1.1.1 Conectivos lógicos, formas proposicionales y tablas de verdad.

Transcripción

1 Tema 1 Lógica. 1.1 Cálculo proposicional. Definición 1.1 Una proposición es una frase o sentencia declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez. Los dos posibles valores de verdad que puede tomar una proposición son verdadero o falso y lo denotaremos por 1 y 0 respectivamente. Ejemplo 1.2 En la siguiente tabla aparecen frases que son proposiciones (a su izquierda su valor de verdad) y otras que no lo son, bien por que no son declarativas bien porque no puede asegurarse su valor de verdad: Son proposiciones No son proposiciones F La tierra es plana Por qué no has venido? V = 4 Se paga demasiado a los ministros F = 7 y 4 2 = 2 Qué divertido es este juego! V = 4 ó = 5 x es un número positivo V Si la tierra es plana entonces = 5 Observa como juega Pepe F Todos los rusos son calvos x es un hombre justo V Algún coche es de color rojo Cuando quieras nos vamos Las proposiciones que aparecen en los cuadros de la tabla están formadas relacionando lógicamente otras proposiciones más simples. El estudio de estas relaciones lógicas entre las proposiciones se conoce como Cálculo proposicional. Las proposiciones del segundo cuadro también están formadas relacionando proposiciones más simples, pero expresan un caso más general. Su estudio se conoce con el nombre de Cálculo de predicados (y que veremos en la siguiente sección) Conectivos lógicos, formas proposicionales y tablas de verdad. Consideraremos cinco conectivos lógicos. Los tres primeros forman la base de las relaciones entre las proposiciones y es sencillo comprender su funcionamiento: Negación 1.3 Invierte los valores de verdad de una proposición, es decir, la negación de una proposición P es otra proposición, que es verdadera cuando P es falsa y falsa cuando P es verdadera. Usaremos para representarlo el simbolo y leeremos la expresión P por no P. Conjunción 1.4 La conjunción de dos proposiciones P y Q es verdadera cuando P y Q son verdaderas y es falsa cuando alguna de ellas (o ambas) es falsa. Usaremos el simbolo para representarlo y leeremos la expresión P Q por P y Q. Disyunción 1.5 La disyunción de dos proposiciones P y Q es verdadera cuando alguna de ellas (o ambas) es verdadera y es falsa cuando P y Q son falsas. Usaremos el simbolo para representarlo y leeremos la expresión P Q por P o Q. Preliminares. 2

2 1.1 Cálculo proposicional. Los dos siguientes presentan una mayor dificultad para su comprensión, pero son fundamentales en la construcción del cálculo proposicional e imprescindibles para seguir las pautas de un razonamiento lógico: Condicional o Implicación condicional 1.6 El condicional de dos proposiciones P y Q es verdadera cuando P es falsa o si cuando P es verdadera también lo es Q y es falsa si siendo P verdadera Q es falsa. Usaremos el simbolo para representarlo y leeremos la expresión P Q por si P entonces Q. Bicondicional 1.7 La bicondicional de dos proposiciones P y Q es verdadera cuando P y Q tienen el mismo valor de verdad y es falsa cuando el valor de verdad de P es distinto del de Q. Usaremos el simbolo para representarlo y leeremos la expresión P Q por P si, y sólo si, Q. Tabla-Resumen de los conectivos lógicos. Conectivo Símbolo Expresión Lectura Negación P no P Conjunción P Q P y Q Disyunción P Q P o Q Condicional P Q si P entonces Q Bicondicional P Q P si, y sólo si, Q Observación: Nótese que, cuando P es falso, el condicional P Q es verdadero indiferentemente del valor de verdad de Q. La expresión P Q también puede leerse como P sólo si Q, Q si P y P implica Q. A la proposición Q P se la denomina recíproca de P Q y a la proposición Q P, la contrarrecíproca de P Q. Definición 1.8 Las proposiciones que no contienen conectivos lógicos se llaman proposiciones simples (o atómicas) y, de cualquier otra proposición, que puede escribirse combinando proposiciones simples mediante conectivos lógicos, se dice que es compuesta. Ejemplo.