Modelos de Redes: Árbol. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Transcripción

1 Modelos de Redes: Árbol de expansión n mínimam M. En C. Eduardo Bustos Farías as

2 Objetivos Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redes Modelos de programación n lineal, representación n en redes y soluciones usando el computador para: * Modelos de asignación * Modelo del vendedor viajero * Modelos de la ruta mas corta * Modelos de la rama mas corta Y otros.

3 Un problema de redes es aquel que puede representarse por: Nodos 7 Arcos 10 Funciones en los arcos

4 Introducción La importancia de los modelos de redes: * Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos redes * El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. tica. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución. * Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos, no importando el tamaño o del problema, dada su estructura matemática. tica.

5 Terminología a de Redes * Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a través s de un arco que los conecta. La siguiente notación n es usada: X ij = cantidad de flujo U ij = cota mínima m de flujo que se debe transportar L ij = cota maxíma de flujo que se puede transportar. * Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede transportarse en una sola dirección n se tiene un arco dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha). * Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

6 Rutas/Conexión n entre nodos *Ruta: Una colección n de arcos formados por una serie de nodos adyacentes * Los nodos están n conectados si existe una ruta entre ellos. Ciclos / Arboles /Arboles expandidos * Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta. * Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos. *Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene n-1 n 1 arcos).

7 Árbol de expansión n mínimam 7

8 Árbol de expansión n mínimam Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop. El árbol de expansión n mínima m es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo. neo. 8

9 Árbol de expansión n mínimam Este problema se refiere a utilizar las ramas o arcos de la red para llegar a todos los nodos de la red, de manera tal que se minimiza la longitud total. La aplicación n de estos problemas de optimización n se ubica en las redes de comunicación n eléctrica, telefónica, carretera, ferroviaria, aérea, a marítima, etc.; donde los nodos representan puntos de consumo eléctrico, teléfonos, aeropuertos, computadoras. Y los arcos podrían ser de alta tensión, n, cable de fibra óptica, rutas aéreas, a etc. Si n = numero de nodos, entonces la solución óptima debe incluir n-1 n 1 arcos. 9

10 Algoritmo de Kruskal 10

11 Algoritmo de Kruskal 1. Comenzar en forma arbitraria en cualquier nodo y conectarlo con el mas próximo (menos distante o costoso). 2. Identificar el nodo no conectado que esta más m cera o menos costoso de alguno de los nodos conectados. Deshacer los empates de forma arbitraria. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectado. 3. Repartir este aso hasta que se hayan conectado todos los nodos. 11

12 EJEMPLO 1 EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO Árbol de expansión n mínimam 12

13 EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea l en sistemas de tránsito. El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales. El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas l que conecten todos los centros a un mínimo m costo. La red seleccionada debe permitir: - Factibilidad de las líneas l que deban ser construídas das. - Mínimo costo posible por línea. l 13

14 RED QUE REPRESENTA EL ARBOL EXPANDIDO. Zona Oeste Zona Norte 3 34 Zona Centro Distrito Comercial Universidad Shopping Center Zona Este Zona Sur 14

15 Solución - Analogía a con un problema de redes - El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil f ( trivial( trivial ). - Corresponde a una categoría a de algoritmos ávidos vidos. - Algoritmo: * Comience seleccionando el arco de menor longitud. * En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles, tomando la precaución n de no formar ningún loop. * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están conectados. Solución n mediante el computador - Los entrada consiste en el número n de nodos, el largo de los arcos y la descripción n de la red. 15

16 Solución óptima mediante WINQSB 16

17 RED QU E REPRESENTA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA Zona Oeste 1 Zona Norte Loop Zona Centror Distrito Comercial Universidad Shopping Center Zona Este Costo Total = $236 millones 7 Zona Sur 17

18 EJEMPLO 2 RED DE COMUNICACIONES ÀRBOL DE EXPANSIÓN N MÍNIMAM 18

19 Ejemplo 1 Se va a instalar una red de comunicación entre 12 ciudades. Los costos de los posibles enlaces directos entre pares permisibles es el que se muestra en la figura. Cada unidad de costo representa $10,000 dólares. 19

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21 SOLUCIÓN N CON WINQSB 21

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36 Solución Interacción Nodo Con nodo Costo ($) SUMA $33 36

37 Método Tabular

38 EJEMPLO 3 winqsb 38

39 Solucione el siguiente árbol de extensión n mínima m para la red de comunicaciones de emergencia usando el método tabular. Las unidades son distancias en kms. 39

