LECTURA 7.1. SIMULACIÓN POR COMPUTADORA: APLICACIONES Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO Mathur K. y Solow D. Prentice Hall México

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1 LECTURA 7.1 SIMULACIÓN POR COMPUTADORA: APLICACIONES Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO Mathur K. y Solow D. Prentice Hall México

2 SIMULACIÓN POR COMPUTADORA: APLICACIONES Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO Hipoteca de tasa fija o de tasa variable? Comprar una casa es probablemente la mayor inversión que usted hará, y una diferencia de incluso una fracción de punto porcentual en su hipoteca puede tener un inmenso impacto en sus finanzas. La tasa variable que usted está considerando está ligada a la economía global. La tarea por hacer, entonces, es proyectar el curso de la tasa variable de la economía sobre el periodo de 15 años de la hipoteca y comparar la tasa variable resultante con respecto a la tasa fija. La hipoteca con tasa variable será la mejor opción? No puede esperar a que sucedan las cosas, debe tomar una decisión ahora. En el presente capitulo se verá como podría encontrar la respuesta a su pregunta sobre la hipoteca, mediante la realización de una simulación repetida en su computadora, y utilizando la información resultante para evaluar la alternativa de tasa variable En el capitulo 14, usted aprendió los conceptos básicos de la simulación. Varios ejemplos sencillos sirvieron para ilustrar la metodología general. Recuerde, sin embargo, que la principal ventaja de la simulación es el estudio de sistemas grandes y complejos que no puedan ser revisados fácilmente con un análisis matemático directo. En este capítulo, usted verá como se aplica la simulación a problemas de diferentes áreas, incluyendo un problema sobre finanzas, uno sobre administración de inventarios y uno sobre un sistema de colas. Aprenderá también como usar el análisis estadístico para determinar el número de corridas de simulación o repeticiones que hay que hacer para que pueda lograr un nivel deseado de confianza en el valor resultante UNA SIMULACION FINANCIERA Un área en la que los tomadores de decisiones aplican comúnmente la simulación es la de problemas financieros. Las decisiones en los problemas financieros dependen de diferentes condiciones económicas futuras que son inciertas en el momento en que se debe tomar la decisión. Un modelo de simulación apropiado le permite evaluar los resultados probables de tales condiciones, según se ilustra en el siguiente problema de hipotecas. 2

3 Descripción del problema Suponga que está a punto de comprar una casa y debe decidir de que manera financiar su adquisición. Tiene dos opciones. Una es conseguir una hipoteca f1ja a 15 años a18% sin puntos (un punto es 1% de la cantidad hipotecada). La otra opción es una hipoteca de tasa variable a 15 años, con una tasa inicial de 7%. Esta tasa se ajusta cada tres años en la cantidad de cambio de la tasa principal (una tasa clave que los bancos cargan a sus mejores clientes) que se haya presentado en dicho periodo. La tasa máxima es 10%. Los meritos de las dos hipotecas se analizan sobre la base de 15 pagos anuales hechos al final de cada ano, aunque el análisis puede hacerse igualmente bien utilizando 180 pagos mensuales. Las tasas principales futuras, desde luego, son desconocidas, pero suponga que un economista respetado le ha dicho que cree que la probabilidad de que esta tasa cambie en cualquier periodo de tres años es como sigue: Diseño de la simulación Como se vio en la sección del capitulo 14, antes de diseñar los detalles de una simulación por computadora, es muy importante tener un claro entendimiento de los objetivos del estudio en forma de resultados numéricos específicos. Para el problema de la hipoteca, es necesario comparar los pagos anuales de las hipotecas de tasa fija y tasa variable. Con el propósito de simplificar el ejemplo, no se toman en cuenta las implicaciones impositivas de las dos hipotecas, pero pueden incluirse utilizando registros contables adicionales. La cantidad principal total de la hipoteca es la misma en ambos casos, de modo que la comparación puede realizarse sobre una base "por $1000". Un planteamiento común para comparar dos formas de pago consiste en realizar un análisis de flujo de efectivo basado en el valor presente neto, que toma en cuenta el valor temporal del dinero. Por ejemplo, preferiría usted $1.00 ahora o $1.10 dentro de un año? La respuesta depende de la tasa de descuento (interés). Si puede obtener mas de 10% de interés, preferiría $1.00 ahora porque su valor será mayor a $1.10 dentro de un año. En general, el valor presente neto 1 (NPV) de una cantidad $A en algún tiempo 3

4 futuro t es la cantidad $P que se tendría que invertir ahora, con una tasa de descuento conocida, de modo que $P valga $A en el tiempo t. Por ejemplo, si A es $100, t = 3 y la tasa de descuento es 8% anual, entonces el valor presente neto es P = $ Esto es, P = $79.38 invertidos ahora con una tasa de interés de 8% anual crecerán a A = $100 al final de t = 3 años. Las fórmulas matemáticas específicas necesarias para obtener el valor presente neto se presentaran cuando se requieran en la presente sección. Para utilizar el concepto de valor presente neto en la comparación de dos hipotecas, calcule lo siguiente: 1. Los pagos anuales basados en la tasa de hipoteca fija. 2. Los pagos anuales basados en la tasa de hipoteca variable. 3. La cantidad en la cual el pago variable excede al pago fijo, por cada ano. 4. El valor presente neto de estas diferencias, utilizando una tasa de descuento apropiada. Depende de usted la selección de la tasa de descuento apropiada, basándose en otras oportunidades de inversión que haya tenido. Por ejemplo, si usted cree que en los próximos 15 años puede obtener un promedio de 6% en un fondo de depósito, entonces su tasa de descuento es de 6%. Para el objetivo del ejemplo, la tasa de descuento utilizada aquí es el promedio de las cinco tasas variables que se aplican durante cada uno de los cinco periodos de tres años. Un valor presente neto positivo para esta diferencia indica que la hipoteca de tasa fija es preferible, pues se espera que cueste menos en términos del valor actual del dinero. En resumen, entonces, el valor presente neto de las diferencias en los quince pagos anuales de las dos hipotecas constituyen el resultado de la presente simulación. El siguiente paso consiste en identificar las entradas de la simulación. Estos valores, una vez determinados, le permiten calcular el valor presente neto. Recuerde de la sección 14.3, capítulo 14, que las entradas se dividen en las siguientes tres categorías: 1. Las condiciones iniciales, que en este caso expresan una tasa de interés inicial de 7% para la hipoteca de tasa variable. 2. Los datos determinísticos que consisten en los siguientes: a. La tasa de interés de 8% para la hipoteca de tasa fija. 1 Valor presente neto (NPV) Cantidad de dinero que se tendría que invertir ahora, a una tasa de descuento conocida, de modo que ésta valga una cantidad de dinero A en algún tiempo futuro t. b. La cantidad principal de $1000. c. El plazo del préstamo, que es de 15 años. 4

