2.5 Para el ejercicio 2.1, use la técnica de descomposición para expresar la función objetivo de maximización de ganancias dados los siguientes datos de costo e ingresos: COSTO DE EMBARQUE ($/Ton) A DESDE TAMPA MIAMI JAKSONVILLE Orlando Gainesville INGRESOS ($/ton de naranjas procesadas) Tampa 550 Miami 750 Jacksonville 600 Función objetivo de maximización de ganancias: Z = (X OT * Ingresos - X OT * Costos) + (X OM * Ingresos - X OM * Costos) + (X OJ * Ingresos - X OJ * Costos) + (X GT * Ingresos - X GT * Costos) + (X GM * Ingresos - X GM * Costos) + (X GJ * Ingresos - X GJ * Costos) Z = (X OT * X OT * 50) + (X OM * X OM * 75) + (X OJ * X OJ * 60) + (X GT * X GT * 60) + (X GM * X GM * 90) + (X GJ * X GJ * 45) Mediante Lingo: MAX = (Xot*550 - Xot*50)+(Xom*750 - Xom*75)+ (Xoj*600 - Xoj*60)+(Xgt*550 - Xgt*60)+ (Xgm*750 - Xgm*90)+(Xgj*600 - Xgj*45); Xot >=0; Xom >=0; Xoj >=0; Xgt >=0; Xgm >=0; Xgj >=0; Xot+Xom+Xoj <=20000; Xgt+Xgm+Xgj <=12000; Xot+Xgt >=8000; Xom+Xgm >=11000; Xoj+Xgj >=11000; 4

5 Solution Report Global optimal solution found at step: 10 Objective value: E+08 Variable Value Reduced Cost XOT XOM XOJ XGT XGM XGJ Row Slack or Surplus Dual Price E Mediante Solver:: 5

6 Celdas cambiantes Nombre Valor final Valor inicial Xot>= Xom>= Xoj>=0 0 0 Xgt>= Xgm>=0 0 0 Xgj>= Restricciones Nombre Valor final lado Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial lado derecho izquierdo derecho izquierdo Xot+Xom+Xoj<= Xgt+Xgm+Xgj<= Xot+Xgt>= Xom+Xgm>= Xoj+Xgj>= Función objetivo EJERCICIO 2.6: Z = (Xot* Xot* 50) + (Xom * Xom * 75) + (Xoj * Xoj * 60) + (Xgt * Xgt * 60) + (Xgm * Xgm * 90) + (Xgj * Xgj * 45) Z= Para el ejercicio 2.2, suponga que al final del segundo mes se espera que el precio por acción del Fondo 1 sea $28, que el del Fondo 2 sea $60 y el del Fondo 3, $45. Formule una restricción para asegurar que con estos precios, el valor de la cartera al final del segundo mes sea al menos $ Ilustre el uso de la descomposición. Restricción de ganancia: 28 * F * F * F3 > = Función Objetivo: Z = 28 * ( X 4 X 1 ) + 60 * ( X 5 X 2 ) + 45 * ( X 6 X 3 ) Z = 28* F * F * F3 Mediante Lingo: MAX = 28*( X4 - X1)+ 60*( X5 - X2)+ 45*(500 + X6 - X3); X1 >=0; X2 >=0; X3 >=0; X4 >=0; 6

7 X5 >=0; X6 >=0; X4 - X1 <= 2*( X5 - X2); X5 - X2 <= 2*(500 + X6 - X3); 28*( X4 - X1) <= 75000; 60*( X5 - X2) <= 75000; 45*(500 + X6 - X3) <= 75000; 28*( X4 - X1)+ 60*( X5 - X2)+ 45*(500 + X6 - X3) >= ; Solution Report Global optimal solution found at step: 4 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X X X E-05 X X Row Slack or Surplus Dual Price

8 Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre Valor inicial Valor final X1>= X2>=0 0 0 X3>=0 0 0 X4>= X5>= X6>= Restricciones Nombre Valor inicial Valor Final Valor inicial lado izquierdo Valor Final lado izquierdo lado derecho lado derecho F3 500+X6-X F X4-X1<= 2*F F X5-X2<= 2*F F1 28*(1800+X4-X1)<= F2 60*(1000+X5-X2)<= F3 45*(500+X6-X3)<= *F1+60*F2+45*F3>= Función objetivo: Z= 28*F1 + 60*F2 + 45*F3 Z= EJERCICIO 2.7: World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: GASOLINA TURBOSINA QUEROSENO Crudo ligero Crudo pesado La refinería se ha comprometido a entregar barriles de gasolina, barriles de turbosina y barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión: X1= cantidad de barriles de petróleo ligero X2= cantidad de barriles de petróleo pesado 8