40 SOLUCIÓN 40

41 USANDO EL WINQSB 41

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57 ITERACIÓN DEL NODO AL NODO SUMA 129 DISTANCIA 57

58 EJEMPLO 4 CENTRO REGIONAL DE CÓMPUTO Árbol de expansión n mínimam 58

59 Un centro regional de cómputo c (C.R.C( C.R.C.),.), debe instalar líneas l especiales para comunicación, n, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañí ñía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms( Kms.) de estas líneas l sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente: 59

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61 SOLUCIÓN 61

62 Desarrollo del algoritmo: Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo más m s próximo es el 4 (10 Kms.) El siguiente nodo más m s cercano al 3 o 4 es el nodo 6 (20 Kms). Repitiendo el paso anterior tenemos el siguiente árbol de extensión n mínima: m 62

63 Con una extensión de 110 Kms. 63

64 Interacción Nodos Distancia (Km.) Km. 64

65 MÉTODO TABULAR

66 PROBLEMA PARA RESOLVER CAMINOS EN EL PARQUE RUTA MÁS M S CORTA 66

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68 SOLUCIÓN 68

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75 EJERCICIO PARA RESOLVER 75

76 La cía. c MCC acaba de obtener la aprobación para ofrecer el servicio de televisión n por cable en una zona metropolitana. Los nodos de la red que aparece en seguida representan los puntos de distribución n a los que deben llegar las líneas l primarias del cable. Los arcos de la red muestran el número n de millas que existen entre los puntos de distribución. Determine la solución n que permitirá a la compañí ñía a llegar a todos los puntos de distribución n con una longitud mínima m de la línea l del cable primario. 76

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78 SOLUCIÓN 78

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80 EJERCICIO PARA RESOLVER 80

81 1. TV Cable Visión n desea establecer una red de comunicación n para brindar el servicio de cable que permita enlazar las 14 ciudades de la República Mexicana. Determinar cómo c se conectarían an dichos 14 ciudades de forma que la longitud de cable a utilizarse sea mínima. m El nodo 1 constituye la estación n de reparto. Los números n expresados en cada rama expresan las distancias entre las ciudades. A través s de la aplicación n de este algoritmo, podemos calcular la cantidad mínima m de cable a ser utilizadas en la red de comunicación n por cable (expresado en metros) 81

82 250 82

83 SOLUCIÓN 83

84 Usando TORA 84

85 1 A = {1} B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(1,2)(1,3)(1,4)} = (1,2) = A = {1,2} B = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(1,3)(1,4)(2,3)(2,5)(2,6)} = (2,3) = A = {1,2,3} B = {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(1,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)} = (3,4) = A = {1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(2,5)(2,6)(3,5)(4,5)(4,9)} = (4,5) = A = {1,2,3,4,5} B = {6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(2,6)(4,9)(5,6)(5,7)(5,9)} = (5,6) = A = {1,2,3,4,5,6} B = {7,8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(4,9)(5,7)(5,9)(6,7)(6,8)(6,12)} = (6,7) = A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {8,9,10,11,12,13,14,15} Min = {(4,9)(5,9)(6,8)(6,12)(7,8)(7,9)} = (7,8) =

86 8 A = {1,2,3,4,5,6,7,8} B = {9,10,11,12,13,14,15} Min = {(4,9)(5,9)(6,12)(7,9)(8,9)(8,11)(8,12)} = (8,9) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {10,11,12,13,14,15} Min = {(6,12)(8,11)(8,12)(9,10)} = (9,10) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} B = {11,12,13,14,15} Min = {(6,12)(8,11)(8,12)(10,11)(10,15)} = (10,11) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} B = {12,13,14,15} Min = {(6,12)(8,12)(10,15)(11,13)(11,14)(11,15)} = (11,13) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13} B = {12,14,15} Min = {(6,12)(8,12)(10,15)(11,13)(11,14)(11,15)(13,14)} = (13,14) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14} B = {15} Min = {(6,12)(8,12)(10,15)(11,15)(14,15)} = (14,15) =

87 EJERCICIO PARA RESOLVER 87

88 Una compañí ñía a desea anunciar su producto a las 12 principales estaciones de radio locales. La red de comunicaciones por cable que enlaza a las estaciones de radio se indica en la figura. Determine como se conecta las 12 estaciones de radio de modo que se minimice la longitud total del cable que se utilizó (Kms). 88