- Sean P, Q, R tres proposiciones. Con ellas formamos la siguiente: ( ) ( ) [ (P Q)] (R Q) [R ( P )] ( Q) Los paréntesis (y corchetes) nos indican como se ha ido construyendo la proposición. Para evitar el uso de excesivos paréntesis se establece un orden de precedencias a la hora de realizar las operaciones lógicas (y no hay paréntesis): Primer orden lo tiene la negación: R P = R ( P ), Y, por tanto (P Q) P Q. P Q = ( P ) Q, etc. A continuación los operadores conjunción y disyunción: así P Q R = (P Q) R y por consiguiente P Q R P (Q R). En último lugar el condicional y bicondicional. Entre los operadores del mismo nivel no hay precedencias. En este caso, la precedencia se toma de izquierda a derecha, aunque no es aconsejable. En general, si se puede, es mejor poner paréntesis que evitan errores. Preliminares. 3

3 1.1 Cálculo proposicional. Así la proposición anterior, con la precedencia de la negación puede escribirse como [ ] [ ] (P Q) (R Q) (R P ) Q y con la precedencia de la disyuncion y conjunción sobre el condicional nos quedará: (P Q) (R Q) (R P ) Q Formas proposicionales y Tablas de verdad. El valor de verdad de una proposición compuesta no depende del enunciado de las proposiciones concretas que intervengan en su formación, sino del valor de verdad de cada una de ellas. Por tanto, basta con estudiar las reglas de composición para los valores de verdad: Definición 1.9 Las variables que sólo pueden tomar los valores 0 y 1 las llamaremos variables lógicas, y las denotaremos por letras minúsculas (p, q, r,... ). Si en una proposición sustituimos las proposiciones simples que la forman por variables lógicas se obtiene una estructura lógica que llamaremos forma proposicional en dichas variables. Definición 1.10 Los valores de verdad de una forma proposicional quedan determinados por los valores de sus variables lógicas componentes. A la expresión tabulada de dichos valores lógicos se la denomina tabla de verdad. Tablas de verdad de los conectivos lógicos. p p p q p q p q p q p q En las tablas de verdad se colocan a la izquierda las variables lógicas que intervienen con todos las posibles casos que aparecen al combinar los valores de las variables (2 n para n variables) y se va construyendo la tabla siguiendo las precedencias de las operaciones. Ejemplo.- Así para la proposición del Ejemplo anterior, su tabla de verdad será: P Q R (P Q) (R Q) (R P ) Q P Q R (P Q) (R Q) (R P ) Q P Q R (P Q) (R Q) (R P ) Q P Q R (P Q) (R Q) (R P ) Q Es usual (y aconsejable) mantener un orden a la hora de generar los casos posibles que aparecen según los valores de las variables. Así los ocho casos que aparecen aquí, representan de manera ordenada los números de 0 a 7 en binario o base 2 (000 = 0 2, 001 = 1 2, 010 = 2 2, etc.). Preliminares. 4

