LOGICA MATEMATICA. Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías:

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1 LOGICA MATEMATICA Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías: 1 ) q p q p ( q ) p ( Definición ) q p ( Doble Negación ) p q ( Conmutatividad ) ( Definición ) 2 ) ( ) p q ( ) ( p q ) ( Definición ) ( p ) q ( De Morgan ) p q ( Doble Negación ) 3 ) p ( q q ) p p ( q q ) p F ( Complemento ) p F ( Definición ) p ( Identidad ) 4 ) ( q q ) p p ( q q ) p ( q q ) p ( Definición ) V p ( Complemento ) F p ( Complemento ) p ( Identidad ) 5 ) ( p q ) r p ( q r ) ( p q ) r ( p q ) r ( Definición ) ( p q ) r ( De Morgan ) p ( q r ) ( Asociatividad ) p ( q r ) ( Definición ) 6 ) p ( q r ) q ( p r ) p ( q r ) p ( q r ) ( Definición ) ( p q ) r ( Asociatividad ) ( q p ) r ( Conmutatividad ) q ( p r ) ( Asociatividad ) q ( p r ) ( Definición ) 7 ) ( ) p p q ( ) p ( ( ) p ) ( p ( ) ) ( Definición ) ( ( ) p ) ( p ( ) ) ( Definición ) ( ( p q ) p ) ( p ( p q ) ) ( Definición ) ( ( p q ) p ) ( p ( p q ) ) ( De Morgan ) p ( p ( p q ) ) ( Absorción ) p ( ( p p ) q ) ( Asociatividad ) p ( p q ) ( Idempotencia ) ( p p ) ( p q ) ( Distributividad ) F ( p q ) ( Complemento ) p q ( Identidad )

2 8 ) ( ) q p q ( ) q ( ( ) q ) ( q ( ) ) ( Definición ) ( ( ) q ) ( q ( ) ) ( Definición ) ( ( p q ) q ) ( q ( p q ) ) ( Definición ) ( ( ( p ) q ) q ) ( q ( p q ) ) ( De Morgan ) ( ( p q ) q ) ( q ( p q ) ) ( Doble Negación ) ( ( p q ) q ) ( q ( q p ) ) ( Conmutatividad ) ( ( p q ) q ) ( ( q q ) p ) ( Asociatividad ) ( ( p q ) q ) ( V p ) ( Complemento ) ( ( p q ) q ) V ( Identidad ) ( ( p q ) q ) ( Identidad ) ( p q ) ( q q ) ( Distributividad ) ( p q ) V ( Complemento ) p q ( Identidad ) 9 ) p q ( p q ) ( p q ) p q ( ) ( q p ) ( Definición ) ( p q ) ( q p ) ( Definición ) ( p ( q p ) ) ( q ( q p ) ) ( Distributividad ) ( ( p q ) ( p p ) ) ( ( q q ) ( q p ) ) ( Distributividad ) ( ( p q ) F ) ( F ( q p ) ) ( Complemento ) ( p q ) ( q p ) ( Identidad ) ( p q ) ( p q ) ( Conmutatividad ) 10 ) p q p q p q ( p q ) ( q p ) ( Definición ) ( ( p ) q ) ( ( q ) p ) ( Definición ) ( p q ) ( q p ) ( Doble Negación ) ( q p ) ( p q ) ( Conmutatividad ) ( q p ) ( ) ( Definición ) ( ) ( q p ) ( Conmutatividad ) p q ( Definición ) 11 ) ( p q ) p q ( p q ) ( ( ) ( q p ) ) ( Definición ) ( ( p q ) ( q p ) ) ( Definición ) ( p q ) ( q p ) ( De Morgan ) ( ( p ) q ) ( ( q ) p ) ( De Morgan ) ( p q ) ( q p ) ( Doble Negación ) ( ( p q ) q ) ( ( p q ) p ) ( Distributividad ) ( ( p q ) ( q q ) ) ( ( p p ) ( q p ) ) ( Distributividad ) ( ( p q ) V ) ( V ( q p ) ) ( Complemento ) ( p q ) ( q p ) ( Identidad ) ( ( p ) q ) ( q p ) ( Doble Negación ) ( p q ) ( q p ) ( Definición ) p q ( Definición ) 12 ) ( ) ( p r ) p ( q r ) ( ) ( p r ) ( p q ) ( p r ) ( Definición ) p ( q r ) ( Distributividad ) p ( q r ) ( Definición ) 13 ) ( ) ( p r ) p ( q r )

