Modelos de Redes: Árbol. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Transcripción

1 Modelos de Redes: Árbol de expansión n mínimam M. En C. Eduardo Bustos Farías as

2 Objetivos Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redes Modelos de programación n lineal, representación n en redes y soluciones usando el computador para: * Modelos de asignación * Modelo del vendedor viajero * Modelos de la ruta mas corta * Modelos de la rama mas corta Y otros.

3 Un problema de redes es aquel que puede representarse por: Nodos 7 Arcos 10 Funciones en los arcos

4 Introducción La importancia de los modelos de redes: * Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos redes * El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. tica. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución. * Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos, no importando el tamaño o del problema, dada su estructura matemática. tica.

5 Terminología a de Redes * Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a través s de un arco que los conecta. La siguiente notación n es usada: X ij = cantidad de flujo U ij = cota mínima m de flujo que se debe transportar L ij = cota maxíma de flujo que se puede transportar. * Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede transportarse en una sola dirección n se tiene un arco dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha). * Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

6 Rutas/Conexión n entre nodos *Ruta: Una colección n de arcos formados por una serie de nodos adyacentes * Los nodos están n conectados si existe una ruta entre ellos. Ciclos / Arboles /Arboles expandidos * Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta. * Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos. *Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene n-1 n 1 arcos).

7 Árbol de expansión n mínimam 7

8 Árbol de expansión n mínimam Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop. El árbol de expansión n mínima m es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo. neo. 8

9 Árbol de expansión n mínimam Este problema se refiere a utilizar las ramas o arcos de la red para llegar a todos los nodos de la red, de manera tal que se minimiza la longitud total. La aplicación n de estos problemas de optimización n se ubica en las redes de comunicación n eléctrica, telefónica, carretera, ferroviaria, aérea, a marítima, etc.; donde los nodos representan puntos de consumo eléctrico, teléfonos, aeropuertos, computadoras. Y los arcos podrían ser de alta tensión, n, cable de fibra óptica, rutas aéreas, a etc. Si n = numero de nodos, entonces la solución óptima debe incluir n-1 n 1 arcos. 9

10 Algoritmo de Kruskal 10

11 Algoritmo de Kruskal 1. Comenzar en forma arbitraria en cualquier nodo y conectarlo con el mas próximo (menos distante o costoso). 2. Identificar el nodo no conectado que esta más m cera o menos costoso de alguno de los nodos conectados. Deshacer los empates de forma arbitraria. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado. 3. Repartir este aso hasta que se hayan conectado todos los nodos. 11

12 EJEMPLO 1 EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO Árbol de expansión n mínimam 12

13 EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea l en sistemas de tránsito. El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales. El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas l que conecten todos los centros a un mínimo m costo. La red seleccionada debe permitir: - Factibilidad de las líneas l que deban ser construidas. - Mínimo costo posible por línea. l 13

14 RED QUE REPRESENTA EL ARBOL EXPANDIDO. Zona Oeste Zona Norte 3 34 Zona Centro Distrito Comercial Universidad Shopping Center Zona Este Zona Sur 14

15 Solución - Analogía a con un problema de redes - El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil f ( trivial( trivial ). - Corresponde a una categoría a de algoritmos ávidos vidos. - Algoritmo: * Comience seleccionando el arco de menor longitud. * En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles, tomando la precaución n de no formar ningún loop. * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están conectados. Solución n mediante el computador - Los entrada consiste en el número n de nodos, el largo de los arcos y la descripción n de la red. 15

16 Solución óptima mediante WINQSB 16

17 RED QU E REPRESENTA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA Zona Oeste 1 Zona Norte Loop Zona Centro Distrito Comercial Universidad Shopping Center Zona Este Costo Total = $236 millones 7 Zona Sur 17

18 EJEMPLO 2 RED DE COMUNICACIONES ÀRBOL DE EXPANSIÓN N MÍNIMAM 18

19 Ejemplo 1 Se va a instalar una red de comunicación entre 12 ciudades. Los costos de los posibles enlaces directos entre pares permisibles es el que se muestra en la figura. Cada unidad de costo representa $10,000 dólares. 19

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21 SOLUCIÓN N CON WINQSB 21

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32 32

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35 35

36 Solución Interacción Nodo Con nodo Costo ($) SUMA $33 36

37 Método Tabular

38 EJEMPLO 3 winqsb 38

39 Solucione el siguiente árbol de extensión n mínima m para la red de comunicaciones de emergencia usando el método tabular. Las unidades son distancias en kms. 39

40 SOLUCIÓN 40

41 USANDO EL WINQSB 41

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57 ITERACIÓN DEL NODO AL NODO SUMA 129 DISTANCIA 57

58 EJEMPLO 4 CENTRO REGIONAL DE CÓMPUTO Árbol de expansión n mínimam 58

59 Un centro regional de cómputo c (C.R.C( C.R.C.),.), debe instalar líneas l especiales para comunicación, n, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañí ñía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms( Kms.) de estas líneas l sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente: 59

60 Un centro regional de cómputo c (C.R.C( C.R.C.),.), debe instalar líneas l especiales para comunicación, n, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañí ñía a telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación n costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms( Kms.) de estas líneas l sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente: 60

61 SOLUCIÓN 61

62 Desarrollo del algoritmo: Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo más m s próximo es el 4 (10 Kms.) El siguiente nodo más m s cercano al 3 o 4 es el nodo 6 (20 Kms). Repitiendo el paso anterior tenemos el siguiente árbol de extensión n mínima: m 62

63 Con una extensión de 110 Kms. 63

64 Interacción Nodos Distancia (Km.) Km. 64

65 MÉTODO TABULAR

66 PROBLEMA PARA RESOLVER CAMINOS EN EL PARQUE RUTA MÁS M S CORTA 66

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68 SOLUCIÓN 68

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75 Modelos de Redes: Problema del flujo máximo M. En C. Eduardo Bustos Farías as 75