4 1.1 Cálculo proposicional. Definición 1.11 Una tautología es una forma proposicional que toma el valor 1 para cualesquiera que sean los valores de sus variables. Una contradicción es una forma proposicional que siempre es falsa. Utilizaremos 1 para denotar la tautología y 0 para la contradicción Equivalencia lógica. Leyes de la lógica. El uso de las tablas de verdad se hace inviable al aumentar el número de variables, por lo que es necesario encontrar otros recursos para manejarnos en el entramado lógico. Definición 1.12 Se dice que dos formas proposicionales P y Q son lógicamente equivalentes, y escribimos P Q, si P Q es una tautología. Es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales. Cuando P y Q no son lógicamente equivalentes escribimos P Q. Leyes de la lógica 1.13 En la siguiente tabla se recogen equivalencias lógicas de uso tan frecuente que tienen nombre propio y son conocidas como leyes de la lógica. p p p de Doble negación: ( p) p de Idempotencia: p p p Conmutativas: p q q p p q q p de Identidad: p 0 p p 1 p Asociativas: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) de Dominación: p 1 1 p 0 0 Distributivas: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Inversas: p p 1 p p 0 de DeMorgan: (p q) ( p q) (p q) ( p q) de Absorción: p (p q) p p (p q) p Nota: Las leyes asociativas nos permiten escribir p (q r) y (p q) r como p q r y p q r respectivamente, pues no importa el orden de predecencia en que evaluemos los conectivos. Reglas de Sustitución 1.14 Para obtener otras equivalencias lógicas pueden aplicarse las siguientes reglas: R1. Sea P una tautología y q una variable que aparece en P. Si reemplazamos cada aparición de q por cualquier otra forma proposicional Q, entonces la forma proposicional resultante es también una tautología. Ejemplo.- Como (p q) ( p q) es una tautología (pues (p q) p q, ley de DeMorgan) también la expresión (p [r s]) ( p [r s]) obtenida al cambiar q por r s es una tautología. En consecuencia, también es cierta la equivalencia lógica (p [r s]) p [r s]. R2. Sea P una forma proposicional y Q una forma proposicional que aparece en P. Si reemplazamos Q por otra forma proposicional lógicamente equivalente a Q, obtenemos una nueva forma proposicional lógicamente equivalente a P. Ejemplo.- Como (p q) p q, también p (p q) p ( p q). Otras equivalencias lógicas interesantes 1.15 Son las siguientes: a) p q p q (El condicional expresado mediante los concetivos básicos). Preliminares. 5

5 1.1 Cálculo proposicional. b) p q (p q) (q p) (El bicondicional como doble condicional). c) p q q p (El condicional y su contrarrecíproca son equivalentes). d) p q (p q) 0. e) p (q r) (p q) r. Comprobemos que las equivalencias son ciertas: a) y b) Para las dos primeras usaremos las tablas de verdad: p q p q p q p q (p q) (q p) c) p q (1) p q (2) q p (3) ( q) p (4) q p (1): es la equivalencia lógica de a); (2): Ley conmutativa; (3): aplicando la segunda regla de sustitución, R2, con la ley de la doble negación; (4): aplicando R1 a la equivalencia lógica de a). d) (p q) 0 (p q) 0 (p q) p ( q) p q p q e) p (q r) p (q r) p ( q r) ( p q) r (p q) r (p q) r Ejercicio.- Justificar las equivalencias lógicas que aparecen en las secuencias de d) y e) de forma análoga a como se hizo en el caso c) Implicación lógica. Reglas de inferencia. Definición 1.16 Dadas dos formas proposicionales P y Q diremos que P implica lógicamente Q, y escribiremos P = Q, si P Q es una tautología. Escribiremos P Q cuando P no implique lógicamente Q. Observaciones 1.17 Si el valor de verdad de P es falso, entonces el valor de verdad de P Q es verdadero independientemente del valor de verdad de Q. Consecuentemente, P = Q si siempre que P tenga valor de verdad verdadero Q tiene el valor de verdad verdadero. De manera equivalente P = Q significa que P y Q no tienen nunca, de manera simultánea, los