5 3. Los datos probabilísticos que se generan cuando es necesario y que consisten en las tasas de interés aplicables a la hipoteca de tasa variable durante cada uno de los cuatro periodos restantes de tres años Una vez que se han identificado los resultados y los datos de entrada para calcularlos, usted necesita generar números aleatorios adecuados y desarrollar un esquema asociado de contabilidad Generación de números aleatorios Las entradas probabilísticas para la presente simulación son las cuatro tasas de interés al inicio de los años 4, 7,10 y 13 de la hipoteca de tasa variable. La cantidad en la cual difiere cada tasa de su antecesora deberá seguir la distribución dada en la descripción del problema. Para generar un número aleatorio a partir de esta distribución discreta, utilice el procedimiento presentado en la sección 14.3, capítulo 14. Es decir: 1. Genere un número aleatorio entre 0 y 1, a saber, U. 2. Determine el cambio en la tasa de interés basándose en el lugar que ocupe este valor de U en la tabla TABLA 15.1 Uso de números aleatorios uniformes para determinar el cambio en la tasa de interés Por ejemplo, recuerde que la tasa de interés variable para los años 1-3 es de 7%. Para generar la tasa de interés para los años 4-6, elija arbitrariamente un número aleatorio uniforme entre 0 y 1, digamos U = , tomado de la hilera 16 y la columna 1 de 5

6 la tabla del apéndice A. De acuerdo con la tabla 15.1, la tasa de interés disminuye en 0.5% debido a que el valor de Use encuentra en el intervalo de 0.60 a O.75. Por consiguiente, la tasa de interés para los años 4-6 es: Tenga en consideración, sin embargo, que siempre que esta tasa de interés exceda 10%, los términos de la hipoteca demandan que solamente se cargue 10% Diseño del esquema de contabilidad Una de las mejores formas de plantear el esquema de contabilidad consiste en utilizar la técnica del trabajo en un problema específico. Tome valores específicos para los datos de entrada y realice, a mano, los cálculos necesarios para determinar el resultado. En este caso, usted necesita calcular los pagos anuales de cada una de las dos opciones de hipoteca. Recuerde los datos siguientes, que corresponden a la descripción del problema dada en la sección : Principal = P = 1000 Tasa de interés fija = i = Factor de valor presente = r = = = i 1.08 Número de años restantes = n = 15 El pago anual al final del ano para la hipoteca de tasa fija se calcula mediante la formula: i Pago = P * 1 r n 0.08 = 1000* 1 ( ) 15 = $

7 Por el contrario, el pago anual para la hipoteca de tasa variable cambia cada tres años, basándose en la tasa de interés aplicable, en el principal restante y en el número de años que faltan. CONTABILIDAD PARA LOS AÑOS 1-3 Para los primeros tres años, el interés de tasa variable es 7% (de modo que i = 0.07 y r = 1/(1 + i) = = ). El principal restante es P=1000, de manera que el pago en cada uno de estos años es: i Pago = P * 1 r n 0.07 = 1000* 1 ( ) 15 = $ Para calcular el pago para cada uno de los siguientes tres años, es decir, para los años 4, 5 y 6, primero es necesario saber cuanto del principal falta por ser pagado. En otras palabras, una porción de cada uno de los pagos anuales de $ es por intereses y el resto es para pagar el principal. En particular, para el ano 1: Principal inicial= 1000 Pago = Interés al 7% = 0.07 * 1000 = Pago principal = (pago) - (interés) = = Principal restante = (principal inicial) - (pago principal) = = Por consiguiente, al inicio del año 2, el principal restante es de $ Cálculos parecidos para los años 2 y 3 tienen como resultado la tabla siguiente: 7

8 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 Principal inicial Pago Interés Pago principal Principal restante CONTABILIDAD PARA LOS AÑOS 4-6 Para determinar el pago anual de cada uno de los siguientes tres años sobre el principal no pagado de $ y 12 años restantes de deuda, es necesario utilizar números aleatorios para generar la tasa de interés aplicable. Seleccione arbitrariamente un número aleatorio inicial uniforme entre 0 y 1, de la tabla del apéndice A, digamos U= del renglón 16 y la columna 1. De acuerdo con la tabla 15.1, la tasa de interés disminuye en 0.5% pues este valor de U cae dentro del intervalo comprendido entre 0.60 y Por consiguiente, la tasa de interés para los años 4-6 es: Interés en los años 4-6 = (interés en los años 1-3) - (cambio) = = 6.5% En consecuencia, para estos tres años: Principal = P = Tasa de interés fija = i = Factor de valor presente r = = = i y, de este modo, el pago anual para este periodo es: i Pago = P * 1 r n = * 1 ( ) 12 8

