El problema del agente viajero

Transcripción

1 CO- (F0) //00 El problema del agente viajero Un vendedor tiene que visitar n + ciudades, cada una exactamente una vez. La distancia entre cada par de ciudades viene dada por d ij (en general d ij d ji ). El problema es encontrar el recorrido (tour) que comienza y termina en la misma ciudad y minimiza la distancia total recorrida ( suena fácil?). Notas: La ciudad de comienzo es irrelevante. Se usa n + por conveniencia notacional. Etiquetamos la ciudad origen como 0 y también como n +. Sea x ij una variable binaria que nos dice si el viajero va de la ciudad i a la ciudad j (i = 0,,..., n; j =,,..., n + ; i j). Se fija x 0,n+ = 0. La función objetivo (a minimizar) es: Ahora las restricciones. n n+ i=0 j=,j i d ij x ij Para garantizar que se llega a cada ciudad exactamente una vez: n x ij =, ( j =,,..., n + ) i=0,i j Para garantizar que se sale de cada ciudad exactamente una vez: n+ j=,j i x ij =, ( i = 0,,..., n) Sin embargo estas restricciones no bastan para garantizar que se está optimizando sobre recorridos, es decir que las soluciones factibles son sólo recorridos. Esto es porque permiten la existencia de subrecorridos: Por ejemplo, en el caso de seis ciudades haciendo las variables x 0, x, x, x, x y x, se satisfacen todas estas restricciones ( verifíquelo!). Esta solución no es un recorrido sino dos sub-recorridos: 0 = 0 y (se sugiere hacer un dibujo) Para restringirnos a recorridos hay que añadir restricciones adicionales. Hay varias formas de

2 CO- (F0) //00 9 hacer esto. Una forma: En cualquier recorrido, para cada subconjunto de índices de N = {0,,..., n} debe haber un arco que vaya a su complemento y otro que venga. En general, para cualquier L N con L n (los de tamaño ya están!) las restricciones x ij {(i,j) i L, j N\L} son satisfechas por todo tour pero todo subtour viola al menos una de ellas. Otra forma: (complementaria) Para cualquier L N con L n poner las restricciones: x ij L {(i,j) i L, j L} Pregunta: En cualquiera de estas dos formas, cuántas restricciones hay para evitar subtours? Respuesta: Alrededor de n+ (una por cada elección de L), que es un número bastante grande para n razonable. Entonces una estrategia muy común es ignorar estas restricciones que evitan sub-recorridos y resolver la relajación resultante. Si se obtiene un recorrido la solución es óptima (COR), si no entonces la solución tiene un sub-recorrido: se añade una restricción que evite dicho sub-recorrido y se resuelve el nuevo problema. Se sigue así hasta encontrar una solución óptima. Esta estrategia ha sido aplicada de diversas formas, siendo efectiva para la resolución de este problema. Note que es una estrategia relajación-restricción en el espíritu de planos cortantes.

3 CO- (F0) //00 0 Una tercera y distinta formulación del PAV: (Tucker) Esta formulación modela las restricciones para evitar sub-recorridos como sigue (las primeras (n + ) restricciones quedan igual). Se añaden variables continuas y i para i = 0,,..., n, n + (ojo, no necesariamente y 0 = y n+ ) y las restricciones y i y j + (n + ) x ij n (i = 0,,..., n; j =,,..., n + ; i j) que son (n + ) n. Veamos que esto logra su cometido. En primer lugar una solución con sub-recorridos viola alguna de estas restricciones. Supongamos falso, que una solución con sub-recorridos satisface todas estas restricciones y lleguemos a una contradicción. En la solución con sub-recorridos alguno de ellos no toca a la ciudad origen. Sumemos las restricciones correspondientes a los pares (i, j) en el sub-recorrido. Los y i y j se cancelan todos y queda (n + ) l nl donde l es la longitud del sub-recorrido. Pero esto es una contradicción. ( Por qué se excluye la ciudad origen del sub-recorrido?). En segundo lugar veamos que un recorrido completo sí es factible (importante). Dado un recorrido, sea y i el lugar que ocupa la ciudad i en dicho recorrido (suponiendo que se parte de la ciudad 0, es decir, y 0 = 0 y y n+ = n + ). Entonces cuando x ij = y i y j + (n + )x ij = k (k + ) + (n + ) = n y listo. Cuando x ij = 0 y i y j + (n + ) x ij = y i y j n (el mayor índice posible menos el menor)