9 Restricciones de no negatividad: X i >= 0 siendo i = 1 2 Restricciones de producción: 0.45 * X * X2 > = cantidad de barriles de gasolina a entregar 0.18 * X * X2 > = cantidad de barriles de turbosina a entregar 0.30 * X * X2 > = cantidad de barriles de queroseno a entregar Función objetivo: Minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. MIN = 25 * X * X2 EJERCICIO 2.8 Reconsidere el ejercicio 2.7. Cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de 0.07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta $1.50 por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales usando los mismos datos del ejercicio 2.7. Función objetivo: Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50) Resolución: Solution Report Mediante Lingo: MIN= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50); X1>=0; X2>=0; 0.45 * X * X2 > = ; 0.18 * X * X2 > = ; 0.30 * X * X2 > = ; 9

10 Global optimal solution found at step: 8 Objective value: E+08 Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or Surplus Dual Price E Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre Valor Inicial Valor final X1>= X2>= Restricciones Nombre 0.45 * X * X2 > = * X * X2 > = * X * X2 > = Valor final Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial lado derecho izquierdo derecho lado izquierdo Función objetivo Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50) Z= EJERCICIO 2.9: 10

11 Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la siguiente tabla: MATERIA PRIMA MANO DE OBRA (libras) (horas) Compactos Subcompactos Costo unitario ($) Total disponible La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos pueden venderse a $ cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Costo de un auto compacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 200* *70 = $3260 Costo de un auto subcompacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 150* *70 = $2900 Variables de decisión: X1= cantidad de carros compactos X2= cantidad de carros subcompactos Función objetivo: Maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). MAX = (X1* X2*8000) (X1* X2*2900) Restricciones de no negatividad: X i >= 0 siendo i = 1 2 Restricciones de disponibilidad: X1* X2*1500 <= Total disponible de materia prima X1*18 + X2*20 <= 9000 Total disponible de mano de obra X1<= 1500 a lo más 1500 compactos pueden venderse X2<= 200 a lo más 200 subcompactos pueden venderse Mediante Lingo: MAX = (X1* X2*8000)- (X1* X2*2900); 11

12 X1>=0; X2>=0; X1*200 + X2*150 <= ; X1*18 + X2*20 <= 9000 ; X1<= 1500; X2<= 200; Solution Report Global optimal solution found at step: 3 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or Surplus Dual Price Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre Valor Inicial Valor final X1>= X2>= Restricciones Nombre Valor final Valor final Valor inicial Valor inicial lado derecho lado izquierdo lado derecho lado izquierdo X1*200 + X2*150 <= X1*18 + X2*20 <= X1<= X2<= Función objetivo Z= (X1* X2*8000) (X1* X2*2900) Z= EJERCICIO 2.10: 12

13 Fresh Dairy Farms tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: LECHE MANTEQUILLA QUESO DESCREMADA Máquina min/gal 0.5 min/lb 1.5 min/lb Máquina min/gal 0.7 min/lb 1.2 min/lb Ganancia neta $0.22/gal $0.38/lb $0.72/lb Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. Variables de decisión: X1= cantidad de leche descremada X2= cantidad de mantequilla X3= cantidad de queso Función objetivo: Maximice las ganancias corporativas netas. MAX = 0.22 * X * X * X3 Restricciones de no negatividad: X i >= 0 siendo i = 1 3 Restricciones de producción: X1>= 300 producción mínima de leche X2>=200 producción mínima de mantequilla X3>=100 producción mínima de queso X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480 producción diaria en máquina 1 X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <=480 producción diaria en máquina 2 Mediante Lingo: MAX = 0.22 * X * X * X3; X1>= 300; X2>=200; X3>=100; X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480; X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <=480; Global optimal solution found at step: 7 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X X Row Slack or Surplus Dual Price

