Caminos. Sobre los problemas de encontrar caminos en grafos. Complexity D.Moshkovitz

Transcripción

1 Caminos Sobre los problemas de encontrar caminos en grafos 1

2 Introdución Objetivos: Introducir más problemas sobre grafos. Resumen: Caminos Hamiltonianos Caminos Eulerianos 2

3 Camino Hamiltoniano Entrada: un grafo dirigido G=(V,E) ydos nodos s t V. Problema: decidir si existe un camino desde s hasta t, que pase una sola vez por cada nodo 3

4 Hay camino Hamiltoniano? s t 4

5 Camino Ham. está en NP Adivinav 1,,v n V (n= V ) Por cada1 i,j n, comprueba que v i v j Comprueba sis=v 1 y t=v n Por cada1 i n, comprueba(v i,v i+1 ) E Rechaza si alguna comprobación falla, acepta en caso contario. 5

6 SIP Camino Ham es NP-Completo Prueba: Demostraremos que 3SAT p Camino Ham. (......)... (......) p t s... 6

7 Representación de variables Por cada variable x i,... Diamante 7

8 Representación de cláusulas Por cada cláusula c i, 8

9 Estructura del grafo s x 1... c 1 c 2 x 2... c x l... c k t 9

10 La estructura interna de los diamantes k pares de nodos internos... Diamante 10

11 Conecsión de cláusulas con variables Si la cláusula c j contiene el literal x i, x i c j par j-ésimo... 11

12 Conecsión de cláusulas con variables Si la cláusula c j contiene el literal x i, x i c j par j-ésimo... 12

13 Construcción completa Esto finaliza la construcción del grafo El tamaño es polinómico en el tamaño de la fórmula ( Comprobar!). Vamos a probar las dos direcciones de la reducción. 13

14 Supongamos que existe una asignación de variables que satisface una fórmula 3CNF. Veamos que existe un camino hamiltoniano en el grafo construido. 14

15 Asignación Camino Si la variable x i tiene asignadotrue,... 15

16 Asignación Camino Si la variable x i tiene asignado FALSE,... 16

17 Paso por los nodos asociados alas cláusulas Si la cláusula c j es satisfactible gracias al literal x i, x i c j par j-ésimo... 17

18 Paso por los nodos asociados alas cláusulas Si la cláusula c j es satisfactible gracias al literal x i, x i c j par j-ésimo... 18

19 Supongamos que existe un camino hamiltoniano en el grafo Construyamos una asignación para las variables que satisfaga la fórmula 3CNF. 19

20 Observación Cualquier camino hamiltoniano debe pasar o bien por la parte dcha de un diamente o bien por la parte izda

21 Camino Asignación Paracadavariable, se asigna un valor booleano Según la dirección del camino hamiltoniano de su diamante

22 Observación Un camino hamiltoniano no puede saltar desde el interior de un diamente a otro Idea de la prueba: Suponlo y mira este nodo s... x 1... x c j x l... t 22

23 La fórmula es satisfactible Gracias a la observación anterior y el hecho de que el camino debe pasar por todos los nodos asociados a las cláusulas, Todas las cláusulas de la fórmula deben ser satisfechas por la asignación 23

24 Conclusión Camino Ham. es NP-Completo. 24

25 Para pensar El problema Circuito Ham. (Decidir si existe un camino que pase por todos los nodos una sola vez) NP-Completo? 25

26 Para pensar Qué se puede decir sobre los correspondientes problemas, sobre caminos hamiltonianos, en grafos no dirigidos? 26

27 Un problema parecido A los niños les gusta el siguiente juego: Puedes dibujar el sobre de un sólo trazo y sin pasar dos veces por la misma línea? 27

28 Camino Euleraino Entrada: un grafo no dirigido G=(V,E) ydos nodos s t V. Problema: Decidir si existe un camino desde s hasta t, que pase por cada arista del grafo una sola vez. 28

29 Existe un camino euleriano? s t 29

30 Caminos Euler. Vs. Caminos Ham. Qué puedes hacer con este problema? Es reducible a Camino Ham.? O vice-versa? 30

31 31

32 El teorema de Euler Teorema: Un grafo tiene un camino euleriano desde s hasta t si y sólo si: 1. El grafo es conexo 2. s y t tienen grado impar. 3. pero el grado de los demás nodos es par. 32

33 Supongamos que existe un camino euleriano desde s hasta t en el grafo. Probemos que todos los nodos salvo, s y t deben tener grado par Observación: si existe camino el grafo sólo puede tener una componente conexa. 33

34 Análisis de grados Si un camino pasa por todas las aristas, los nodos internos del camino verifican que tienen una arista que sale por cada arista que entra. Esto es se añade 2 al grado del nodo cada vez. Sin embargo, s tiene una arista desparejada que sale y t otra desparejada que entra 34

35 Supongamos que los grados de los nodos son pares salvo el caso de s y t Veamos un algoritmo que permite encontrar un camino euleriano desde s hasta t Observación: si hay más de una componente conexa no puede existir camino euleriano 35

36 Caminos Comenzar en nodo s, Mientras hay aristas nuevas desde el nodo Elegir una de ellas, Caminar. 36

37 Observación Lema: el camino construido acaba en t. Prueba: Después de dejar s, t es el único nodo de grado impar. Por tanto podemos salir de cualquier otro nodo. 37

38 Pero, El camino construido pasa por todas las aristas? No necesariamente! Ejemplo: s t 38

39 Observación Lema: Si hay aristas no visitadas, éstas sonalcanzables desdeunnodo(*) visitado. Prueba: El grafo es conexo. s t 39

40 Observación Lema: Un camino que parta del nodo (*) visitado y recorra las aristas sin visitar debe acabar en el propio nodo (*). Prueba: Después de dejar esta nodo (*), es el único que queda con un número impar de aristas. 40

41 Todas las piezas juntas Podemos añadir este nuevo camino al dado por el algoritmo y así aumentar el número de aristas visitas. Así se repite el proceso hasta que no haya aristas sin visitar. s t 41

42 Conclusión Existe un algoritmo polinómico para decidir el problema del camino euleriano. 42

43 Para pensar Cómo puedes implementar de forma eficiente el algoritmo que resuelve el problema del camino euleriano? 43

44 Plano Camino Hamiltoniano NP Camino Euleriano NPC P 44

45 Resumen Hemos examinado algunos problemas sobre grafos. Hemos demostrado que encontrar un camino que pase por todos los nodos (Hamiltoniano) es NP-Hard, Mientras que existe una manera eficiente de encontrar un camino que pase por todas las aristas (Euleriano). 45