valores de verdad 1 y 0 respectivamente, por lo que cuando P es verdadera, Q es verdadera y cuando Q es falsa, P es falsa. Se cumple que: P Q si y sólo si P = Q y Q = P. Es decir que es lo mismo comprobar la equivalencia lógica que comprobar las dos implicaciones lógicas. P = Q tambien se lee como P es condición suficiente para Q y Q es condición necesaria para P. Análogamente, P Q se lee como P es condición necesaria y suficiente para Q. Definición 1.18 Las implicaciones lógicas de la forma P 1 P 2 P n = Q se llaman reglas de inferencia y se dice que la forma proposicional Q se deduce (o se infiere) de las formas proposicionales P 1, P 2,..., P n. Reglas de inferencia básicas 1.19 En la siguiente relación se recogen algunas de las reglas de inferencia más usuales Preliminares. 6

6 1.1 Cálculo proposicional. Modus Ponens: p (p q) = q. Modus Tollens: q (p q) = p. Reducción al absurdo: ( p 0) = p. Silogismo disyuntivo: (p q) p = q. Silogismo o Transitividad de : (p q) (q r) = (p r). Ampliación disyuntiva: p = p q. Simplificación conjuntiva: p q = p. Mediante las tablas de verdad se prueba la validez de las reglas Modus Tollens y el Silogismo: p q q (p q) p p q q (p q) (q r) p r Compruébese la validez del resto de las reglas de inferencia básicas. Observación 1.20 Estas reglas de inferencia expresan los modelos de razonamiento deductivo usados en la lógica. Así la regla Modus Ponens se lee de la forma siguiente: Si cuando p es cierto entonces q es cierto y p es cierto, necesariamente q es cierto (p q) p = q Y la Reducción al Absurdo se lee : Si cuando p es falso se tiene una contradicción, necesariamente p es cierto p 0 = p Analogamente, el silogismo disyuntivo o la Modus Tollens Si p o q son ciertos y p es falso, necesariamente q es cierto (p q) p = q Si cuando p es cierto q es cierto y q es falso, necesariamente p es falso (p q) q = p Definición 1.21 Un teorema es una colección finita de formas proposicionales H 1, H 2,..., H n llamadas hipótesis o premisas del teorema y una forma proposicional C llamada conclusión o tésis del teorema. Diremos que un teorema con hipótesis H 1, H 2,..., H n y conclusión C es un teorema válido si H 1 H 2 H n = C, es decir, si la conclusión C se deduce de las hipótesis H 1, H 2,..., H n. Observación: Un teorema con hipótesis H 1, H 2,..., H n y conclusión C es un teorema válido si el condicional H 1 H 2 H n C es una tautología, es decir, si todos los valores de su tabla de verdad son 1. En consecuencia, un teorema es no válido si es posible encontrar valores de verdad de Preliminares. 7

7 1.1 Cálculo proposicional. las variables tales que el valor de verdad de cada una de las hipótesis sea 1 y el de la conclusión 0. Estos valores de las variables proporcionan un contraejemplo que prueba que el teorema no es válido. Por ejemplo el teorema con H 1 = p q, H 2 = q y C = p no es válido (H 1 H 2 C ) ya que cuando los valores de verdad de las variables son p = 0 y q = 1, se tiene que: H 1 = 0 1 = 1 H 2 = 1 C = 0 como queda reflejado en la tabla de verdad de la derecha Métodos de demostración. p q (p q) q p Demostrar un teorema consiste en probar la validez del mismo. Esto puede hacerse mediante las tablas de verdad o, más comúnmente, viendo que a partir de las hipótesis se puede llegar a deducir la conclusión. Esta manera de hacerlo se conoce con el nombre de demostración formal y se expresa de la manera siguiente: Definición 1.22 Llamaremos demostración formal de un teorema, con hipótesis H 1, H 2,..., H n y conclusión C, a cualquier sucesión