FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA PROBLEMAS DE REDES

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1 19 de Marzo de 2015 FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA PROBLEMAS DE REDES Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación Entera José Luis Quintero 1

2 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 2

3 Modelos de redes Una red consiste en una serie de nodos conectados por arcos que también se denominan coneiones o líneas. Eisten redes físicas (carreteras, comunicaciones, oleoductos, etc.) y sistemas que pueden representarse como redes: Los nodos representan estados de un sistema, finalización de una operación, un período de tiempo, Los arcos representan órdenes de precedencia entre operaciones, Gráficamente, las redes se representan: Nodos mediante círculos. Arcos mediante líneas. Dirección del arco mediante puntas de flecha. Programación Entera José Luis Quintero 3

4 Problemas de redes Nodos Arcos 10 Funciones en los arcos Programación Entera José Luis Quintero 4

5 Importancia de los problemas de redes Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos de redes. Dadas ciertas condiciones en los datos, el resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución. Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos, no importando el tamaño del problema, dada su estructura matemática. Programación Entera José Luis Quintero 5

6 Formulación general de un problema de redes Programación Entera José Luis Quintero 6

7 Por qué un eperimento? Problema de Transporte Problemas de Redes Problema de Transbordo Problema de Asignación Problema de la Ruta más Corta Problema del Flujo con Costo Mínimo Problema del Flujo Máimo Programación Entera José Luis Quintero

8 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 8

9 Problema de transporte Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes, con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar. Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción S i. Se tienen n destinos. Cada destino j demanda D j. OBJETIVO. Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen. Programación Entera José Luis Quintero 9

10 Modelo general del problema de transporte Costo por unidad distribuida Destino 1 2 n Recursos 1 c11 c12 c1n s1 Origen 2 c21 c22 c2n s2 m cm1 cm2 cmn sm Demanda d1 d2 dn Programación Entera José Luis Quintero 10

11 Modelo de red del problema de transporte [s 1 ] S 1 c 11 c 12 D 1 [-d 1 ] [s 2 ] S 2 c 1n c 21 c 22 c 2n D 2 [-d 2 ] c m1 c m2 [s m ] S m c mn D m [-d m ] Programación Entera José Luis Quintero 11

12 Modelo matemático del problema de transporte min Z sujeta a j 1 j 1 n m ij ij ij s d m i 1 j 1 j j n c ij 0, para i y j. ij para i 1,2,..., m, para j 1,2,..., n, Programación Entera José Luis Quintero 12

13 Algunas variantes del problema de transporte 1. La oferta total no es igual a la demanda total 2. Maimización en lugar de minimización 3. Capacidades en las rutas o mínimos en las rutas 4. Rutas inaceptables Programación Entera José Luis Quintero 13

14 Ejemplo 1. Farmacéutica Carlton La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros suministros médicos. Esta tiene tres plantas en: Cleveland, Detroit, Greensboro. Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Richmond, Atlanta, St Louis. La gerencia de Carlton desea realizar el transporte de sus productos de la manera más económica posible. Programación Entera José Luis Quintero 14

15 Cleveland S Origenes Ejemplo 1. Red del problema Destinos D D Boston Richmond Detroit S D Atlanta Greensboro S D St.Louis Programación Entera José Luis Quintero 15

16 La estructura del modelo es la siguiente: Minimizar <Costo total de transporte> sujeto a : Ejemplo 1. Modelo matemático cantidad a transportar desde la fabrica oferta de la fábrica cantidad a recibir por la distribuidora demanda de la distribuidora. Variables de decisión: X ij cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j donde i 1 (Cleveland), 2 (Detroit), 3 (Greensboro) j 1 (Boston), 2 (Richmond), 3 (Atlanta), 4 (St,Louis) Programación Entera José Luis Quintero 16

17 Cleveland O Detroit O Ejemplo 1. Modelo matemático X11 X12 X31 X13 X21 X14 X22 X32 X23 Boston D Richmond D Atlanta X24 X33 D Greensboro O X34 D St.Louis Programación Entera José Luis Quintero 17

18 Ejemplo 1. Modelo matemático completo Minimizar 35X1130X1240X13 32X14 37X2140X2242X2325X24 40X3115X3220X3338X34 ST Restricciones de la oferta X11 X12 X13 X X21 X22 X23 X X31 X32 X33 X Restricciones de la demanda: X11 X21 X X12 X22 X X13 X23 X X14 X24 X Todos los Xij mayores que cero Programación Entera José Luis Quintero 18