14 Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre Valor Inicial Valor final X1>= X2>= X3>= Restricciones Nombre Valor final lado Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial lado derecho izquierdo derecho izquierdo X1>= X2>= X3>= X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480 X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <= Función objetivo Z=0.22 * X * X * X3 Z= 309 EJERCICIO 2.11: Cada galón de leche, libra de queso y libra de manzanas proporciona un número conocido de miligramos de proteínas y vitaminas A, B y C. La siguiente tabla incluye esos datos junto con los requerimientos diarios de los ingredientes nutricionales, según lo recomendado por el Departamento de Agricultura de los EE.UU. La tabla también incluye la cantidad mínima de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo. LECHE QUESO MANZANAS REQUERIMIENTOS (mg/gal) (mg/lb) (mg/lb) MÍN. DIARIOS (mg) Proteínas Vitamina A Vitamina B Vitamina C Cantidad mínima 0.5gal 0.5lb 0.5lb Costo unitario ($) Como dietista de una escuela pública, formule un modelo para determinar la comida de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión: X1= cantidad de leche a consumir. X2= cantidad de queso a consumir 14

15 X3= cantidad de manzanas a consumir Función objetivo: Costo mínimo de comida que reúna todos los requerimientos nutricionales. MIN = 2.15 * X * X * X3 Restricciones de no negatividad: X i >= 0 siendo i = 1 3 Restricciones de consumo mínimo: 40 * X * X * X3 >= 80 requerimiento mínimo diario de proteínas 5 * X * X * X3 >= 60 requerimiento mínimo diario de vtamina A 20 * X * X * X3 >= 50 requerimiento mínimo diario de vitamina B 30 * X * X * X3 >= 30 requerimiento mínimo diario de vitamina C X1 > = 0.5 cantidad mínima de leche, a consumir diariamente X2 > = 0.5 cantidad mínima de queso, a consumir diariamente X3 > = 0.5 Mediante Lingo: MIN = 2.15 * X * X * X3; 40 * X * X * X3 >= 80; 5 * X * X * X3 >= 60; 20 * X * X * X3 >= 50; 30 * X * X * X3 >= 30; X1 > = 0.5; X2 > = 0.5; X3 > = 0.5; Global optimal solution found at step: 7 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X X Row Slack or Surplus Dual Price E E Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre Valor Inicial Valor final X1>=0 0,00 1,05 X2>=0 0,00 1,09 X3>=0 0,00 0,50 cantidad mínima de manzanas, a consumir diariamente 15

16 Restricciones Nombre Valor final Valor final Valor inicial Valor inicial lado derecho lado izquierdo lado derecho lado izquierdo 80,00 80,00 0,00 80,00 40 * X * X * X3 >= 80 5 * X * X * X3 60,00 60,00 0,00 60,00 >= * X * X * 73,92 50,00 0,00 50,00 X3 >= * X * X * 116,35 30,00 0,00 30,00 X3 >= 30 X1 > = 0.5 1,05 0,50 0,00 0,50 X2 > = 0.5 1,09 0,50 0,00 0,50 X3 > = 0.5 0,50 0,50 0,00 0,50 Función objetivo Z=2.15 * X * X * X3 Z= 5,35 EJERCICIO 2.13: Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de $ galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $ disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión: TIPO DE CAMIÓN CAPACIDAD (galones) COSTO DE COMPRA ($) COSTO DE OPERACIÓN ($/mes) MÁXIMO DE VIAJES/MES Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar mas de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requieren para su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. 16

17 Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfagan las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión: XI :Nº de camiones tipo I Restricciones de costo: X1+X2+X3 <= 10 X3 >=3 Restricciones de X1 - X2 - X3 <= 0 demanda: Inversión Inicial X X X <= Restricciones de contrato X X X >= Función objetivo: Min [800 X X X3] Mediante Lindo: MIN 800 X X X3 ST X X X3 <= X X X3 <= X1 + X2 + X3 <= 10 X3 >= 3 X1 - X2 - X3 <= 0 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) NO.ITERATIONS=1 EJERCICIO 2.14: World Airlines reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos en donde da servicio. La turbosina puede comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La tabla 17