9 = $ Para calcular el pago por cada uno de los tres años siguientes, esto es, para los años 7, 8 y 9, primero es necesario conocer cuanto del principal queda por ser pagado. En otras palabras, una porción de cada uno de los pagos anuales de $ es por concepto de intereses y el resto se abona al capital principal. En particular, para el año 4: Principal inicial = Pago = Interés a17% = * = Pago principal = (pago) - (interés) = = Principal restante = (principal inicial) - (pago principal) = = Así pues, al inicio del año 5, el principal restante es de $ Cálculos semejantes para los años 5 y 6 tienen como resultado la tabla siguiente: AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 Principal inicial Pago Interés Pago principal Principal restante

10 CONTABILIDAD PARA LOS AÑOS 7-9 Para determinar el pago anual por cada uno de los siguientes tres años sobre el principal no pagado de $ y nueve años restantes, es necesario utilizar números aleatorios para generar la tasa de interés aplicable. Seleccione el siguiente numero aleatorio uniforme entre 0 y 1 de U = , tornado de la hilera 16 y la columna 2 de la tabla del apéndice A. De acuerdo con la tabla 15.1, la tasa de interés disminuye en 1.0%, porque este valor de U cae dentro del intervalo comprendido entre 0.75 y Por consiguiente, la tasa de interés para los años 7-9 es: Interés en los años 7-9 = (interés en los años 4-6) - (cambio) = = 5.5% RESUMEN DE LA CONTABILIDAD EN LOS AÑOS 1-15 Realizando cálculos parecidos para los años restantes se tiene como resultado la información que se presenta en la tabla Esta tabla representa el esquema de contabilidad necesario para seguir el rastro de los 15 pagos anuales utilizados para comparar la hipoteca de tasa variable con la de tasa fija. El paso final consiste en comparar los dos flujos de pago mediante el cálculo del valor presente neto de la diferencia en los pagos anuales. CONTABILIDAD PARA COMPARAR LOS PAGOS ANUALES Recuerde que para comparar las dos hipotecas es necesario calcular lo siguiente: TABLA 15.2 Pagos anuales para la hipoteca de tasa variable AÑO Saldo inicial Pago variable Interés Principal Saldo restante

11 AÑO Saldo inicial Pago variable Interés Principal Saldo restante Los pagos anuales basados en la hipoteca de tasa fija. 2. Los pagos anuales basados en la hipoteca de tasa variable. 3. Por cada año, la cantidad en la cual el pago variable excede al pago fijo. 4. El valor presente neto de estas diferencias utilizando una tasa de descuento que es el promedio de las cinco tasas variables aplicables durante cada uno de los cinco periodos de tres años. Los valores para los pagos 1 a 3 se resumen en las primeras cuatro columnas de la tabla Para encontrar los valores presentes netos de tales diferencias, es necesario calcular la tasa de descuento. Utilice las cinco tasas de interés para la hipoteca de tasa variable que aparecen en la tabla 15.3 para calcular la tasa de descuento: Tasa de descuento = tasa de interés promedio = [(tasa en los años 1-3) + (tasa en los años 4-6) + (tasa en los años 7-9) + (tasa en los años 10-12) + (tasa en los años 13-15)1/5 = ( )/5 = 6.7% Mediante el uso de los siguientes datos, se tiene: Tasa de descuento = d =

12 1 1 Factor de valor presente = r = = = d El valor presente neto de cualquier cantidad A al final del año m se calcula con la fórmula: Valor presente neto = A * r n TABLA 15.3 Comparación de los pagos anuales de las dos hipotecas para la hipoteca de tasa variable AÑO TASA DE VARIABLE FIJO DIFERENCIA VPN INTERÉS Total

13 Por ejemplo, para el primer año, la diferencia en los pagos anuales es de A = $ $ = -$7.04, y, de este modo, el valor presente neto de esta cantidad es: Valor presente neto = A * r = * ( )' = De manera similar, para el segundo año, en el cual m = 2 y la diferencia en los pagos anuales es también A = -7.04, Valor presente neto = A * r = * ( ) t = = De manera similar, para el segundo año, en el cual m = 2 y la pagos anuales es también A = -7.04, diferencia en los Valor presente neto = A * r = * ( ) 2 = =

14 CORRIDA U TASA U TASA U TASA U TASA VPN TABLA 15.4 Resumen de las 35 simulaciones del problema de las hipotecas Desv. Est = Media =