19 Ejemplo 2. Problema de la Foster Generators Se transporta un producto desde 3 plantas hasta 4 centros de distribución: Capacidad de Origen Planta Producción en 3 meses (unidades) 1 Cleveland Bedford York 2500 Total Destino Centro de Distribución Pronóstico de la demanda a 3 meses (unidades) 1 Boston Chicago St. Louis Leigton 1500 Total Programación Entera José Luis Quintero 19

20 Ejemplo 2. Problema de la Foster Generators Costo por unidad distribuida Destino Origen Boston Chicago St Louis Leigton Producción Cleveland Bedford York Demanda Programación Entera José Luis Quintero 20

21 Ejemplo 2. Modelo de red Plantas Nodos de Origen Rutas de Distribución Arcos Centros de Dist. Nodos de Destino D1 [6000] [5000] O1 D2 [4000] [6000] O2 2 D3 [2000] [2500] O3 4 5 D4 [1500] Programación Entera José Luis Quintero 21

22 Ejemplo 2. Modelo matemático Sea Z el costo total de transporte y sea ij (i1,2,3;j1,2,3,4) el número de unidades transportadas de la enlatadora i al almacén j. Ma Z Sujeta a las restricciones ij (i 1,2,3;j 1,2,3,4) Programación Entera José Luis Quintero 22

23 Ejemplo 2. Solución óptima Unidades que se envían Destino Origen Boston Chicago St Louis Leigton Producción Cleveland Bedford York Demanda COSTO Programación Entera José Luis Quintero 23

24 Ejemplo 3. Problema Versatech La corporación Versatech producirá tres productos nuevos. En este momento, cinco de sus plantas tienen eceso de capacidad de producción. El costo unitario respectivo de fabricación del primer producto será de $31, $29, $32, $28 y $29, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El costo unitario respectivo de fabricación del segundo producto será de $45, $41, $46, $42 y $43 en las plantas respectivas 1, 2, 3, 4 y 5; y para el tercer producto será de $38, $35 y $40 en las plantas respectivas 1, 2 y 3, pero las plantas 4 y 5 no pueden fabricar este producto. Programación Entera José Luis Quintero 24

25 Ejemplo 3. Problema Versatech Los pronósticos de ventas indican que la producción diaria debe ser 600, 1000 y 800 unidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidades para producir 400, 600, 400, 600 y 1000 unidades diarias; sin importar el producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que tiene capacidad y posibilidad de fabricarlos podrá producir cualquier combinación de productos en cualquier cantidad. Programación Entera José Luis Quintero 25

26 Ejemplo 3. Problema Versatech La gerencia desea asignar los nuevos productos a las plantas con el mínimo costo total de fabricación. Programación Entera José Luis Quintero 26

27 Ejemplo 3. Datos problema Versatech Tabla de Costos Origen Destino Tipo de Producto Capacidad Planta 1 $31 $45 $ Planta 2 $29 $41 $ Planta 3 $32 $46 $ Planta 4 $28 $ Planta 5 $29 $ Pr Diaria Programación Entera José Luis Quintero 27

28 Ejemplo 3. Solución óptima problema Versatech Tabla Cantidades (asignaciones a cada planta) Origen Destino Tipo de Producto Capacidad Planta < 400 Planta < 600 Planta < 400 Planta < 600 Planta < 1000 Pr Diaria $88, Costo Mínimo Programación Entera José Luis Quintero 28

29 Ejemplo 4. Problema Move-It La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se mandan a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son los mismos para las dos plantas y los costos de transporte (en cientos de dólares) por unidad para todas las combinaciones de planta y centro de distribución se muestran en la tabla anea. Se debe producir y mandar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede producir y mandar cualquier cantidad hasta un máimo de 50 unidades a la semana, de manera que hay una gran fleibilidad para dividir la producción total entre las dos plantas y reducir los costos de transporte. Programación Entera José Luis Quintero 29

30 Ejemplo 4. Problema Move-It El objetivo de la gerencia es determinar cuánto se debe producir en cada planta y después, cuál debe ser el patrón de embarque de manera que se minimice el costo total de transporte Tabla de Costos de Transporte Destino Origen Centro de Distribución Capacidad Planta A $800 $700 $ Planta B $600 $800 $ Dist. Sem.??? Suma Programación Entera José Luis Quintero 30