18 indica (1) el costo de entrega (compra mas embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto, (2) el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cada mes y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto. COSTO DE ENTREGA CANTIDAD DE COMBUSTIBLE REQUERIDO AEROPUERTO Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor Provisión máxima Formule un modelo para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total, satisfaciendo al mismo tiempo por lo menos la demanda mensual a cada aeropuerto y no excediendo el suministro de cualquier vendedor. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión XIj : cantidad de gasolina del vendedor j al aeropuerto i Restricciones X1 + X5 + X9 >= 150 X2 + X6 + X10 >= 250 X3 + X7 + X11 >= 350 X4 + X9 + X12 >= 480 X1 + X2 + X3 + X4 <= 300 X5 + X6 + X7 + X8 <= 600 X9 + X10 + X11 + X12 <= 700 Función Objetivo : Z= Min [X X X X X X X X X X X X ] Mediante Lindo: MIN 900 X X X X X X X X X X X X12 ST X1 + X2 + X3 + X4 <=

19 X5 + X6 + X7 + X8 <= 600 X9 + X10 + X11 + X12 <= 700 X1 + X5 + X9 >= 150 X2 + X6 + X10 >= 250 X3 + X7 + X11 >= 350 X4 + X9 + X12 >= 480 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) NO.ITERATIONS=5 EJERCICIO 2.15: Mason Communication Commision ha recibido solicitudes de asignación de frecuencias de cuatro nuevas estaciones de radio. Dos frecuencias de radio interfieren si están a 0.5 megahertz de distancia. Las siguientes frecuencias (en meagahertz) están actualmente disponibles: 100.0, 100.1, 100.3, 100.7, 101.0, 101.1, 101.4, Formule un modelo para determinar si la comisión puede 19

20 asignar cuatro nuevas frecuencias y, si es asi, cuáles. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. (Sugerencia: es usted libre para asignar o no cada frecuencia, así que considere las variables 0-1.) Variables de decisión: X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Restricciones: Xj = 0;1 son enteras X1 + X2 + X3 <= 1 X3 + X4 <= 1 X4 + X5 + X6 <= 1 X5 + X6 <= 1 X5 + X6 +X7 <= 1 X6 + X7 <= 1 X7 + X8 <= 1 Función objetivo: Z= MAX X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 Resolución: Mediante Lindo: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) E+00 MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 ST X1 + X2 + X3 <= 1 X3 + X4 <= 1 X4 + X5 + X6 <= 1 X5 + X6 <= 1 X5 + X6 + X7 <= 1 X6 + X7 <= 1 X7 + X8 <= 1 END VARIABLE VALUE REDUCED COST X X

21 X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS 2) ) ) ) ) ) ) DUAL PRICES NO. ITERATIONS= 0 EJERCICIO 2.16: La cuidad de Dakota Heigts desea determinar cuántas subestaciones postales se requieren para dar servicio a su población. La ciudad ha sido dividida en ocho zonas postales. Se han identificado cinco ubicaciones posibles para las subestaciones. Cada ubicación puede dar servicio a un número de zonas, como se indica en la siguiente tabla: UBICACIÓN ZONAS QUE SE PUEDEN ATENDER 1 1,2,3 2 1,4,5 3 2,4,5,8 4 3,5,6,8 5 6,7,8 Formule un modelo para determinar el menor número de subestaciones ( y sus ubicaciones) necesarias para dar servicio a las ocho zonas postales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. (Sugerencia: defina una variable apropiada para cada ubicación.) Variables de decisión: Xi : ubicación i ocupada / no ocupada ( 0 o 1) Restricciones: X1 + X2 <= 1 X1 + X3 <= 1 X1 + X4 <= 1 X2 + X3 <= 1 21

22 X2 + X3 + X4 <= 1 X4 + X5 <= 1 X3 + X5 <= 1 Función objetivo: Z= MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 Resolución: Mediante Lindo: MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 ST X1 + X2 <= 1 X1 + X3 <= 1 X1 + X4 <= 1 X2 + X3 <= 1 X2 + X3 + X4 <= 1 X4 + X5 <= 1 X4 + X5 <= 1 X3 + X5 <= 1 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X X X X X

