Eje 2. Razonamiento lógico matemático

Transcripción

1 Razonamiento deductivo e inductivo La historia de las matemáticas se remonta al antiguo Egipto y Babilonia. Ante la necesidad de resolver problemas a través de errores y victorias, estas culturas lograron determinar técnicas que después utilizaron constantemente, como recetas de cocina, lo cual se repitió una y otra vez en problemas similares. Al observar que esta técnica funcionaba con ciertos tipos de problemas, concluyeron que este método funcionaba para problemas del mismo tipo. Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solución conjetura, que es una hipótesis, (conclusión no demostrada), que se fundamenta en observaciones repetidas de un proceso o patrón determinado. A este tipo de procesos, por su parte, se le llama razonamiento inductivo. El razonamiento inductivo se define como obtener una conclusión general, o conjetura, a partir de observaciones repetidas en ejemplos específicos; dicha conclusión puede llegar a ser verdadera o no. Es fácil demostrar que la solución a estos ejemplos es falsa, pues basta con encontrar un ejemplo que así lo compruebe; a ese tipo se le conoce como contraejemplo. Podemos mencionar, además, el siguiente ejemplo para ilustrar mejor el punto. Conjetura: Todos los números primos son impares Ejemplo: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, Si observamos el conjunto de números, todos son números primos, pero no todos son impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura. Contraejemplo: El número 2 es un número primo, pero no un número impar. Observa el siguiente ejemplo de razonamiento inductivo: Premisa 1: Alberto tiene 25 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda. Universidad Abierta y a Distancia de México 1

2 Premisa 2: Juan tiene 23 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de Izquierda. Premisa 3: Alberto tiene 22 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda. Conclusión: Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México siempre votan por partidos de izquierda. Las premisas anteriores pueden ser refutadas, es decir, demostrarse su falsedad con tan sólo encontrar a una persona de entre 20 y 25 años, que viva en la ciudad de México y que no vote por un partido de izquierda, el cual sería un Contraejemplo. Y es un hecho que no todas las personas de entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México votarán por partidos de izquierda. Este tipo de razonamiento inductivo es un método potencialmente fuerte para llegar a una conclusión, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razón, algunos matemáticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre de manera formal por medio del razonamiento deductivo. Por su parte, el razonamiento deductivo inició con los matemáticos griegos, como revelan los trabajos de Pitágoras, Arquímedes y Euclides, entre otros, quienes aplicaron conceptos generales a problemas específicos, lo que dio como resultado un desarrollo lógico y estructurado de las matemáticas. Un razonamiento deductivo se define como la aplicación de principios generales a ejemplos específicos. En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre un razonamiento inductivo y otro deductivo. Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el más utilizado en problemas lógico-matemáticos. Sin embargo, no dejamos de lado el razonamiento inductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas. Premisa 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse. Premisa 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno. Conclusión: Los panecillos estarán listos a las 3:00 pm. Universidad Abierta y a Distancia de México 2

3 Ahora revisa algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales se utilizarán los números naturales o números cardinales. Considera la siguiente secuencia de números: 1, 8, 15, 22, 29. Cuál es el número que sigue en la lista?, cuál es el patrón? Si observamos y analizamos los números, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. Sumamos 15 y 7 para obtener 22?, sumamos 22 y 7 para obtener 29? Sí, efectivamente. Sumamos 7 a todo número precedente, de modo que el número siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36. Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente número de la secuencia, utilizamos la observación, y se determina tanto el patrón como el número que sigue en la secuencia. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo. Usando el razonamiento inductivo se concluye que 43 era el número siguiente, pero, qué pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los meses Junio y Julio? Junio D L M M J V S Julio D L M M J V S Entonces, la secuencia quedaría de manera diferente: 1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27 Universidad Abierta y a Distancia de México 3

4 Si analizamos la secuencia, el patrón sigue siendo 7, pero el consecutivo cambia. Aquí se muestra una falla importante en la conclusión a partir de la aplicación del razonamiento inductivo, la verdad en un caso específico no garantiza la verdad en lo general, por lo tanto, el razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrece los medios para hacer una conjetura. En matemáticas es común utilizar la expresión exponencial, que no es otra cosa que representar la multiplicación repetida: Base 3 2 = 3.3 = 9 Exponente En el razonamiento deductivo se usan enunciados generales para aplicarlos en situaciones específicas, por ejemplo el teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. Cateto opuesto Hipotenusa h 2 = a 2 + b 2 Cateto adyacente Si los catetos miden 6 y 8 metros, podemos calcular la longitud de la hipotenusa, representada por h. h 2 = a 2 + b 2 h 2 = (6) 2 + (8) 2 h 2 = h = 100 h = 10 Por lo tanto, la hipotenusa mide10 metros, aplicando la regla general del teorema de Pitágoras. Y ésta bajo las condiciones dadas, nunca arrojará una conclusión falsa Claro, si se realizan bien las cuentas! Universidad Abierta y a Distancia de México 4

5 El razonamiento de un problema normalmente requiere de algunas premisas, lo cual puede ser un supuesto, una ley, un teorema, una definición matemática, observación o idea. Después, con el razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solución, misma que se vuelve un argumento lógico. Podemos concluir que el razonamiento inductivo se utiliza con frecuencia para predecir la respuesta de ejercicios de cálculo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Predice la multiplicación y el producto que sigue en esta lista de operaciones: 21 5 = = = = 294 Primero, debemos identificar que el 21 se repite en todas las operaciones; en tanto que en el segundo factor, el incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente multiplicación sería: = por lo cual puede ser verdadero, esto depende del contexto, como en el caso del calendario. Cuando utilizamos el razonamiento inductivo, corremos ciertos riesgos asociados al razonamiento. Un ejemplo clásico es el de dividir por regiones una circunferencia, partiendo de puntos. Veamos la siguiente gráfica: Puntos = 1 Regiones = 1 Puntos = 2 Regiones = 2 Puntos =3 Regiones = 4 Si observamos la figura, en la primera se colocó un punto sobre la superficie, y se denota una región; si en cambio, colocamos dos puntos sobre la circunferencia y los unimos con una línea recta, formamos dos regiones. Universidad Abierta y a Distancia de México 5

6 Si finalmente, colocamos tres puntos sobre la circunferencia y los unimos por medio de líneas rectas, no se crean tres regiones, sino cuatro. Esto se puede representar por medio de una progresión geométrica: 1, 2, 4, Qué pasaría si colocamos cuatro puntos en la circunferencia, o cinco?, cuántas regiones tendríamos? Representando cuatro y cinco puntos en la circunferencia, quedarían de la siguiente manera: Si volvemos a representarlo en la progresión geométrica, quedaría de la siguiente manera: 1, 2, 4, 8, 16 Analicemos Cuál sería el número de regiones si colocamos 6 puntos en la circunferencia? Si respondemos por medio de una conjetura tomada de un razonamiento inductivo, la progresión quedaría de la siguiente manera: 1, 2, 4, 8, 16, 32 Representándolo gráficamente, sería: Nos han robado! Sólo tenemos 31 regiones. Universidad Abierta y a Distancia de México 6

7 Ahora probemos con siete puntos en la circunferencia. Razonando inductivamente, tendríamos: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Representándolo gráficamente, tendríamos: Nos han vuelto a robar! Ahora tenemos 57 regiones, cuando deberíamos tener 64. Conclusión: Este tipo de ejemplos ilustran que en matemáticas no podemos simplemente guiarnos por observaciones; en su lugar, necesitamos argumentos lógicos y rigurosos que constituyen una prueba que demuestra la veracidad del proceso. Universidad Abierta y a Distancia de México 7