31 Ejemplo 4. Datos y solución óptima problema Move-It Tabla de Costos de Transporte Destino Origen Centro de Distribución Capacidad Planta A $800 $700 $ Planta B $600 $800 $ Dist. Sem.??? Suma Cantidades por planta Destino Origen Centro de Distribución Capacidad Planta A < 50 Planta B < 50 Dist. Sem $25,000.0 Suma 60 COSTO Min. 60 Programación Entera José Luis Quintero 31

32 Ejemplo 5. Problema Move-It modificado Resolver el problema de Move-It si cualquier centro de distribución puede recibir cualquier cantidad entre 10 y 30 montacargas por semana para reducir más el costo total de envío, siempre que el envío total a los tres centros sea igual a 60 montacargas por semana. Programación Entera José Luis Quintero 32

33 Ejemplo 5. Datos y solución óptima problema Move-It modificado Tabla de Costos de Transporte Destino Origen Centro de Distribución Capacidad Planta A $800 $700 $ Planta B $600 $800 $ Dist. Sem Suma Cantidades por planta Destino Origen Centro de Distribución Capacidad Planta A < 50 Planta B < 50 Dist. Sem $31,000.0 >10 >10 >10 COSTO Min. <30 <30 <30 Suma Programación Entera José Luis Quintero 33

34 Problema de transporte capacitado El modelo matemático clásico de transporte hace varias suposiciones simplificatorias. Entre las más importantes están: Suponequeloscostosdeenvíosonproporcionalesa las cantidades que se envían. Supone que se puede enviar cualquier cantidad de mercancía de cada fábrica a cada tienda sujeta solamente a satisfacer las demandas y no eceder las capacidades de producción, no poniéndole restricciones a las capacidades de las rutas de envío. Solamenteseconsiderauntipodemercancíaentodo el problema. Se suponen nulas las pérdidas de mercancía en cada ruta del transporte. Programación Entera José Luis Quintero 34

35 Problema de transporte capacitado Una generalización que se le puede hacer al modelo es ponerle restricciones de capacidad a las rutas de envío para modelar, por ejemplo, la cantidad de vehículos de transporte con que se cuenta, o la capacidad de la infraestructura del transporte (por ejemploelanchodelacarreteraquelimitael número de vehículos que pueden transitar por hora en transporte carretero.) Es así que un modelo llamado de Transporte Capacitado satisface las siguientes epresiones matemáticas: Programación Entera José Luis Quintero 35

36 Problema de transporte capacitado M N Minimizar Σ ΣCij ij j1 i1 M sujeto a: Σij bj, j 1, 2,..., N i1 N Σij ai, i 1, 2,..., M j1 kij ij 0, i 1, 2,..., M; j 1, 2,..., N dondekij eslacapacidaddetransportedela ruta de envío que va de la fábrica i a la tienda j. Programación Entera José Luis Quintero 36

37 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 37

38 El problema de transbordo es un problema de transporte en el que la mercancía, en lugar de ir directamente de origen a destino, puede pasar por unas zonas de trasbordo intermedias. El planteamiento general es: Sujeto a: Restricciones de oferta: Restricciones de demanda: Problema de transbordo m n n K m K M in ( z ) c c c ij ij jk jk ik ik i 1 j 1 j 1 k 1 i 1 k 1 n i O K ij ik i j 1 k 1 m n k D ik jk k i 1 j 1 Balance en zonas de transbordo: i j k m j K ij i 1 k 1 jk Programación Entera José Luis Quintero 38

39 Ejemplo 6. Problema de transbordo Se debe minimizar el coste entre los orígenes 1 y 2 y los destinos finales 5,6 y 7; satisfaciendo la demanda. Oferta máima Demanda Costes de transporte entre los puntos Destinos Origen Programación Entera José Luis Quintero 39

40 Ejemplo 6. Problema de transbordo Definición de variables ij Cantidad de producto transportado de i a j donde i (1, 2), j (3, 4) jk Cantidad de producto transportado de j a k donde j (3, 4), k (5, 6, 7) Función Objetivo Restricciones Oferta Transbordo Demanda M in( z ) Negatividad: ij,, jk Programación Entera José Luis Quintero 40