de formas porposicionales P 1, P 2,..., P k, donde a) P k = C y b) cada P i de la sucesión: (i) es una de las hipótesis, o (ii) es una tautología conocida, o (iii) puede obtenerse de algunas de las formas proposicionales anteriores por medio de las reglas de sustitución, o (iv) puede deducirse de las formas proposicionales anteriores. Es decir, es encadenar una serie de implicaciones lógicas que partiendo de las hipótesis nos lleven a la conclusión. Ejemplo 1.23 Demostremos formalmente (a b) ( a [c s]) c = b: H 1 : a b Hipótesis H 2 : a (c s) Hipótesis H 3 : c Hipótesis P 4 : b a Equiv. conocida de H 1 : la contrarrecíproca P 5 : b (c s) Silogismo de P 4 y H 2 : (p q) (q r) = (p r) P 6 : b (c s) Equiv. conocida de P 5 : p q p q P 7 : (b c) (b s) Distributiva de P 6 P 8 : b c Simplificación conjuntiva de P 7 : p q = p P 9 : b Silogismo disyuntivo de P 8 y H 3 : (p q) p = q Métodos de demostración. Si un grupo de formas proposicionales son lógicamente equivalentes y probamos que una de ellas es una tautología, las otras también son tautologías; en consecuencia, probar un teorema puede hacerse probando que es válido algún teorema lógicamente equivalente. En esto consisten los distintos métodos de demostración: Preliminares. 8

8 1.2 Cálculo de predicados. Demostración por contradicción o reducción al absurdo 1.24 Consiste en demostrar que H 1 H 2 H n = C, dando una demostración de la expresión equivalente [Nota: De (p q) [(p q) 0].] H 1 H 2 H n C = 0. Demostración de la contrapositiva 1.25 Consiste en demostrar que H 1 H 2 H n = C, dando una demostración de la expresión equivalente [Nota: De (p q) ( q p).] C = (H 1 H 2 H n ). Demostración con hipótesis asumida 1.26 Cuando la conclusión es de la forma P Q, puede demostrarse H 1 H 2 H n = P Q, dando una demostración de la expresión equivalente H 1 H 2 H n P = Q [Nota: De [p (q r)] [(p q) r].] Demostración trivial 1.27 Una demostración trivial de P = Q es aquella en que se demuestra que Q es verdadera sin hacer referencia a P. Se dice, entonces, que P Q es trivialmente verdadera. [Nota: De que p 1 es una tautología.] Demostración vacía 1.28 Una demostración vacía de P = Q consiste en probar que P es falsa. En este caso se dice que P Q es verdadera por vacuidad. [Nota: De que 0 q es una tautología.] Ejemplo 1.29 Dar una demostración formal de (a b) ( a [c s]) c = b por contradicción o reducción al absurdo es probar que (a b) ( a [c s]) c b = 0 H 1 : a b Hipótesis H 2 : a (c s) Hipótesis H 3 : c Hipótesis H 4 : b Nueva hipótesis: C P 5 : a M. Tollens de H 4 y H 1 P 6 : c s M. Ponens de P 5 y H 2 P 7 : c Simplificación conjuntiva de P 6 P 8 : 0 Contradicción de P 7 y H 3 Que es más sencilla que la dada en el ejmplo 1.23, para el mismo teorema. 1.2 Cálculo de predicados. El Cálculo de predicados generaliza el cálculo proposicional, en el siguiente sentido: una expresión como x es un número par no es una proposición, sin embargo cada vez que sustituimos la variable x por un valor concreto 3 es un número par se convierte en una proposición; de hecho, cuando fijamos el conjunto de valores de x tenemos recogida en esa expresión una proposición para cada valor posible. Podemos así manejar múltiples proposiciones en una única expresión. Preliminares. 9