3 ( ) ( p r ) ( p q ) ( p r ) ( Definición ) ( ( p q ) p ) r ( Asociatividad ) ( p ( q p ) ) r ( Asociatividad ) ( p ( p q ) ) r ( Conmutatividad ) ( ( p p ) q ) r ( Asociatividad ) ( p q ) r ( Idempotencia ) p ( q r ) ( Asociatividad ) p ( q r ) ( Definición ) 14 ) ( p r ) ( q r ) ( p q ) r ( p r ) ( q r ) ( p r ) ( q r ) ( Definición ) ( p q ) r ( Distributividad ) ( p q ) r ( De Morgan ) ( p q ) r ( Definición ) INFERENCIA LÓGICA 1.4 Demostraciones Que es una demostración? Podemos mencionar tres definiciones: Demostración de un principio o teoría. Es un razonamiento que establece la veracidad de un teorema. La que se basta así misma para establecer la verdad de una proposición o tesis. Métodos deductivos de demostración. Según el sistema aristotélico, el método deductivo Es un proceso que parte de un conocimiento general, y arriba a uno particular, la aplicación del método deductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y esta cimentado en proposiciones llamadas SILOGISMOS. Un silogismo es un argumento que consta de tres proposiciones, de la cuales la última se deduce de las otras dos de la forma << si (premisa mayor) y (premisa menor) entonces (conclusión)>>. Ejemplo: Todos las campechanas son bellas, (Este es el conocimiento general) Marta Colomina es campechana Marta Colomina es bella

4 En general todos aquellos antecedentes que podemos utilizar para demostrar una proposición constituyen la hipótesis, la proposición a demostrar constituye la tesis. Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una hipótesis general se llega a una conclusión particular, también es de hacer notar que en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden ser falsas, y por consiguiente la conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa. En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso deductivo tiene un significado un poco diferente, pues esta basado en AXIOMAS. Un axioma es una verdad que se acepta por sí sola o por definición, en otras palabras, es una proposición inicial la cual se asume como verdadera. Por ejemplo, dos axiomas serían: 1. El todo es mayor que la parte. 2. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si. El primer axioma define el concepto de MAYOR, y el segundo el concepto de IGUAL. El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de hipótesis sea invalido, generalmente en matemáticas la deducción es un proceso concatenado del tipo "si A Un teorema es una proposición matemática que afirma una verdad demostrable. entonces B, si B entonces C, si C entonces D..." hasta llegar a una conclusión. Al conjunto de HIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denomina TEOREMA, la práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del pensamiento lógico matemático es muy importante, constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias Demostración por el método directo. Consiste en obtener una conclusión mediante una secuencia de proposiciones encadenadas por reglas de deducción o de inferencia. Dado que no siempre es factible construir una tabla de verdad para comprobar la validez de un razonamiento (cuando el número de proposiciones es elevado, la tabla puede ser excesivamente larga), este método para probar que se da la implicación lógica. Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo: Que podemos analizar como si se cumple p entonces se cumple q, esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata.

5 Si decimos: El cielo esta encapotado, va a llover estamos realizando una asociación de causa y efecto, en la cual el cielo esta encapotado es la causa y el efecto lógico es que, va a llover. Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable, así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla relación en la cual si se cumple la premisa p entonces se puede decir que se cumplirá la consecuencia q, a este proceso formal se le denomina demostración mediante el método directo es innecesario decir que si no se cumple o verifica p entonces su consecuencia tampoco se verificará. p q Supóngase que es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma. (p 1 p 2 p 3... p n ) q En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p 1, p 2,...,p n. Se escribe el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p 1 es verdadera, p 2 es verdadera,... y p n también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera. Observe que expresar (p 1 p 2 p 3... p n ) q es lo mismo que expresarla de la siguiente manera: p 1 p 2... p n q Diremos que la proposición q se infiere de las proposiciones p 1, p 2,..., p n Una inferencia es un proceso guiado con el que se concluye una proposición de otras. Reglas de inferencia Presentamos a continuación, una tabla con las reglas de inferencia más usuales y las tautologías con las que están relacionadas en el lenguaje de las proposiciones. Regla Forma tautológica Nombre p p q p (p q) Adición p q p (p q) p Simplificación [p ()] q Modus ponens

6 p q q p q r p r [ () q] p Modus Tollens [( ) ( q r )] (p r) Silogismo hipotético p q p q r s p r q s r s q s p r p C p p q p (p r) r p r q r (p q) r Circuitos [(p q) p] q [() ( r s ) ( p r )] (q s) [() ( r s ) ( q s )] ( p r) ( p C) p [(p q) (p (p r))] r [(p r) ( q r )] [(p q) r] Silogismo disyuntivo Dilema constructivo Dilema destructivo Contradicción Demostración condicional Demostración por casos Encuentra la proposición y simplifica -p -q P 1.- p q q -p -r -q Respuesta: p ^ -q

7 2.- p q p r q p p r -q r -p Respuesta: r ^ -q