4 CO- (F0) //00 En la práctica las dos primeras formulaciones han tenido más éxito que la última. Hecho de la vida: En PLEM el tener más restricciones es en general mejor. Ejercicio duro: La región factible (continua) de las primeras dos está contenida en la de la última. Heurísticas para el problema del agente viajero Antes de estudiar algunas técnicas heurísticas para el PAV, vale la pena hacer un comenario sobre cómo los algoritmos que hemos visto se aplican a este problema. Las restricciones que fastidian por su cantidad y estructura son las últimas (las de destrucción de sub-recorridos). Lo que queda sin ellas es un simple Problema de Asignación (flujo en redes) que se resuelve facilmente. Entonces es natural que los algoritmos de B + B o de planos cortantes para el PAV utilicen algún esquema de relajación-restricción que siga estas líneas. Los algoritmos modificados relajan estas restricciones y resuelven la relajación (asignación). Si la solución obtenida es un recorrido, tenemos COR, listo. Caso contrario, añadir restricción que destruya algún sub-recorrido (si se hace directo es planos cortantes, si se hace a través de cotas y en subgrafos es B+B) y proceder con la nueva relajación. Estos algoritmos son computacionalmente aplicables sólo a problemas con unos pocos cientos de ciudades. Para problemas más grandes se necesitan métodos heurísticos. Algunas heurísticas para el PAV: Las heurísticas a ser discutidas se pueden clasificar en dos tipos: Las que construyen recorridos y las que los mejoran. Comenzamos con las primeras. La idea se puede resumir así:. Encontrar un sub-recorrido inicial (basta que tenga dos ciudades pero puede ser de más).. Seleccionar una ciudad a ser añadida al sub-recorrido, usando alguna regla de selección.. Insertar el nodo correspondiente en el sub-recorrido, basándose en un criterio de inserción.. Si se tiene un recorrido, parar. Caso contrario ir a.

5 CO- (F0) //00 Las distintas reglas de selección y criterios de inserción dan lugar a diferentes heurísticas. Veamos una de ellas: La heurística de inserción más barata. Se comienza con un sub-recorrido T con dos ciudades i e i, tales que d i i + d i i = mín i j (d ij + d ji ) es decir, el sub-recorrido más corto entre dos ciudades. Luego se busca el costo mínimo de inserción en el sub-recorrido: c k = mín (i,j) T (d ik + d kj d ij ) y se selecciona un nodo k con ese costo. Luego se inserta el nodo entre las ciudades involucradas en el cálculo de c k. Finalmente se repite este proceso (con los sub-recorridos que se van generando) hasta construir un recorrido. Ejemplo de la heurística de inserción más barata Consideremos el PAV dado por la siguiente matriz de distancias: D = En primer lugar tenemos qe encontrar el sub-recorrido más barato con dos ciudades. Esto se hace calculando mín i j (d ij + d ji ) que corresponde a sumar elementos simétricos de la matriz D y ver cuál nos da menor. En este caso el más pequeño es d + d = + =.

6 CO- (F0) //00 Calculemos ahora el mínimo costo de inserción: c k = mín (i,j) T (d ik + d kj d ij ) : k d k + d k d d k + d k d 0 + = + = + = 0 + = + = = = 0 + = = + 0 = + 9 = + = de donde el mínimo valor es y se obtiene de tres formas. Seleccionamos la inserción del nodo entre los nodos y. Las restantes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: Iteración Sub-recorrido k c k i k j k Inserción elegida

7 CO- (F0) //00 dando como recorrido final:. Este recorrido, casualmente, es óptimo. No siempre se corre con la misma suerte. Note que en la tercera columna se calcula, en cada fila y para cada k, el mínimo costo de inserción de ese k particular (en algunos casos hay empate y el k se repite), y luego se toma el mínimo de todos ellos.