15 El resultado de hacer estos cálculos para cada uno de los trece años restantes se resume en la última columna de la tabla Sumando los 15 números que hay en esta columna se obtiene que el valor presente neto de las diferencias en los pagos anuales de las dos hipotecas es de Esto significa que, en la presente simulación, es preferible la hipoteca de tasa variable a la hipoteca de tasa fija, debido al valor presente neto negativo de la diferencia. Es importante darse cuenta que esta conclusión está basada no solamente en un resultado posible. Con el fin de lograr un grado más alto de confiabilidad, la simulación debería llevarse a cabo un gran número de veces. En la sección 15.5, usted aprenderá cómo determinar un número apropiado de repeticiones que se pueden llevar a cabo. Los resultados de hacer 35 repeticiones se resumen en la tabla El promedio, de , para los 35 valores presentes netos en esta tabla es una estimación confiable de las diferencias esperadas en las dos hipotecas. Tenga siempre en mente que esta cantidad, , es la diferencia esperada por cada $1000 de préstamo. Si usted obtuvo un préstamo de $ , la diferencia esperada entre las dos hipotecas será de * 200 = -$ Basándose en estos resultados, usted debería preferir la hipoteca de tasa variable, si no se consideran otros factores, como los impuestos. En la presente sección, usted ha visto cómo se utiliza una simulación para realizar un análisis financiero. En la sección 15.2 aprenderá una aplicación de la simulación para evaluar un sistema de inventarios UNA SIMULACION DE UN PROBLEMA DE INVENTARIOS Otra área en la cual comúnmente la simulación resulta de utilidad es la de análisis de sistemas de inventarios, para los cuales los métodos analíticos estudiados en el capítulo 12 no son aplicables. Considere el problema que enfrenta el administrador de American Dairy Foods, Inc Descripción del problema Entre muchos otros productos, American Dairy Foods, Inc., (ADF), suministra leche a varios expendios de un suburbio de Madison. ADF obtiene la leche de una cooperativa granjera local a $1.50 el galón y la almacena en sus instalaciones centrales. De ahí, la leche es distribuida a los expendios según se vaya necesitando, a un precio de $2.00 por galón. Un análisis estadístico de las ventas anteriores ha revelado que la demanda diaria en las instalaciones centrales puede ser aproximada con bastante precisión a través de una distribución normal con una media de 750 galones y una desviación estándar de 100. El departamento de contabilidad de ADF ha negociado con la cooperativa un costo fijo de $100 por pedido para cubrir los cargos de entrega y de procesamiento. La experiencia de ADF con la cooperativa revela que el 80% de 15

16 las veces la orden de leche que ADF hace al principio del día es entregada por la cooperativa a la mañana siguiente. Sin embargo, 20% de las veces el pedido es entregado la segunda mañana después de haberlo hecho. Como gerente de operaciones de ADF, usted desea determinar una política de inventarios que maximice la ganancia diaria esperada, basándose en un costo de mantenimiento de inventario de H = $0.02 por galón por día. Al determinar esta política, usted necesita tomar en cuenta que la leche es un producto perecedero. Con ese hecho en mente, la política de la corporación indica que cualquier cantidad de leche que se encuentre en las instalaciones centrales más de siete días no puede ser distribuida a los expendios. En su lugar, es vendida a los bancos de comida locales a $0.50 por galón. Al determinar la política óptima, debe darse cuenta de que los modelos descritos en el capítulo 12 no se aplican de manera directa. Una razón de ello es que el tiempo líder en este problema no es conocido, mientras que los resultados del capítulo 12 están basados en un tiempo líder conocido. También, el aspecto perecedero del problema hace que no sea válido el análisis matemático del capítulo 12. Por estas razones, una simulación es una forma razonable de evaluar diferentes políticas, como se describirá en la sección Identificación de la clase de políticas de inventario Según se vio en el capítulo 12, existen dos clases básicas de políticas de inventario. 1. Con una política de revisión continua, se pide una cantidad fija siempre que el nivel de inventario caiga por debajo de un cierto punto de nuevos pedidos. 2. Con una política de revisión periódica, se ordenan diferentes cantidades, basándose en el nivel de inventario observado en puntos fijos del tiempo. Para el problema de ADF, la segunda política resulta más apropiada porque la empresa necesita satisfacer una demanda diaria y hará los pedidos basándose en su nivel de inventario al principio de cada día. ADF ha decidido instrumentar esta política en dos pasos: 1. Obtener el nivel de inventario de la leche que se puede vender, I, al inicio de cada día y agregar el número de galones de leche, B, que ya fueron pedidos a la cooperativa pero que todavía no se reciben. 2. Hacer un nuevo pedido solamente si I + B está por debajo de algún nivel mínimo, digamos galones. En este caso, pedir una cantidad tal que se tenga un total de S galones de leche en inventario y en pedido, esto es, la cantidad pedida es S - (I + B) galones. 16

17 Por ejemplo, si s = 500 y S = 2000, entonces la política es pedir leche solamente si el inventario en existencia y en pedido se encuentra por debajo de 500 galones. En este caso, ADF ordena un pedido para tener el inventario en existencia y en pedido hasta un total de 2000 galones. El objetivo es determinar los valores de s y de S que maximicen la ganancia diaria esperada. A pesar de que sería deseable realizar un análisis matemático para determinar los mejores valores de s y S, hacerlo, en este caso, no resulta sencillo debido a la complejidad ocasionada por el tiempo guía no conocido y el carácter perecedero de la leche. Un planteamiento viable consiste en utilizar la simulación para evaluar la ganancia diaria esperada asociada con diferentes valores de s y S, y luego elegir la pareja de valores que proporcionen la ganancia diaria esperada más grande. Para ilustrar de qué manera se usa la simulación en la evaluación de una elección particular, suponga que ks = 900 y S = Diseño de la simulación Como se analizó en la sección del capítulo 14, antes de diseñar los detalles de una simulación por computadora, es de suma importancia tener un claro entendimiento de los objetivos del estudio en forma de resultados numéricos específicos. Para el problema de American Dairy Foods, tal resultado es la ganancia diaria esperada. El siguiente paso consiste en identificar los datos de entrada de la simulación. Necesita estos valores para calcular la ganancia diaria esperada. Recuerde, de la sección 14.3, capítulo 14, que las entradas caen dentro de las tres categorías siguientes. 1. Las condiciones iniciales, en este caso, expresan la cantidad de leche con un día de almacenamiento que se tiene en existencia, con dos días de almacenamiento que se tiene en existencia y así sucesivamente, al inicio de la simulación. Otra condición inicial es si se ha ordenado un pedido antes del primer día de la simulación y, si éste es el caso, la cantidad ordenada y el día en que se espera su llegada. Estos valores iniciales deberían reflejar las condiciones iniciales más probables en cualquier día dado y deberían obtenerse mediante una estimación basada en su experiencia. Para los propósitos de esta ilustración, suponga que no hay pedidos pendientes y que los inventarios iniciales son los siguientes: DÍAS DE ALMACENAMIENTO SÍMBOLO INVENTARIO INICIAL (GALONES) 0 I I I I I I I