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90 SOLUCIÓN 90

91 SOLUCION EN EL TORA : ARBOL *** MINIMAL SPANNING TREE SOLUTION *** Minimal spanning tree length =

92 From To Arc Length N1 N N2 N N4 N N6 N N6 N N10 N N4 N N8 N N10 N N9 N N7 N

93 EJERCICIO PARA RESOLVER ÁRBOL DE EXPANSIÓN N MÍNIMAM 93

94 Una empresa de paquetería a ha iniciado sus labores, repartiendo paquetes por toda la ciudad, pero tiene clientes principales, los cuales necesitan sus paquetes lo más m s pronto posible. La empresa necesita saber cual es el camino más m s rápido r para que sus enviados lleguen a su destino para hacer la entrega a tiempo. 94

95 Distancia en Kms. 95

96 SOLUCIÓN 96

97 Paso 0: A = 0 B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} Paso 1: A = {1} B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} Min = {(1,2 1,2)(1,3)(1,5)} = 1 Nodo = 2 Paso 2: A = {1,2} B = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} Min = {(1,3)(1,5)(2,4)(2,5 2,5)}= 2 Nodo = 5 Paso 3: A = {1,2,5} B = {3,4,6,7,8,9,10,11,12,13} Min = {(1,3)(1,5)(2,4 2,4)(5,7)(5,8)}= 3 Nodo = 4 Paso 4: A = {1,2,4,5} B = {3,6,7,8,9,10,11,12,13} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,3 4,3)(4,7)}= 2 Nodo = 3 Paso 5: A = {1,2,3,4,5} B = {6,7,8,9,10,11,12,13} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,6 3,6)(3,7)}= 1 Nodo = 6 97

98 Paso 6: A = {1,2,3,4,5,6} B = {7,8,9,10,11,12,13} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(6,11 6,11)}= 1 Nodo = 11 Paso 7: A = {1,2,3,4,5,6,11} B = {7,8,9,10,12,13} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(11,12)(11,13 11,13)}= 1 Nodo = 13 Paso 8: A = {1,2,3,4,5,6,11,13} B = {7,8,9,10,12} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9 6,9)(11,12)(13,12)}= 2 Nodo = 9 Paso 9: A = {1,2,3,4,5,6,9,11,13} B = {7,8,10,12} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,10)(9,13)(11,12)(13,12 13,12)}= 2 Nodo = 12 Paso 10: A = {1,2,3,4,5,6,9,11,12,13} B = {7,8,9,10} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,10 9,10)(9,13)(11,12)}= 3 Nodo = 10 98

99 Paso 11: A = {1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13} B = {7,8,9} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,13)(11,12)(10,7 10,7)(10,8)}= 2 Nodo = 7 Paso 12: A = {1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13} B = {8,9} Min = {(1,3)(1,5)(5,7)(5,8)(4,7)(3,7)(6,9)(9,13)(11,12)(10,8)(7,8 7,8)}= 3 Nodo = 8 Resultado final: = 23 99

100 100

101 EJERCICIO PARA RESOLVER 101

102 18 11 Desarrolle la solución n del árbol de extensión mínima (Kms( Kms.) para la siguiente red de comunicaciones de emergencia:

103 ANEXO ALGORITMO DE KRUSKAL GRAFOS 103

104 Algoritmo de Kruskal Dado un grafo ponderado G=(V, A), el algoritmo parte de un grafo G = = (V, Ø). Cada nodo es una componente conexa en sís misma. En cada paso de ejecución n se elige la arista de menor costo de A. Si une dos nodos que pertenecen a distintas componentes conexas entonces se añade a ade al árbol de expansión n G. G En otro caso no se coge, ya que formaría a un ciclo en G. G Acabar cuando G G sea conexo: cuando tengamos n-1 n 1 aristas. Estructura del algoritmo de Kruskal Sea T de tipo Conjunto de aristas, el lugar donde se guardarán n las aristas del árbol de expansión. n. Asignar T a Ø. Mientras T contenga menos de n-1 n 1 aristas hacer: Elegir la arista (v, w) de A con menor costo. Borrar (v, w) de A (para no volver a cogerla). Si v, w están n en distintos componentes conexos entonces añadir a adir (v, w) a T. En otro caso, descartar (v, w). 104

105 Árboles de expansión. n. Algoritmo de Kruskal Ejemplo. Mostrar la ejecución n del algoritmo de Kruskal Necesidades del algoritmo: Las aristas deben ser ordenadas, según n el costo. Necesitamos operaciones para saber si dos nodos están n en la misma componente conexa y para unir componentes. Relación n dos nodos pertenecen a una componente conexa: es una relación n binaria de equivalencia podemos usar la estructura de representación n para relaciones de equivalencia (con operaciones Inicia, Encuentra y Unión). n)