9 1.2 Cálculo de predicados. Definición 1.30 Un predicado es una sentencia declarativa que contiene una o más variables y que resulta ser una proposición cuando sustituimos las variables por ciertos valores permitidos. El conjunto de donde permitiremos elegir los valores que pueden tomar las variables de un predicado se denomina universo del discurso o universo. Simbolizamos un predicado de n argumentos por P (x 1, x 2,..., x n ), donde P es el nombre del predicado. Por ejemplo, en el universo U = IN el predicado P (x) = x 2 > 0 ; o en los universos U 1 = IR y U 2 = Z + el predicado P (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 es un número entero Predicados con una variable. Un universo como U = IN tiene infinitos elementos y nos aparecerían expresiones no manejables como P (0) P (1) P (2) P (3) o como P (0) P (1) P (2) P (3), si pretendemos involucrar a todos los elementos del conjunto. Para manejar expresiones como estas se introducen los cuantificadores: Definición 1.31 Utilizamos x para simbolizar Para algún x y lo llamaremos cuantificador existencial. Otras lecturas posibles son Para al menos un x y Existe algún x. Utilizamos x para simbolizar Para cada x y lo llamaremos cuantificador universal. Otras lecturas posibles son Para todo x y Para cualquier x. Observaciones 1.32 Si la variable de un predicado está cuantificada existencial o universalmente, se dice que es una variable acotada por el cuantificador. En caso contrario, se dice que es una variable libre del predicado. En el predicado P (x), el valor de verdad de la proposición que resulta al sustituir la variable libre x por cada valor posible de x puede variar; sin embargo, x P (x) ó x P (x) tienen un valor de verdad fijo. Es decir, un predicado con varible libre no es una proposición mientras que un predicado con la variable acotada es una proposición. Predicados cuantificados 1.33 El valor de verdad de estas nuevas proposiciones se resume en el siguiente cuadro: P Es verdadera si... Es falsa si... P x P (x) x P (x) para algún a del universo, P (a) es verdadera. para cada a del universo, P (a) es verdadera. para cada a del universo, P (a) es falsa. al menos para un a del universo, P (a) es falsa. x P (x) x P (x) Nota: Los predicados sobre un mismo universo pueden componerse mediante los conectivos lógicos, obteniéndose otro predicado en ese universo. Si se relacionan dos predicados sobre universos distintos se obtiene otro predicado, pero de dos variables (pues pertenecen a universos distintos) Equivalencias e implicaciones lógicas. Definición 1.34 Sean P (x) y Q(x) predicados de variable libre x, definidos sobre un mismo universo. Diremos que P (x) y Q(x) son predicados equivalentes si, para cada a del universo, las proposiciones P (a) y Q(a) son lógicamente equivalentes. Diremos que P (x) implica Q(x) si para cada a del universo P (a) = Q(a). Preliminares. 10

10 1.2 Cálculo de predicados. Teorema 1.35 Sean P (x) y Q(x) predicados sobre el mismo universo. Si P (x) y Q(x) son equivalentes, se tiene a) x P (x) x Q(x). b) x P (x) x Q(x). Si P (x) implica Q(x), entonces c) x P (x) = x Q(x). d) x P (x) = x Q(x). Leyes de DeMorgan generalizadas 1.36 a) [ x P (x)] x P (x). b) [ x P (x)] x P (x) Demostraciones en el cálculo de predicados. Para demostrar la validez de argumentos que contienen proposiciones cuantificadas necesitaremos las siguientes reglas de inferencia con cuantificadores: Especificación existencial 1.37 Si P (x) es un predicado sobre un universo dado, y x P (x) es verdadero, entonces P (a) es verdadero para un cierto a del universo. Es decir x P (x) = P (a) (para algún a) Cuantificación existencial 1.38 Si P (a) es un predicado verdadero sobre un cierto a del universo, entonces x P (x) es verdadero. Es decir, P (a) = x P (x) Especificación universal 1.39 Si P (x) es un