Modelos de Redes: Problema del flujo máximom. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Modelos de Redes: Problema del flujo máximom. M. En C. Eduardo Bustos Farías"

Marcos Díaz Olivera
hace 7 años
Vistas:

1 Modelos de Redes: Problema del flujo máimom M. En C. Eduardo Bustos Farías as

2 Problema del flujo máimom

3 Problema del flujo máimom Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red. Eiste un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través s de arcos que conectan nodos intermedios Cada arco tiene una capacidad que no puede ser ecedida La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección n del arco.

4 Considere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida (o antifuente). El problema del flujo máimo m pregunta: Cuál l es la cantidad máima m de vehículos, líquido, l peatones o llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de tiempo? 4

5 En este tipo de problemas se intenta conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma óptima, aunque dicho flujo está limitado por restricciones diversas tales como: condiciones de la carpeta asfáltica, diámetros de tubería, etc. Al límite l máimo m de flujo de una rama se le denominará capacidad de flujo. 5

6 Se quiere transportar la máima m cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) ie. Al respecto diremos que eisten muchos algoritmos especializados para dar solución n a los P.F.M. 6

7 Observación:.Se debe considerar una red dirigida..tiene una fuente y un pozo. 3.Los otros nodos son de trasbordo. 4.Capacidad de los arcos. 5.El objetivo es determinar el patrón n factible de flujo a través s de la red que maimice el flujo total desde la fuente de destino. 7

8 Definición n del Problema - Eiste un nodo origen (con el número n ), del cual los flujos emanan. - Eiste un nodo terminal (con el número n n), en el cual todos los flujos de la red son depositados. - Eisten n- n nodos (númerados( del, 3,...,n-), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale. - La capacidad C ij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad C ji para la dirección n opuesta.

9 El objetivo es encontrar la máima m cantidad de flujo que salga del nodo al nodo n sin eceder la capacidad de los arcos.

10 El problema consiste en encontrar la máima cantidad de flujo total que puede circular a través s de la red en una unidad de tiempo. El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el destino) la relación n de equilibrio debe cumplirse: flujo que sale = flujo que entra

11 Dicho en términos t formales, siendo f = flujo, n = destino, l = origen: Maimizar f sujeto a: = f, si i = i, j U ij ij U = ij de la red j ij j ji = = -f, si j = n = en otro caso capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos s arcos.

12 El algoritmo de flujo máimo m se fundamenta en pasos de sentido común: encontrar un camino que inicie en la fuente y concluya en la antifuente,, que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para todas las ramas que integran el camino o ruta. Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depósitos y que sigan teniendo capacidad mayor a cero para todas las ramas en el sentido del flujo.

13 PASOS DEL ALGORITMO. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado.. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf( Pf) del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envío o de dicha capacidad (Pf( Pf). 3. Para el camino elegido en el paso reducir la cantidad Pf en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario. 4. Repetir el procedimiento desde el paso. 3

14 EJEMPLO Flujo máimom 4

15 Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 5, vehículos/hora en el horario pico. Debido a un programa de mantenimiento general, el cual eige cerrar dichas vías, v un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes. 5

16 La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías. 6

17 . Puede la red propuesta dar cabida a un flujo máimo m de 5, v/h de norte a sur?. Cuál l es el flujo máimo m de vehículos que permite la red cada hora? 3. Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama? 7

18 SOLUCIÓN 8

23 SOLUCIÓN FINAL =

25 EJERCICIO Flujo máimom 5

26 La compañí ñía a estatal de petróleo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportar petróleo desde su refinería a (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. Una parte de la red de oleoductos es la siguiente: Cuál es el flujo máimo? 6

27 Como puede observarse, las capacidades de flujo son variables como resultado de los diversos diámetros de los ductos caps.. en miles de gal.. por hora.. La empresa desea abastecer el almacén n 7, Cuál l es el flujo máimo m con el cual puede abastecerlo?. Cuánto tiempo se requiere para satisfacer una demanda de 95, galones para el mismo almacén? 3. Si se presentará una ruptura o cierre en el ducto que va de -3, Cuál l sería a ahora el flujo máimo m para el sistema? 7

28 SOLUCIÓN 8

35 El Flujo máimo es: = 35

36 El Flujo máimo es: = 36

37 Deducción n del modelo de programación n lineal para el problema del flujo máimom 37

38 El problema es enviar gas natural desde un campo de producción n a una ciudad a través s de gaseoductos. 38

39 El planteamiento con estos datos sería: Má f sujeto a: = = f 34 f 4 45 = = 35 = ij , ij 39

40 Este planteamiento no se ajusta a la formulación n estándar de programación n lineal de costo mínimo, m puesto que se desconoce f y aparece simultáneamente en la función objetivo y en el lado derecho de las restricciones. Si se plantea así no es posible utilizar el algoritmo de programación n lineal, por ello utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final (5), con ello ahora el planteamiento sería: 4

41 4

42 f MAX = = + + = + = + = = ij ij,

43 Ejercicio para resolver Flujo máimom 43

44 Un conjunto de vías v rápidas r tiene las siguientes capacidades (miles de vehículos/hora).. Determinar el flujo máimo de vehículos/hora que pueden pasar por el sistema.. Cuántos vehículos/hora deben pasar por cada vía para lograr el flujo máimo? 44

45 SOLUCIÓN 45

46 ITERACIÓN CAMINO SELECCIONADO Pf (vehículos/hora) FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA ITERACIÓN -4-6 (-4) 3, 3, (-) 3, 6, (3-6), 8, (-5), 9, (3-4),, 46

47 PROBLEMA LINEAL 47

48 48

49 49

50 5

51 EJEMPLO 4 CENTRO REGIONAL DE CÓMPUTOC Árbol de epansión n mínimam 5

52 Un centro regional de cómputo c (C.R.C( C.R.C.),.), debe instalar líneas l especiales para comunicación, n, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañí ñía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms( Kms.) de estas líneas l sea la menor posible. 5 La red para este problema es la siguiente:

53 Un centro regional de cómputo c (C.R.C( C.R.C.),.), debe instalar líneas l especiales para comunicación, n, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañí ñía a telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación n costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms( Kms.) de estas líneas l sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente: 53

54 SOLUCIÓN 54

55 Desarrollo del algoritmo: Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo más m s próimo es el 4 ( Kms.) El siguiente nodo más m s cercano al 3 o 4 es el nodo 6 ( Kms). Repitiendo el paso anterior tenemos el siguiente árbol de etensión n mínima: m 55

56 Con una etensión de Kms. 56

57 Interacción Nodos Distancia (Km.) Km. 57

58 MÉTODO TABULAR

Documentos relacionados

Modelos de Redes: Árbol. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Modelos de Redes: Árbol. M. En C. Eduardo Bustos Farías Modelos de Redes: Árbol de expansión n mínimam M. En C. Eduardo Bustos Farías as Objetivos Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redes Modelos de programación n lineal, representación