18 2. Los datos determinísticos consisten en: a. Los siguientes datos sobre costos e ingresos, como se describen en la sección : i. Costo de adquisición = C = $1.50 por galón ii. Costo de pedido = K = $100 iii. Costo de mantenimiento diario = H = $0.02 por galón por día iv. Valor de reventa = R = $0.50 por galón b. Los valores de s = 900 galones y S = 4000 galones a ser evaluados por la presente simulación. (Esto es, en cualquier día que inicie con menos de s = 900 galones de leche en las instalaciones centrales o en pedido, ADF debe pedir más. El inventario actual más la cantidad total ordenada, incluyendo pedidos anteriores que aún no se reciben, debe ser igual a S = 4000 galones.) c. El número de días que se van a simular, digamos n = Los datos probabilísticos, generados cuando se necesiten, consisten en: a. Una demanda de leche en cada uno de los días de la simulación, que se supone sigue una distribución normal con una media de 750 galones y una desviación estándar de 100 galones. b. Un tiempo guía de 1 o 2 días, con probabilidades de 0.8 y 0.2, respectivamente, siempre que se ordene un pedido. La simulación real consiste en la generación de los números aleatorios apropiados y de un esquema de contabilidad asociado Generación de números aleatorios Una de las entradas probabilísticas de la presente simulación es la demanda, diaria, que sigue una distribución normal, con una media K = 750 galones por día y una desviación estándar a = 100. Para generar tal número aleatorio, recuerde, de la sección 14.3, capítulo 14, los siguientes pasos generales: 1. Genere un número aleatorio uniforme, U, entre 0 y Encuentre un valor de z de la tabla normal estándar del apéndice B, de modo que el área que se encuentra a la izquierda de z sea U. 3. Obtenga la demanda aleatoria, d, calculando: d = µ+(σ * z) = (100*z) 18

19 Además, siempre que se ordene un pedido, se necesita generar el tiempo líder aleatorio de acuerdo con la siguiente distribución discreta: DÍAS PROBABILIDAD Como se analizó en la sección 14.3, esto se puede llevar a cabo mediante lo siguiente: 1. Generando un número aleatorio uniforme, U, entre 0 y Determinando el tiempo líder mediante: 1 Tiempo guía = 2 si U si U < Diseño del esquema de contabilidad De nuevo, utilice la técnica de trabajo en un ejemplo específico. Tome valores específicos para las entradas y efectúe los cálculos necesarios a mano, para determinar el resultado. Recuerde los valores de las condiciones iniciales y otros datos de entrada determinísticos para el problema de American Dairy Foods, Inc. Los cálculos apropiados para cada día se muestran a continuación: CONTABILIDAD PARA EL DIA 1 Paso 1.Recepción de pedidos: para empezar no hay pedidos pendientes, de modo que no se recibe leche al inicio de este día. En consecuencia, los inventaros iniciales permanecen sin cambio en: I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I Paso 2. Pedidos: observando que el inventario total de I = I o + I I 6 = 1000 está por encima del punto mínimo de nuevos pedidos de s = 900, no se ordena ningún pedido en día 1. Paso 3. Generación de la demanda: la demanda para este día debe generarse de acuerdo a una distribución normal, con una media de 750 y una desviación estándar de 100. Como se analizó anteriormente, esto se hace utilizando un número aleatorio entre 0 y 1 de la manera siguiente: 19

20 1. Elija aleatoriamente un número aleatorio entre 0 y 1 de la tabla del apéndice A, digamos U = , de la hilera 6, columna Obtenga el valor de z asociado de aproximadamente 0.73, de la tabla del apéndice B, de modo que el área que se encuentra a la izquierda de z es U = Calcule la demanda como: d = µ + (σ * z) = (100 * z) = (100 * 0.73) = 823 galones Paso 4. Actualización del inventario: primero es necesario determinar si la demanda generada en el paso 3 puede cumplirse con el inventario existente. En este caso la respuesta es sí, pues la demanda d = 823 galones es menor que el inventario total disponible de 1000 galones. En general, Cantidadve ndida d = inventario total si d inventario total en cualquier otro caso Las cantidades inventariadas, clasificadas por tiempo de almacenamiento deben actualizarse para justificar las ventas. Debido a que la leche es perecedera, ADF vende primero la leche con más tiempo. La empresa cumple con la demanda de 823 galones vendiendo los 100 galones de leche con seis días de almacenamiento, los 100 galones de leche con cinco días de almacenamiento, los 300 galones de leche con dos días de almacenamiento y 323 galones de leche con un día de almacenamiento. Se tiene también que al final del primer día, que es el inicio del segundo, la leche que queda en inventario tiene un día más de almacenamiento. Para tomar en cuenta este cambio, la cantidad en inventario en cada grupo de antigüedad de almacenamiento se convierte en la del siguiente grupo con más antigüedad de la forma siguiente: INVENTARIO DÍAS DE INICIO DEMANDA INICIO ALMACENAMIE SÍMBOL DEL DÍA 1 CLUMPLIDA DEL DIA 2 NTO O 0 I I I =177 3 I = 0 4 I