23 X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 0 EJERCICIO 2.17: Tres divisiones de Twinsburg Company fabrican un producto en el que cada unidad completa consiste en 4 unidades de componente A y 3 unidades del componente B. Los dos componentes (A y B) se fabrican a partir de 2 materias primas diferentes. Existen 100 unidades de la materia prima 1 y 200 unidades de la materia prima 2 disponibles c/1. Cada una de las tres divisiones usa un método diferente para fabricar los componentes, dando como resultado distintos requerimientos de materia prima por corrida de producción en cada división y el numero de cada componente producido por esa corrida. ENTRADA SALIDA MATERIA COMPONENTE PRIMA DIVISION 1 2 A B Por ejemplo cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la materia prima 1 y 6 unidades de la materia prima 2. El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Como gerente de producción, formule un modelo de producción para determinar el numero de corridas de producción para cada división que maximice el numero total de unidades terminadas del producto final. Variables de decisión: XU: Número de corridas de la división de 1. XD: Número de corridas de la división de 2. XT: Número de corridas de la división de 3. A: Número del componente A. B: Número del componente B. 23

24 C: Número del componente C. Resolución: Restricciones Mediante Lindo: 8 XU + 5 XD + 3 XT <= XU + 9 XD + 8 XT <= 200 7XU + 6 XD + 8 XT = A 7 XU + 6 XD + 8 XT A = 0 5 XU + 9 XD + 4 XT = B 5 XU + 9 XD + 4 XT B =0 MAX 4 A + 3 B SUBJECT TO 6 XU + 9 XD + 8 XT >= XU + 5 XD + 3 XT <= XU + 6 XD + 8 XT - A = 0 5 XU + 9 XD + 4 XT - B = 0 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST A B XU XD XT ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS= 2 EJERCICIO 2.18: Los dos productos que produce case chemicals, CS-01 y CS-02, generan cantidades excesivas de tres contaminantes diferentes A, B, C. El gobierno estatal le ha ordenado a la compañía que instale y emplee dispositivos anticontaminantes. La siguiente tabla proporciona las emisiones diarias actuales en kg/1000 litros y el máximo de cada contaminante permitido en kg. CONTAMINANTE CS-01 CS-02 MAXIMO PERMITIDO A

25 B C El gerente del departamento de producción aprobó la instalación de dos dispositivos anticontaminantes. Las emisiones de cada producto pueden ser manejadas por cualquiera de los dos dispositivos en cualquier proporción. (las emisiones se envían a través de un dispositivo solamente una vez, es decir, la salida de un dispositivo no puede ser la entrada del otro o de si mismo). La siguiente tabla muestra el porcentaje de cada contaminante proveniente de cada producto que es eliminado por cada dispositivo. CONTAMINA NTE DISPOSOTIVO DISPOSOTIVO DISPOSOTIVO DISPOSOTIVO CS-01 CS-02 CS-01 CS-02 A B C Por ejemplo, si la emisión de CS-01 se envía a través del dispositivo 1, se elimina 40% del contaminante A, 60% del contaminante B y 55% del contaminante C. Las consideraciones de fabricación dictan que CS-01 y CS-02 deben producirse en la proporción de dos a uno. Formule un modelo para determinar un plan que maximice la producción diaria total (cantidad de CS-01 + CS- 02) al mismo tiempo que satisfaga los requerimientos gubernamentales. Variables de decisión: CSUU: cantidad de producto CS-01 enviados por el dispositivo 1. CSUD: cantidad de producto CS-01 enviados por el dispositivo 2. CSDU: cantidad de producto CS-02 enviados por el dispositivo 1. CSDD: cantidad de producto CS-02 enviados por el dispositivo 2. Resolución: Mediante Lindo: MAX CSUU + CSUD + CSDU + CSDD SUBJECT TO 15 CSUU CSUD <= CSDU + 32 CSDD <= 43 4 CSUU + 10 CSUD <= 20 6 CSDU + 15 CSDD <= CSUU + 28 CSUD <= CSDU + 12 CSDD <= 50 END 25

26 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST CSUU CSUD CSDU CSDD ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 3 EJERCICIO 2.19: Philadelphia Paint Company produce 3 tipos de pinturas: Standard, Quality y Premium. Las instalaciones actuales pueden producir un máximo de gal de Standard, gal de Quality y 500 gal de Premium al día. Debido a la economía de escala, el costo de producir cada tipo de pintura disminuye al aumentar el número de gal producidos. Por ejemplo si se producen X gal de pintura Standard, entonces el costo por gal es a-b*x. La siguiente tabla proporciona los valores de a y b; el precio de venta por gal, y la demanda diaria mínima por cada tipo de pintura. VALORES DE VALORES DE TIPO DE a b Precio de venta Demanda PINTURA ($/gal) minima (gal) Standard Quality Premiun La compañía puede producir un total combinado de hasta gal de pintura al día. Como supervisor de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de pintura a producir para maximizar la ganancia (ingreso menos costo). Variables de decisión: S: cantidad de galones de pintura Standad Q: cantidad de galones de pintura Quality P: cantidad de galones de pintura Premiun Mediante Lindo: MAX 3.5 S + S S Q + Q Q + 6 P + P P ST S + Q + P <= S >=