predicado sobre un universo dado, y x P (x) es verdadero, entonces P (a) es verdadero para cada a del universo. Es decir, x P (x) = P (a) (para cada a) Generalización universal 1.40 Si probamos que un predicado P (x) es verdadero cuando x es reemplazado por cualquier elemento c genérico y arbitrariamente elegido del universo, entonces la proposición cuantificada x P (x) es verdadera. Es decir, P (c) (para c genérico arbitrariamente elegido) = x P (x) Teorema 1.41 Para proposiciones de variable cuantificada se tienen las siguientes equivalencias e implicaciones lógicas: a) x [P (x) Q(x)] [ x P (x)] [ x Q(x)] b) x [P (x) Q(x)] = [ x P (x)] [ x Q(x)] c) x [P (x) Q(x)] [ x P (x)] [ x Q(x)] d) [ x P (x)] [ x Q(x)] = x [P (x) Q(x)] Demostración: Preliminares. 11

11 1.2 Cálculo de predicados. a) x [P (x) Q(x)] = P ó (a) Q(a) (para algún } a) P (a) = x P (x) = = [ x P (x)] [ x Q(x)] ó Q(a) = x Q(x) ó } x P (x) = P (a) (para algún a) = P (a) Q(a) [ x P (x)] [ x Q(x)] = ó x Q(x) = Q(b) (para algún b) = P (b) Q(b) = x [P (x) Q(x)] b) x [P (x) Q(x)] = P (a) Q(a) (para algún } a) P (a) = x P (x) = = [ x P (x)] [ x Q(x)] y Q(a) = x Q(x) c) x [P (x) Q(x)] = P (c) Q(c) (para un c genérico) } P (c) (para c genérico) = x P (x) = = [ x P (x)] [ x Q(x)] y Q(c) (para c genérico) = x Q(x) } x P (x) = P (c) (para un c genérico) [ x P (x)] [ x Q(x)] = y x Q(x) = Q(c) (para el mismo c) = P (c) Q(c) (para un c genérico) = x [P (x) Q(x)] d) [ x P (x)] [ x Q(x)] ó x P (x) = P (c) (para un c genérico) = P (c) Q(c) (para un c genérico) = x [P (x) Q(x)] = ó x Q(x) = Q(b) (para un b genérico) = P (b) Q(b) (para un b genérico) = x [P (x) Q(x)] = x [P (x) Q(x)] Observación 1.42 En el teorema anterior, donde aparecen sólo implicaciones lógicas es por que la implicación recíproca no es cierta: [ x P (x)] [ x Q(x)] x [P (x) Q(x)] y x [P (x) Q(x)] [ x P (x)] [ x Q(x)] En efecto, sea U = IN el universo y P (x) = x es un número par y Q(x) = x es impar : La primera implicación lógica dice: Si hay algún número que es par y hay algún número que es impar, necesariamente hay un número que es a la vez par e impar La segunda dice: Si cada número es o par o impar, necesariamente o todos los números son pares o todos los números son impares Y ambas son claramente falsas (búsquese un contraejemplo concreto para cada una de ellas) Predicados con más de una variable. Definición 1.43 En un predicado de n variables P (x 1,..., x n ), diremos que la variable x i está acotada si está cuantificada existencial o universalmente, y escribiremos x i P (x 1,..., x n ) ó x i P (x 1,..., x n ). En caso contrario diremos que la variable x i es libre. Observaciones 1.44 En predicados de más ( de una variable, como P ))(x 1, x 2, x 3 ), las expresiones x 1 x 2 x 3 P (x 1, x 2, x 3 ) indican x 1 x 2 ( x 3 P (x 1, x 2, x 3 ), una precedencia en las operaciones que no permite, en general, alterar el orden de las variables. Preliminares. 12

12 1.3 Ejercicios. En un predicado de n variables que tiene k variables acotadas sólo son subceptibles de variación las n k restantes variables, por lo que puede ser considerado un predicado de n k variables. Un predicado con todas las variables acotadas por cuantificadores es una proposición. [ ] En lo que sigue, usaremos únicamente predicados de dos variables, pero los resultados son ciertos para cualquier número de variables. Definición 1.45 Sean P (x 1, x 2 ) y Q(x 1, x 2 ) predicados definidos sobre un mismo universo. Diremos que P (x 1, x 2 ) y Q(x 1, x 2 ) son equivalentes si, para cualquier (a 1, a 