41 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 41

42 Problema de asignación n trabajadores deben ser asignados a n trabajos. Un costo unitario (o ganancia) C ij es asociado al trabajador i que realizará el trabajo j. Minimizar el costo total (o maimizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible. Programación Entera José Luis Quintero 42

43 Suposiciones del problema de asignación 1. El número de asignados es igual al número de tareas (se denota porn). (esto puede variar) 2. Cada asignado se asigna eactamente a una tarea. 3. Cada tarea debe realizarla eactamente un asignado. 4. Eiste un costo c ij asociado con el asignado i (i1,2,,n). 5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales. Programación Entera José Luis Quintero 43

44 Modelo de red del problema de asignación [1] S 1 c 11 c 12 c 1n D 1 [1] [1] S 2 c 21 c 22 c 2n D 2 [1] [1] S m c m1 c m2 c mn D m [1] Programación Entera José Luis Quintero 44

45 Modelo matemático del problema de asignación min Z m n i 1 j 1 c ij ij sujeta a n j 1 ij 1 para i 1,2,..., m, m j 1 ij 1 para j 1,2,..., n, ij 0, para i y j ( ij binarias, para toda i y j ). Programación Entera José Luis Quintero 45

46 Ejemplo 7. Electrónica Ballston Eisten 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspección de un área depende de la línea de producción y del área de inspección. La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo. Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección. Area de Inspección A B C D E Linea Ensamble Programación Entera José Luis Quintero 46

47 Ejemplo 7. Red del problema Línea de ensamble S Área de Inspección A D 1 1 S B D 2 1 S C D 3 1 S D D 4 1 S E D 5 1 Programación Entera José Luis Quintero 47

48 Ejemplo 8. Fowle Marketing Research Tiempos estimados de terminación del proyecto (días) Jefe de Cliente Proyecto Terry Carla Roberto Programación Entera José Luis Quintero 48

49 Ejemplo 8. Modelo de red Jefes de Proyecto Nodos de Origen [1] J1 Asignaciones Posibles Arcos Clientes Nodos de Destino C1 [1] [1] J2 18 C2 [1] [1] J3 3 C3 [1] Programación Entera José Luis Quintero 49

50 Programación Entera José Luis Quintero 50 SeaZ eltiempototaldeterminación 1,2,3,4) 1,2,3; ( j i Z ij restriccio nes a las Sujeta Ma 1,2,3,4) 1,2,3; ( j i Z ij restriccio nes a las Sujeta Ma Ejemplo 8. Modelo matemático así no es si cliente al proyecto de jefe el se asigna si 0 1 j i ij

51 Ejemplo 8. Solución óptima Asignaciones Jefe de Cliente Proyecto Terry Carla Roberto Costo Programación Entera José Luis Quintero 51

52 Ejemplo 9. Problema natación El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidores para la prueba de 200 metros de relevo combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, no es fácil decidir qué nadador asignar cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes. Tiempo de Nado Carlos Cristy David Antony José Dorso Pecho Mariposa Libre Programación Entera José Luis Quintero 52

53 Ejemplo 9. Solución óptima problema natación Tiempo de Nado Carlos Cristy David Antony José Dorso Pecho Mariposa Libre < < < < < TIEMPO Min Programación Entera José Luis Quintero 53

54 Problema de la asignación generalizada (GAP) GENERALIZED ASSIGNMENT PROBLEM. Se tiene un conjunto J{1,2,..,n} de índices de los trabajos a realizar y otro conjunto I{1,2,..,m} de personas para realizarlos. El coste (o valor) de asignar la persona i al trabajo j viene dado por cij. Además se tiene una disponibilidad bi de recursos de la persona i (como por ejemplo horas de trabajo) y una cantidad aij de recursos de la persona i necesarias para realizar el trabajo j. Con todo esto, el problema consiste en asignar las personas a los trabajos con el mínimo coste (o el máimo valor). Al igual que en los otros modelos de asignación vistos, se introducen variables ij que valen 1 si la persona i se asigna al trabajo j y 0 en otro caso. Programación Entera José Luis Quintero 54

55 Problema de la asignación generalizada ij n j 1 min m i 1 { } m n i 1 j 1 ij ij i ij c s.a. ij ij a b i 1,...,m 1 j 1,...,n 0,1, i 1,...,m j 1,...,n Programación Entera José Luis Quintero 55

