El Problema del Transporte M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés.

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1 Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte II Semestre 2008 Investigación de Operaciones I El Problema del Transporte M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés. martes, 21 de octubre de 2008

2 El Problema de Transporte Un tipo particular de problema en la Programación Lineal, es el denominado problema del transporte. En muchas aplicaciones se debe determinar la manera óptima de transportar bienes. Sin embargo, algunas de sus aplicaciones más importantes (como la programación de la producción) no tienen que ver nada con el transporte.

3 El Problema de Transporte Los problemas de asignación incluye aplicaciones como las asignaciones de personas (o recursos) a tareas. Aunque sus usos parece diferir de los del problema de transporte, se verá que los asuntos de asignación se pueden considerar un caso especial del problema de transporte. Después de presentar un problema modelo de transporte, se presentará la estructura especial de ese modelo y se resolverán ejemplos adicionales de sus aplicaciones así como el simple de transporte.

4 El Problema de Transporte Los problemas de asignación incluye aplicaciones como las asignaciones de personas (o recursos) a tareas. Aunque sus usos parece diferir de los del problema de transporte, se verá que los asuntos de asignación se pueden considerar un caso especial del problema de transporte. Después de presentar un problema modelo de transporte, se presentará la estructura especial de ese modelo y se resolverán ejemplos adicionales de sus aplicaciones así como el simple de transporte.

5 El Problema de Transporte El problema del transporte trata que un cierto producto debe enviarse en determinadas cantidades u 1,..., u m, desde cada uno de m orígenes, y debe recibirse en cantidades v 1,..., v n, en cada uno de n destinos. El problema consiste en determinar las cantidades X ij, que deben enviarse desde el origen i al destino j, para conseguir minimizar el coste del envío.

6 El Problema de Transporte Los cuatro elementos principales de este problema son: Datos m: el número de orígenes n: el número de destinos U i : la cantidad que debe enviarse desde el origen i V j : la cantidad que debe ser recibida en el destino j C ij : el coste de envío de una unidad de producto desde el origen i al destino j

7 El Problema de Transporte Variables X ij : la cantidad que se envía desde el origen i al destino j. X ij 0; i = 1,..., m; j = 1,..., n Esto implica que la dirección de envío del producto está prefijada desde los distintos orígenes hasta los destinos. No obstante, otras hipótesis podrían tenerse en cuenta. Por ejemplo, podría no limitarse el signo de las variables X ij R, si no se quiere predeterminar cuáles son los puntos de partida y llegada. Restricciones. Las restricciones de este problema son: ij ij ij 0 s i d j

8 Ejemplo: Problema de Transporte Uno de los productos más de la P & T Company es chícharo enlatado. Los chícharos se preparan en tres enlatadoras cercanas a Bellingham en Washington; a Eugene en Oregon; y Albert Lea en Minnesota y después se envián por camión a cuatro almacenes de distribución. Sacramento California; Salt Lake City Utah; Rapid City South Dakota; y Albuquerque Nuevo Méico en el oeste de los Estados Unidos, como se muestra en el mapa.

9 Almacenes Enlatadores

10 Ejemplo: Problema de Transporte Debido a que los costos de embarque constituyen un gasto importante, la administración ha iniciado un estudio para reducirlos a su mínima epresión. Se ha estimado la producción de cada enlatadora durante la próima temporada y se asignado a cada almacén cierta cantidad de la producción total de chícharos. En la tabla siguiente se muestra la información en unidades de carga de camión, junto con el costo de transporte de camión por camión cargado de cada combinación enlatadora-almacén..

11 Datos de transporte de P & T Co. Coste de Embarque $ por carga Producción Almacén Enlatadora Enlatadora Enlatadora Asignación

12 75 E1 Representación de Red del problema 464 A E A E A A4

13 Optimizando Min s. a: m i n j c ij ij Z Z

14 Matriz

15 Solución

16 Solución Gráfica

17 Distribución de grava a Proyectos 2. Constructora. Qué cantidad de grava enviar de cada distribuidor a cada proyecto con el objeto de minimizar los costos totales? Sujeto a: No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1, 175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. del distribuidor 3. Enviar 200 tons. al proyecto 1, 100 tons. al proyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.

18 Distribución de grava a Proyectos Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes: Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C 11 =$6 Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8 Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10 Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C 21 =$7 Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C 22 =$11 Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C 23 =$11 Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C 31 =$4 Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C 32 =$5 Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C 33 =$12

19 Distribución de grava a Proyectos Variables de decisión X IJ = Número de toneladas a enviar del distribuidor I al proyecto J. donde i=1..3(distribuidor) y j=1..3(proyecto) Función objetivo Min. Z = 6X X X X X X X X X 33

20 Distribución de grava a Proyectos Restricciones de disponibilidad X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X Restricciones de requerimientos X 11 + X 21 + X 31 = 200 X 12 + X 22 + X 32 = 100 X 13 + X 23 + X 33 = 300

21 Distribución de grava a Proyectos Min. Z = 6X X X X X X X X X 33 Sujeto a: X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X X 11 + X 21 + X 31 = 200 X 12 + X 22 + X 32 = 100 X 13 + X 23 + X 33 = 300 X 11, X 12, X X 33 0

22

23 Solución

24 Solución

25 Red de Distribución

26 Ejemplo de Transporte Suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son: C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3 Suplen Planta 1 $21 $25 $ Planta 2 $28 $13 $ Demanda

27 Ejemplo de Transporte Diagrama: X 11 C.D.1 Planta 1 X 12 Planta 2 X 21 X 22 C.D.2 X 13 X 23 C.D.3 Orígenes Destinos

28 Ejemplo de Transporte Variables de decisión: ij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1,2), hasta el centro de distribución j (j=1,2,3) Función Objetivo: Minimizar el costo total de transporte dado por la función:

29 Ejemplo de Transporte Restricciones del problema: 1) No Negatividad: ij 0 2) Demanda: CD 1 : = 200 CD 2 : = 200 CD 3 : = 250

30 Ejemplo de Transporte 3) Oferta : P 1 : P 2 : Las variables de decisión deben aceptar soluciones como números reales para tener un modelo de P.L.