27 Q >= 6000 P >= 2500 S <= Q <= P <= 5000 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST S Q P ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 2 EJERCICIO 2.20: Formule el problema de agenda de High Tech en el ejercicio 2.4 sección usando como variable de decisión 1 sí High Tech no debe invertir y 0 si High Tech debe invertir. Proyectos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Rendimiento Total Bio-Tech Tele-comm Laser-Optics Compu-Ware Fondo de inversión Variables de decisión: B = 1 si High Tech debe invertir en Bio-Tech B = 0 si High Tech no debe invertir en Bio-Tech T = 1 si High Tech debe invertir en Tele-comm T = 0 si High Tech no debe invertir en Tele-comm L = 1 si High Tech debe invertir en Laser-Optics L = 0 si High Tech no debe invertir en Laser-Optics 27

28 C = 1 si High Tech debe invertir en Compu-Ware C = 0 si High Tech no debe invertir en Compu-Ware Mediante Lindo: MAX 250 B T L C SUBJECT TO 2) 60 B + 35 T + 10 L + 15 C <= 90 3) 10 B + 35 T + 50 L + 10 C <= 80 4) 10 B + 35 T + 50 L + 10 C <= 80 5) 10 B + 35 T + 10 L + 40 C <= 50 6) T + L <= 1 END Resolución: INTE 4 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE VALUE = NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 0 PIVOT 4 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST B T L C ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 4 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 EJERCICIO 2.21: Containers Inc. ha recibido un pedido para hacer tambores de acero cilíndricos con la base y la tapa circulares. El volumen total de conteiner debe ser al menos de 10 pies cúbicos. El costo del acero para hacer el costado del contenedor es de 3 $/pie cuadrado. El costo de la base y la tapa es de 3.82 $/pie cuadrado. Formule un modelo para minimizar el costo de acero requerido. Variables de decisión: 28

29 R: radio del cilindro en [pie] H: altura del cilindro en [pie] Restricciones R R 1 H > 10 Funcion Objetivo: MIN R H + R 24 R Mediante Lindo: MIN R H + R 24 R ST R R 1 H > 10 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST R H ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) NO. ITERATIONS= 1 EJERCICIO 2.24: Lether Company produce guantes de béisbol, balones y correas de piel de cuero que es procesado en una maquina. Para la próxima semana se tienen en existencia 1000 metros cuadrados de cuero y 40 hs de maquina. Se desea determinar un plan de producción de la semana que maximice las ganancias netas. a- Identifique las variables. G: cantidad de guantes a producir. B: cantidad de balones a producir. C: cantidad de correas a producir. b- Identifique los datos adicionales. CG: cantidad de m 2 de cuero para producir un guante. CB: cantidad de m 2 de cuero para producir un balón. CC: cantidad de m 2 de cuero para producir una correa. TG: cantidad de hs para producir un guante. TB: cantidad de hs para producir un balón. TC: cantidad de hs para producir una correa. PG: precio de venta de un guante. PB: precio de venta de un balón. 29

30 PC: precio de venta de una correa. CoG: precio de costo de producción de un guante. CoB: precio de costo de producción de un balón. CoC: precio de costo de producción de una correa. c- Formule el modelo. Restricciones G CG + B CB + C CC <= 1000 G TG + B TB + C TC <= 40 Función Objetivo MAX (PG - COG)*G + (PB - CoB)*B + (PC - CoC)*C EJERCICIO 2.25: Los nutriólogos de HealthNut Company están diseñando un nuevo bocadillo hecho de palomitas de maíz inflado y mantequilla de cacahuete natural. El objetivo es minimizar el costo total de estos ingredientes, pero el producto final debe contener al menos 4 gramos de proteína, no mas de 10 gramos de carbohidratos y 2 gramos de grasa saturada. a. Identifique las variables. b. Identifique y asigne un nombre a cada valor de datos adicional que tendrá obtener para poder formular un modelo matemático. c. Formule un modelo matemático usando los nombres de variables de (a) y los nombres simbólicos para los datos de (b). Mediante Lindo: MIN A 1 D1 + N 1 D2 SUBJECT TO P1 1 A + P2 1 N >= 4 C1 1 A + C2 1 N <= 10 F1 1 A + F2 1 N <= 2 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST A D N