56 Problema de la asignación generalizada En este modelo de asignación se puede asignar una persona a más de un trabajo, respetando obviamente las limitaciones en los recursos. Algunas de las aplicaciones mas relevantes son: Asignación de clientes a camiones (de reparto o recogida) de mercancías. Asignación de tareas a programadores. Asignación de trabajos a una red de computadores. Programación Entera José Luis Quintero 56

57 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 57

58 Problema de la ruta más corta Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo, entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal. Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n. Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, d ij. Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n. LINEAS FAIRWAY VAN Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras. Programación Entera José Luis Quintero 58

59 Ejemplo 10. Red del problema Seattle Butte Boise Cheyenne 3 Salt Lake City Portland Reno Denver Sac Las Vegas Bakersfield 155 Kingman 114 Barstow Phoeni Albuque. Los Angeles El Paso San Diego 17 Tucson Programación Entera José Luis Quintero 59

60 Ejemplo 10. Problema de la ruta más corta Solución - Analogía de un problema de programación lineal Variables de decisión X ij 1 si un transporte debe viajar por la carretera que une la ciudad i con la ciudad j. 0 En cualquier otro caso Objetivo Minimizar S d ij X ij Programación Entera José Luis Quintero 60

61 Ejemplo 10. Problema de la ruta más corta Sujeto a las siguientes restricciones 1 Seattle Portland Boise Butte Salt Lake City [El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] 1 X12 X13 X14 1 De una forma similar: [El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] 1 X12,19 X16,19 X18,19 1 [El número de carreteras para entrar a la cuidad] [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4): X14 X34 X74 X41 X43 X47. Programación Entera José Luis Quintero 61

62 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 62

63 Problema del flujo con costo mínimo Son una generalización de los problemas de transporte y transbordo. Consiste en transportar una cierta cantidad de producto de unos orígenes a unos destinos. El paso por cada arco origina un costo. Se debe minimizar la suma de los costos. Programación Entera José Luis Quintero 63

64 Ejemplo 11. Problema del flujo con costo mínimo Se debe minimizar el costo entre los orígenes 1 y 2 y los destinos 9,8 y Programación Entera José Luis Quintero 64

65 Ejemplo 11. Problema del flujo con costo mínimo El planteamiento sería: Sujeto a: M i n ( z ) No negatividad: ij 0 Programación Entera José Luis Quintero 65

66 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 66

67 Ejemplo 12. Problema del flujo máimo con limitación en los arcos Consiste en planificar los flujos a través de una red de manera que se maimice el volumen de mercancía en circulación, teniendo en cuenta que eisten restricciones de flujo máimo y, posiblemente de flujo mínimo en cada uno de los arcos. Grafo del problema Placa Principal Inst. Opciones Test Capacidades máimas Nodo Capacidad Programación Entera José Luis Quintero 67

68 Ejemplo 12. Problema del flujo máimo con limitación en los arcos La formulación del problema sería: Ma (z) Sujeto a: Balance de flujos: 2) ) ) ) ) ) ) Restricciones de flujo máimo: 1) ) ) ) ) ) ) ) No negatividad: ij 0 Programación Entera José Luis Quintero 68

69 Puntos a tratar 1. Problemas de redes 2. Transporte 3. Transbordo 4. Asignación 5. Ruta más corta 6. Flujo con costo mínimo 7. Flujo máimo 8. Red PERT Programación Entera José Luis Quintero 69

70 Red PERT Los proyectos se descomponen en un conjunto de actividades que deben realizarse en un orden determinado. El proyecto puede representarse como un grafo, donde cada nodo representa una tarea y cada arco representa una relación de precedencia entre dos trabajos. La distancia entre los nodos será el tiempo previsto que se empleará en pasar de una tarea a otra. Un problema de gran interés es determinar el camino crítico que consiste en calcular el camino más largo que permite atravesar la red o completar el proyecto. Esto permitirá calcular cuál va a ser la duración total del proyecto y detectar las fases críticas (aquellas que condicionan la duración del mismo). El planteamiento es idéntico al de camino más corto, sólo que la función objetivo será una de maimización. Programación Entera José Luis Quintero 70

71 Ejemplo 13. Red PERT El planteamiento sería: Ma (z) Sujeto a: 1) ) ) ) ) ) ij 0 Programación Entera José Luis Quintero 71

72 Pensamiento de hoy Los gerentes no controlan la realidad, sino los modelos o representacionesdeésta. Robert D. Gilbreath Programación Entera José Luis Quintero 72