31 Solución

32 Resolver el problema de Transporte D1 D2 D3 D4 Fuente F F F F D

33

34 Solución

35 Ejemplo: Destino Ficticio La Northern Airplane Company construye aviones comerciales para varias líneas áreas de todo el mundo. La última etapa del proceso de producción consiste en fabricar los motores de turbina e instalarlos.-una operación muy rápidaen la estructura del avión terminado. La compañía tiene varios contratos de trabajo que la obligan a entregar un número considerable de aviones en un futuro cercano y en este momento debe programar la producción de motores de turbina para los próimos cuatro meses.

36 Ejemplo: Destino Ficticio En la segunda columna de la tabla siguiente se indica la cantidad de motores que deben estar listos para su instalación a fin de cumplir con las fechas de entrega contratadas. De ella se desprende que el número acumulado de motores que deben producirse al final de los meses 1,2,3 y 4 deben ser por lo menos de 10, 25, 50 y 70 unidades, respectivamente. Las instalaciones disponibles para producir los motores varían de acuerdo con otros programas de producción, mantenimiento y renovación durante el período.

37 Ejemplo: Destino Ficticio Las diferencias mensuales debidas al número máimo que se puede producir y el costo unitario de producción (en millones $) se presentan en la tercera y cuarta columna. Mes Instalacio nes programa das Produc ción máim a Costo unitario de produc ción Costo unitario de almace naje

38 Ejemplo: Destino Ficticio Dadas las variaciones de los costos de producción, podría valer la pena fabricar algunos motores un mes o más antes de su fecha de instalación; en la actualidad se estudia esta posibilidad. El inconveniente es que esos motores deberán almacenarse hasta que sean instalados la estructura de los aviones no estará lista antes.- El costo de almacenamiento de cada motor es de 15 mil dólares por mes.- incluye el interés sobre el capital invertido.

39 Ejemplo: Destino Ficticio El gerente de producción quiere desarrollar la programación del número de motores que se deben fabricar en cada uno de los cuatro meses, de manera que se minimicen los costos totales de producción y almacenamiento.

40 Pasos para la solución Origen i = producción de motores de turbina en el mes i (i=1,2,3,4) Destino j = instalación del motor de turbina en el mes j (j=1,2,3,4) X ij número de motores producidos en el mes i para instalarlos en el mes j. (i j) S i = número de motores producidos en el mes i D j = número de instalaciones programadas en el mes j. C ij = Costo asociado con cada unidad X ij

41 Origen Tabla de costos Mes Costo por unidad distribuida Destino Recursos M M M M M M Demanda

42 Ingresar los datos siguientes

43 Solución

44 RED del Modelo

45 Ejemplo de Transporte (Origen Ficticio) El Metro Water District es una dependencia que administra la distribución de agua en cierta región geográfica grande. La región es bastante árida, por lo que debe comprar y traer agua del eterior. Las fuentes de esta agua importada son los ríos Colombo, Sacron y Calorie. El distrito revende el agua a los usuarios de la región. Sus clientes principales son los departamentos de aguas de las ciudades de Berdoo, Los Devils, San Go y Hollyglass.

46 Datos de recursos de agua del Metro Water District Costo en (en decenas de millones de dólares ) por unidad distribuida Berdoo Los Devils San Go Hollyglass Recursos Río Colombo Río Sacron Río Calorie Mínimo necesario (en millones de acrespie) Solicitado

47 Es posible hacer llegar a cualquiera de estas ciudades desde cualquiera de los tres ríos, con ecepción de que no hay forma de abastecer a Hollyglass con agua del río Calorie. Sin embargo, dada la distribución geográfica de los acueductos y las ciudades en la región, el costo del abastecimiento del distrito depende tanto de la fuente como de la ciudad a la que abastece. La administración del distrito tiene que resolver el problema de cómo asignar el agua disponible durante el próimo verano. En la columna del lado derecho de la tabla anterior proporciona las cantidades disponibles en los tres ríos, en unidades de un millón de acres-pie. El distrito se compromete a proporcionar una cantidad mínima para cumplir con las necesidades esenciales de cada ciudad.

48 Con la ecepción de San Go, que tiene una fuente independiente de agua; estas necesidades mínimas se muestran en el renglón correspondiente de la tabla. El renglón de solicitado indica que Los Devils no quiere más agua que la que cubre sus necesidades mínimas, pero Berdoo compraría hasta 20 más, San Go hasta 30 más y Hollyglass compraría toda la que pudiera obtener. La administración desea asignar toda el agua disponible de los tres ríos de manera que por lo menos se cumpla con las necesidades mínimas de cada ciudad y al mismo tiempo se minimice el costo total para el distrito. Cantidad mínima= ( ) - ( )=60 Demanda ( ) ( ) = 50

49 Tabla de parámetros sin las necesidades mínimas del Metro Water District Costo en (en decenas de millones de dólares ) por unidad distribuida Berdoo Los Devils San Go Hollyglass Recursos Río Colombo Río Sacron Río Calorie M 50 Ficticio Demanda

50 Usando WindQsb (Redes) Solución

51 Solución en RED

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