31 D P P C C F F ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) NO. ITERATIONS= 0 EJERCICIO 2.26: El departamento de Investigación ha identificado seis proyectos en los que Hight Tech puede elegir invertir o no. Cada proyecto ha sido evaluado para determinar la cantidad de capital que debe invertirse, la tasa esperada de devolución y también un factor de riesgo usando un algoritmo patentado. Estos datos se resumen en la siguiente tabla: Proyecto Capital requerido Tasa de devolución Riesgo $ (%) Los socios generales han acordado que el riesgo total, obtenido añadiendo los factores de riesgo para cada proyecto respaldado, no debe exceder de 3, y que no deben emprenderse mas de dos proyectos con un factor de riesgo mayor de 0,6. Usando las variables: 1, si se emprende el proyecto i Pi = i = 1,..., 6 0, si no se emprende el proyecto i un socio general ha formulado el siguiente modelo para determinar que proyecto respaldar para maximizar el rendimiento esperado en un año sobre la cantidad invertida y mantenerse en un presupuesto de $1 millón: Maximizar 10 P P P P P P6 Condicionado por 100 P P P P P P6 <= P P P P P P6 >= 3 P1, P2, P3, P4, P5, P6 >= 0 31

32 Es correcto este modelo? Si no es así, identifique y corrija todos los errores. Resolución: Mediante Lindo: MAX 10 P P P P P P6 SUBJECT TO 100 P P P P P P6 <= P P P P P P6 <= 3 P1 <= 1 P2 <= 1 P3 <= 1 P4 <= 1 P5 <= 1 P6 <= 1 P1 >= 0 P2 >= 0 P3 >= 0 P4 >= 0 P5 >= 0 P6 >= 0 P3 + P4 = 1 P3 + P6 = 1 P4 + P4 + P6 <= 2 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST P P P P P P ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) )

33 12) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 5 EJERCICIO 2.27: Chirality Company debe producir al menos tornillos pequeños y tornillos grandes para satisfacer de la demanda de las sig. 4 semanas. Estos tornillos pueden producirse en 2 maquinas distintas, cada una de las cuales esta disponible 40 horas a la semana. Los requerimientos de costo y tiempo para producir cada tamaño de tornillo en cada maquina y el precio de venta de cada tamaño de tornillo se muestran en la sig. Tabla: Tornillos pequeños Tornillos grandes Precio de venta($/1000) Costo en la maquina 1 ($/1000) Costo en la maquina 2 ($/1000) Tiempo en la maquina 1 (min/lb) Tiempo en la maquina 2 (min/lb) En cada libra hay aproximadamente 60 tornillos pequeños y 40 tornillos grandes. Usando las variables: S 1 = el numero de miles de tornillos pequeños por producir en la maquina 1 durante las sig. 4 semanas. S 2 = el numero de miles de tornillos pequeños por producir en la maquina 2 durante las sig. 4 semanas. L 1 = el numero de miles de tornillos grandes por producir en la maquina 1 durante las sig. 4 semanas. L 2 = el numero de miles de tornillos grandes por producir en la maquina 2 durante las sig. 4 semanas. El gerente de producción ha formulado el sig. modelo para maximizar la ganancia y satisfacer la demanda con la disponibilidad limitada de tiempo de maquina en las sig. 4 semanas: Maximizar S S L L 2 Condicionado por: S 1 + S 2 >= L 1 + L 2 >= S L 1 <= S L 2 <= 40 S 1, S 2, L 1, L 2 >= 0 Es correcto este modelo? Si no es así, identifique y corrija todos los errores. Mediante Lindo: 33

34 MAX S S L L2 SUBJECT TO S1 + S2 >= 600 L1 + L2 >= S L1 >= S L2 >= 160 END Resolución: SLK 4 S1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) E+08 VARIABLE VALUE REDUCED COST S S L L ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS= 4 34