76 Problema del flujo máximom 76

77 Problema del flujo máximom Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red. Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través s de arcos que conectan nodos intermedios Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección n del arco. 77

78 Considere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida (o antifuente). El problema del flujo máximo m pregunta: Cuál l es la cantidad máxima m de vehículos, líquido, l peatones o llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de tiempo? 78

79 En este tipo de problemas se intenta conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma óptima, aunque dicho flujo está limitado por restricciones diversas tales como: condiciones de la carpeta asfáltica, diámetros de tubería, etc. Al límite l máximo m de flujo de una rama se le denominará capacidad de flujo. 79

80 Se quiere transportar la máxima m cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) ie. Al respecto diremos que existen muchos algoritmos especializados para dar solución n a los P.F.M. 80

81 Observación: 1.Se debe considerar una red dirigida. 2.Tiene una fuente y un pozo. 3.Los otros nodos son de trasbordo. 4.Capacidad de los arcos. 5.El objetivo es determinar el patrón n factible de flujo a través s de la red que maximice el flujo total desde la fuente de destino. 81

82 Definición n del Problema - Existe un nodo origen (con el número n 1), del cual los flujos emanan. - Existe un nodo terminal (con el número n n), en el cual todos los flujos de la red son depositados. - Existen n-2 n 2 nodos (númerados( del 2, 3,...,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale. - La capacidad C ij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad C ji para la dirección n opuesta. 82

83 El objetivo es encontrar la máxima m cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos. 83

84 El problema consiste en encontrar la máxima m cantidad de flujo total que puede circular a través s de la red en una unidad de tiempo. El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el destino) la relación n de equilibrio debe cumplirse: flujo que sale = flujo que entra 84

85 Dicho en términos t formales, siendo f = flujo, n = destino, l = origen: Maximizar f sujeto a: x x j ij j ji = = f, si i = 1 = -f, si j = n 0 x i, j U ij ij U = ij de la red = 0 en otro caso capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos s arcos. 85

86 El algoritmo de flujo máximo m se fundamenta en pasos de sentido común: encontrar un camino que inicie en la fuente y concluya en la antifuente,, que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para todas las ramas que integran el camino o ruta. Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depósitos y que sigan teniendo capacidad mayor a cero para todas las ramas en el sentido del flujo. 86

87 PASOS DEL ALGORITMO 1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado. 2. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf( Pf) del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envío o de dicha capacidad (Pf( Pf). 3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad Pf en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario. 4. Repetir el procedimiento desde el paso 1. 87

88 EJEMPLO 1 Flujo máximom 88

89 Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15,000 vehículos/hora en el horario pico. Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vías, v un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes. 89

90 La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías. 90

91 1. Puede la red propuesta dar cabida a un flujo máximo m de 15,000 v/h de norte a sur? 2. Cuál l es el flujo máximo m de vehículos que permite la red cada hora? 3. Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama? 91

92 SOLUCIÓN 92

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97 SOLUCIÓN FINAL =

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99 Deducción n del modelo de programación n lineal para el problema del flujo máximo 99

100 El problema es enviar gas natural desde un campo de producción n a una ciudad a través s de gaseoductos. 100

101 El planteamiento con estos datos sería: Máx f sujeto a: x x x x x x x x x x = = f x x x 34 f = 0 x = 0 35 = 0 x x x x x x x x ij , 101 ij

102 Este planteamiento no se ajusta a la formulación estándar de programación n lineal de costo mínimo, m puesto que se desconoce f y aparece simultáneamente en la función n objetivo y en el lado derecho de las restricciones. Si se plantea así no es posible utilizar el algoritmo de programación n lineal, por ello utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final (x51), con ello ahora el planteamiento sería: 102

103 103

104 x f MAX x x x x x x x x x x x x x x x x = = + + = + = + = = ij x x x x x x x x ij 0,

105 Ejercicio para resolver Flujo máximom 105

106 Un conjunto de vías v rápidas r tiene las siguientes capacidades (miles de vehículos/hora). 1. Determinar el flujo máximo de vehículos/hora que pueden pasar por el sistema. 2. Cuántos vehículos/hora deben pasar por cada vía para lograr el flujo máximo? 106

107 SOLUCIÓN 107

108 ITERACIÓN CAMINO SELECCIONADO Pf (vehículos/hora) FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA ITERACIÓN (1-4) 3,000 3, (1-2) 3,000 6, (3-6) 2,000 8, (2-5) 1,000 9, (3-4) 2,000 11,

109 PROBLEMA LINEAL 109

110 110

111 111

112 112

113 EJEMPLO 4 CENTRO REGIONAL DE CÓMPUTO Árbol de expansión n mínimam 113

114 Un centro regional de cómputo c (C.R.C( C.R.C.),.), debe instalar líneas l especiales para comunicación, n, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañí ñía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms( Kms.) de estas líneas l sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente: 114

115 Un centro regional de cómputo c (C.R.C( C.R.C.),.), debe instalar líneas l especiales para comunicación, n, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañí ñía a telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación n costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms( Kms.) de estas líneas l sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente: 115

116 SOLUCIÓN 116

117 Desarrollo del algoritmo: Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo más m s próximo es el 4 (10 Kms.) El siguiente nodo más m s cercano al 3 o 4 es el nodo 6 (20 Kms). Repitiendo el paso anterior tenemos el siguiente árbol de extensión n mínima: m 117

118 Con una extensión de 110 Kms. 118

119 Interacción Nodos Distancia (Km.) Km. 119

120 MÉTODO TABULAR