21 5 I I = 0 7 I = 0 Paso 5. Cálculo de la ganancia diaria: para calcular la ganancia diaria neta, recuerde que cada galón de leche cuesta $1.50 y se vende a los expendios en $2.00 y a los bancos de comida en $0.50. Esto tiene como resultado una ganancia de $0.50 por cada galón vendido en los expendios y una pérdida de $1.00 por cada galón vendido a los bancos de comida. Esta información, los otros datos relevantes sobre costos y las ventas producen la ganancia neta: Ganancia neta = (ganancia de la leche vendida en los expendios) (pérdida de la leche vendida en los bancos de alimento) - (costo de hacer un pedido ese día) - (costo de mantenimiento del inventario del día) en la que: Ganancias de los expendios = (galones vendidos en los expendios)* (ganancia por galón) = 823 * 0.50 =

22 Pérdida de los bancos de alimentos galones vendidos a los bancos * (pérdida por galón) galones con leche de 7 días de almacenamiento al final del día 1 * 1.00 = 0.00 Costo del pedido 0 si no se ordena un pedido 1100 si se ordena un pedido = 0 (porque no se hace ningún pedido el día 1) Costo de mantenimiento de inventario = Número de galones de leche en inventario con menos de 7 días al final del día 1 * costo de mantenimiento por galón por día = 177 * 0.02 = 3.54 Ganancia neta = (ganancia de la leche vendida a los expendios) - (pérdida de la leche vendida a bancos de alimentos) - (costo por hacer un pedido ese día) - (costo de mantenimiento del inventario de ese día) = CONTABILIDAD PARA EL DIA 2 Paso 1. Recepción de pedidos: ningún pedido se ha ordenado, de modo que no se recibe leche al inicio de este día. Los inventarios iniciales permanecen sin cambios en: I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I

23 Paso 2. Pedidos: observe que el inventario total de I =10 + Il IB = 177 está por debajo del punto mínimo de nuevos pedidos de s = 900: Por consiguiente se ordena un pedido para que el inventario suba a S = Este pedido es de = 3823 galones de leche. Como se analizó en la descripción del problema, esta leche llega en el día 3 (con una probabilidad de 0.80) o en el día 4 (con una. probabilidad de 0.20). Para generar este tiempo líder aleatorio, seleccione el siguiente numero aleatorio, , de la hilera 6, columna 2 de la tabla del apéndice A. Debido a que este número es menor a 0.80, el tiempo líder es un día, de modo que el pedido llega al inicio del día 3. Paso 3. Generación de la demanda: la demanda para este día debe generarse de acuerdo con una distribución normal, con una media de 750 y una desviación estándar de 100: a. Seleccione el. siguiente número aleatorio, , de la hilera 6, columna 3 de la tabla del apéndice A. b. Obtenga el valor de z asociado de aproximadamente -1.9 de la tabla del apéndice B, de modo que el área que se encuentra a la izquierda de z es U = c. Calcule la demanda como: d= µ+(σ*z) = (100 * z) = [100 * (-1.9)] = 560 galones Paso 4. Actualización del inventario: primero es necesario determinar si la demanda generada en el paso 3 puede cumplirse con el inventario existente. En este caso, la respuesta es no, porque la demanda de 560 galones es mayor que el inventario total disponible de 177 galones. Por consiguiente, la cantidad real vendida es de solamente 177 galones. El inventario debe actualizarse para mostrar el efecto de estas ventas. En este caso, el inventario total es vendido, y todos los valores de inventario se vuelven cero: I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I Paso 5. Cálculo de la ganancia diaria: como antes, la ganancia neta es: Ganancia neta = (ganancia de la leche vendida a los expendios) - (pérdida de la leche vendida a bancos de alimentos) - (costo por hacer un pedido ese día) - (costo de mantenimiento del inventario de ese día) = (177*0.50)-(0*1.00) = -$

24 CONTABILIDAD PARA EL DÍA 3 Paso 1. Recepción de pedidos: debido a que el pedido de 3823 galones ordenado el. día 2 tiene un tiempo líder de un día (vea el paso 2 de la contabilidad para el día 2) 2), ese pedido llega al inicio del día 3. Agregue esta cantidad a I 0, el nivel de inventario actual de leche con cero días de almacenamiento: I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I Paso 2. Pedidos: el inventario total de I = I o + I I 6 = 3823 está por encima del punto mínimo de nuevos pedidos de s = 900, de modo que no se ordena ningún pedido el día 3. Paso 3. Generación de la demanda: la demanda para este día debe generarse de acuerdo con una distribución normal, con una media de 750 y una desviación estándar de 100: 1. Seleccione el siguiente número aleatorio, , de la hilera 6, columna 4 de la tabla del apéndice A. 2. Obtenga el valor de z asociado de aproximadamente de la tabla del apéndice B, de modo que el área que se encuentra a la izquierda de z sea U = Calcule la demanda como: d = µ + (σ*z) = (100 * z). = [100 * (-1.43)] = 607 galones Paso 4. Actualización del inventario: primero es necesario determinar si la demanda generada en el paso 3 puede cumplirse con el inventario existente. En este caso, la respuesta es sí, porque la demanda de 607 galones es menor que el inventario total disponible de 3823 galones. Ahora, el inventario debe actualizarse para mostrar el efecto de estas ventas: La cantidad total de 893 galones se toma de los 3823 galones de leche con cero días de almacenamiento, de modo que este valor se convierte en = Además, la leche con cero días de almacenamiento restante pasa a ser leche con un día de almacenamiento al final del día. Por tanto, los nuevos niveles de inventario son: I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I Paso 5. Cálculo de la ganancia diaria: como antes, la ganancia neta es: 24

25 Ganancia neta = (ganancia de la leche vendida a los expendios) - (pérdida de la leche vendida a bancos de alimentos) - (costo por hacer un pedido ese día) - (costo de mantenimiento del inventario de ese día) = (607 * 0.50) - (0 * 1.00) - (3216 * 0.02) = -$ Los resultados obtenidos al repetir este proceso para los primeros 20 días se resumen en la tabla Si el proceso se efectúa para 100 días, obtendrá una ganancia total de $ Dividiendo este total entre 100 da como resultado una ganancia diaria esperada estimada en $ Recuerde que este valor es solamente una estimación basada en una simulación particular. La estimación puede hacerse más confiable al aumentar el número de días en la presente simulación o realizando la simulación de 100 días muchas veces más. En la sección 15.5, usted aprenderá cómo determinar un número adecuado de veces que se puede repetir esta simulación, de modo que la estimación resultante este dentro de una precisión especificada de antemano. TABLA 15.5 Resultados de la simulación de los primeros 20 días del problema de la American Dairy Foods, Inc. Recuerde que el objetivo es determinar el valor del punto de nuevos pedidos, s, y la cantidad S, que es el valor que debería tener el inventario, de modo que se maximice la ganancia diaria esperada. La simulación presentada aquí evalúa los méritos de la política en la que s = 900 y S = Basándose en su conocimiento del negocio, usted podría escoger muchos otros valores para s y S, y efectuar 25

26 simulaciones parecidas. Seleccione entonces los valores de s y S que produzcan la mayor ganancia diaria esperada de acuerdo con la simulación. Antes de instrumentar la política obtenida de la presente simulación, como administrador, usted debería tomar en cuenta otros aspectos del problema. Por ejemplo, puede ser que desee considerar qué tan seguido la política de inventario tiene como resultado un déficit de leche, es decir, que la empresa no sea capaz de suministrar el producto a los expendios. También, usted puede desear conocer el impacto de revisar el inventario en otro periodo y no diariamente. Todas estas preguntas del tipo " qué sucede si...? pueden ser exploradas haciendo los cambios adecuados al diseño y a la contabilidad de la simulación UNA SIMULACION DE UN PROBLEM DE COLAS En la presente sección, usted verá un ejemplo de cómo se utiliza la simulación para evaluar un sistema de colas en el cual los productos que llegan esperan en fila para recibir un servicio. Considere el problema de la New Jersey Turnpike Commission Descripción del problema La New Jersey Turnpike Commission es un organismo encargado del mantenimiento de la Autopista de cuota de New Jersey y desea mejorar el flujo de tráfico a través do sus casetas de cobro. Uno de los administradores ha sugerido que se favorezca el paso de vehículos teniendo en servicio casetas especiales para los automóviles con dos o más pasajeros, y el resto de las casetas para el resto del tráfico. A estas casetas especiales se les llama carriles rápidos. La comisión ha seleccionado una de las plazas de cobro como piloto en el desarrollo y evaluación del impacto de la propuesta antes de extender la idea a otras plazas de cobro. Como administrador de operaciones, usted desea determinar el impacto en el flujo de tráfico actual que tendría el hecho de convertir una de las tres casetas de la plaza de cobro en carril rápido, como se muestra en figura A través del estudio de datos, la comisión ha determinado que la plaza de cobro seleccionada actualmente atiende 20 vehículos por minuto durante las horas pico. De estos vehículos, solamente un tercio tienen dos o más pasajeros. Los datos también muestran que el tiempo entre dos vehículos que llegan puede ser aproximado por una distribución exponencial, con una tasa promedio de X = 20 vehículos por minuto. Los datos registrados anteriormente indican que las casetas que atienden al tráfico en general requieren un tiempo de procesamiento por vehículo que obedece a la siguiente distribución: TIEMPO PROBABILIDAD (segundos) 3-8 0, , ,1 26

27 No existen datos similares para la caseta rápida propuesta. No se espera que el tiempo de servicio en ésta siga la distribución anterior porque dicha distribución pertenece a autos, camiones y todos los demás vehículos, mientras que la caseta rápida solamente es para automóviles. De la experiencia con casetas rápidas en otras carreteras, usted cree que el tiempo de servicio puede ser aproximado bastante bien por una distribución exponencial, con una tasa media de 10 autos por minuto. Usted debería darse cuenta de que los modelos descritos en el capítulo 13 no se aplican directamente. Una razón de ello es que los tiempos de servicio en las casetas siguen diferentes distribuciones, y una de éstas no es exponencial. Una segunda razón es que los autos con dos o más pasajeros tienen la libertad de escoger una de las tres colas, mientras que todo el resto del tráfico debe unirse a Caseta rápida Casetas generales Figura 15.1 Plaza de cobro propuesta para la New Jersey Turnpike Commission. una de las dos colas de las casetas generales. Además, entre las casetas permitidas, cada vehículo escoge la cola más pequeña. Por tales razones, no se pueden aplicar aquí los modelos del capítulo 13. Una simulación ofrece medios razonables para evaluar el sistema Diseño de la simulación Cuáles son los objetivos del estudio en la forma de resultados numéricos específicos? Para el problema de New Jersey Turnpike Commission, los resultados apropiados se identifican de la manera siguiente: 1. El tiempo de espera estimado para un vehículo en cada caseta. 2. El número promedio de vehículos en cada fila. 27

28 3. El use promedio de cada caseta, es decir, la fracción de tiempo que tarda el empleado en atender a un vehículo. El siguiente paso consiste en identificar los datos de entrada de la simulación. Como siempre, éstos caen en las siguientes tres categorías: 1. Las condiciones iniciales aquí son el número de vehículos que son atendidos o que esperan en la fila en cada caseta al momento en que inicia la simulación. Estos valores deben reflejar las condiciones más probables durante las horas pico. Como administrador de operaciones, debería hacer una estimación de ellos, basándose en su experiencia. Para el propósito del presente ejemplo, suponga que la fila rápida está vacía y que en cada fila general, un automóvil acaba de detenerse en la caseta para pagar. Se tiene también que hay dos autos esperando en la fila de una de las casetas generales y tres en la otra fila general. Recuerde que si la simulación se lleva a cabo durante un periodo lo suficientemente largo, las condiciones iniciales tendrán poco efecto en los resultados finales. 2. Los datos determinísticos consisten en la duración del periodo durante el cual se va a realizar la simulación, digamos dos horas, y el hecho de que hay una caseta rápida y dos generales. 3. Los datos probabilísticos, generados cuando sea necesario, consisten en lo siguiente: a. Las Ilegadas de vehículos, cuyos tiempos entre llegadas se supone que siguen una distribución exponencial, con una tasa media X, = 20 vehículos por minuto. b. El tipo de vehículo que llega, que es un vehículo para la caseta rápida (es decir, un auto con al menos dos personas) o un vehículo para las colas generales (todos los demás vehículos). La probabilidad de que un vehículo que Ilega pueda formarse en el carril rápido es de y la probabilidad de que no se pueda formar es de , como se dio en la descripción del problema. c. El tiempo de servicio de un vehículo que se encuentre en la fila general, que se supone sigue la distribución histórica dada. d. El tiempo de servicio de un automóvil que se encuentre en la fila rápida, que se supone sigue una distribución exponencial con una tasa media de 10 autos por minuto. La simulación real consiste en generar los números aleatorios apropiados y un esquema de contabilidad asociado, lo cual se describe a continuación Generación de números aleatorios Cada una de las cuatro entradas probabilísticas necesita ser generada utilizando números aleatorios de acuerdo con sus distribuciones de probabilidad subyacentes. GENERACION DE LOS VEHICULOS QUE LLEGAN Una de las entradas probabilísticas para la simulación es la llegada de vehículos. El tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial con una media X = 20 vehículos por minuto. Recuerde, de la sección 14.3, capítulo 14, que el tiempo t., en segundos, entre llegadas sucesivas se obtiene mediante: 28

29 Generando un número aleatorio uniforme, U, entre 0 y 1. Calculando: t a = - (1/20) * 60 * ln(1- U) GENERACION DEL TIPO DE VEHICULO QUE LLEGA Un vehículo que llega es un vehículo rápido(probabilidad ) o un vehículo general (probabilidad ). La determinación del tipo de vehículo que llega, por consiguiente, puede realizarse mediante: rápida TIPO = general si si U < U GENERACION DEL TIEMPO DE SERVICIO EN UNA CASETA GENERAL La cantidad de tiempo necesario para atender a un vehículo en una caseta general sigue esta distribución histórica: TIEMPO PROBABILIDAD (segundos) 3-8 0, ,3 Para generar la ,1 distribución continua con base en estos datos empíricos, primero obtenga su función de distribución acumulativa, F(x), como se muestra en la figura Para generar un número aleatorio a partir de esta función de distribución acumulativa particular, recuerde el planteamiento general, descrito en la sección 14.3, capítulo 14: Genere un número aleatorio uniforme, U, entre 0 y 1. Encuentre el tiempo de servicio, t s que es el valor de x para el cual: F(x)=U 29

30 Figura 15.2 Función de distribución acumulada del tiempo requerido Figura 15.2 Función de distribución acumulada del tiempo requerido para atender un vehículo en una caseta general Figura 15.3 Generación de un número aleatorio con la función de distribución acumulada dada en la figura 15.2: (a) U entre 0.0 y 0.6, (b) U entre 0.6 y 0.9 y (c) U entre 0.9 y 1.0. Encontrar el valor deseado de t, depende de si U está entre 0.0 y 0.6, entre 0.6 y 0.9 o entre 0.9 y 1, como se muestra en la figura Específicamente, el tiempo de servicio, t s se calcula de la manera siguiente: 30

31 31

32 Para determinar cuando cambia el estado de este sistema, usted necesita saber los tiempos a los cuales los vehículos en las dos casetas generales terminan de 32

33 ser atendidos y cuando el siguiente vehículo llega a la plaza de cobro. Estos valores necesitan ser generados aleatoriamente de acuerdo con sus distribuciones. DETERMINACION DE CUANDO EL SIGUIENTE VEHÍCULO SALE DE LA PLAZA DE COBRO Utilice números aleatorios para determinar cuando los dos vehículos que son atendidos actualmente en cada una de las casetas generales terminan el trámite. 1. Para el primer vehículo: inicie arbitrariamente escogiendo un número aleatorio uniforme entre 0 y 1, digamos U = , de la hilera 1, columna 2, de la tabla del apéndice A. Luego calcule la duración del servicio, t s como: t s U 0.6 = 8 + 5* = 8 + 5* 0.3 = 9.49 segundos 2. Para el Segundo vehículo: escoja el siguiente numero aleatorio uniforme entre 0 y 1, U = , de la hilera 1, columna 3, de la tabla del apéndice A. Luego calcule la duración del servicio, t s como: U t s = 3 + 5* = 3 + 5* 0.6 =4.02 segundos El vehículo que se encuentra en la primera caseta general sale del sistema 9.49 segundos después, al tiempo T = = El vehículo que se encuentra en la segunda caseta general sale del sistema al tiempo T = = DETERMINACIÓN DEL MOMENTO EN QUE LLEGA EL SIGUIENTE VEHÍCULO Para determinar cuando llega el siguiente vehículo, utilice el siguiente número aleatorio entre 0 y 1 de la tabla, U = , de la hilera 1, columna 4. De acuerdo con esto, el tiempo entre llegadas es: 33

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