2 ) del universo, las proposiciones P (a 1, a 2 ) y Q(a 1, a 2 ) son lógicamente equivalentes. Lema 1.46 Si P (x 1, x 2 ) y Q(x 1, x 2 ) son predicados equivalentes sobre el mismo universo, entonces: a) Para cada i, los predicados x i P (x 1, x 2 ) y x i Q(x 1, x 2 ) son equivalentes. b) Para cada i, los predicados x i P (x 1, x 2 ) y x i Q(x 1, x 2 ) son equivalentes. Teorema 1.47 Si P (x 1, x 2 ) y Q(x 1, x 2 ) son predicados equivalentes sobre el mismo universo, entonces 1 x 1 2 x 2 P (x 1, x 2 ) 1 x 1 2 x 2 Q(x 1, x 2 ) donde i representa el cuantificador ( o ) de la variable x i. Teorema 1.48 Sea P (x, y) se tiene x y P (x, y) y x P (x, y) x y P (x, y) y x P (x, y) En consecuencia, también pueden escribirse como x, y P (x, y) y x, y P (x, y). Teorema 1.49 En general, se tiene que a) y x P (x, y) = x y P (x, y). b) x y P (x, y) y x P (x, y). Regla de la Generalización universal 1.50 Si probamos que P (x, y) es verdadero cuando sustituimos x e y por elementos c 1 y c 2 elegidos arbitrariamente de sus respectivos universos, entonces x, y P (x, y) es verdadera. 1.3 Ejercicios. 1.1 Construir la tabla de verdad de las siguientes formas proposicionales. Hay alguna tautología o alguna contradicción? a) p (q r) b) (p q) r c) (p q) p d) (p q) (q p) e) (p q) p f) q ( p q) 1.2 Determinar el valor de verdad de las variables sabiendo que [(p q) r] (s t) es falsa. 1.3 Si la variable s tiene el valor de verdad 0, determinar todos los valores de verdad que debemos asignar a las variables p, q y r para que sea 1 el valor de verdad de la forma proposicional (p [( q r) s]) [ s ( r p)]. 1.4 Abel, Benito y Carlos son acusados de fraude fiscal. Declaran lo siguiente: Preliminares. 13

13 1.3 Ejercicios. Abel: Benito es culpable y Carlos es inocente. Benito: Si Abel es culpable, Carlos es también culpable. Carlos: Yo soy inocente pero al menos uno de los otros es culpable. Simbolizarlo en el Cálculo Proposicional y contestar a las preguntas siguientes: a) Si todos son inocentes, quién ha mentido? b) Si se supone que todos dicen la verdad, quién es inocente y quién es culpable? c) Si se sabe que el que es inocente dice la verdad y el culpable miente, quién es inocente y quién culpable? 1.5 Un padre le dijo a su hijo: Si no terminas tu cena, te irás directo a dormir. El hijo terminó su cena y fué enviado a la cama. Discute la actuación del padre. 1.6 Probar que: a) p q q p b) (p q) no es lógicamente equivalente a ninguna de las siguientes: p q, q p, p q, p q, q p. 1.7 Simplificar las expresiones: a) (p q) b) (p q) ( p q) c) ( [(p q) r] q) 1.8 Dar un contraejemplo para probar que el teorema de hipótesis H 1 = p (r s), H 2 = q (p q), H 3 = t r y conclusión C = s t no es válido. 1.9 Considera las siguientes hipótesis: Si tomo el autobús, entonces llegaré tarde al dentista. Si tomo taxi entonces, no llegaré tarde pero me quedaré sin dinero. Llegué a tiempo al dentista. Cuáles de las siguientes proposiciones pueden deducirse de las hipótesis anteriores? Justificar las respuestas y dar una demostración formal en los casos válidos. a) Tomé un taxi. b) Si me quedé sin dinero entonces tomé un taxi. c) Si tomo el autobús, entonces no me quedaré sin dinero. d) No me quedaré sin dinero Se ha producido un robo y se sospecha que Dimas fue el ladrón. Se sabe que: Si no llovía cuando se produjo el robo entonces Dimas fue el ladrón. O bien llovía y Dimas fue el ladrón, o bien el ladrón usó guantes. Si Dimas no fue el ladrón, entonces no llovía y el ladrón usó guantes. Se puede asegurar que Dimas fue el ladrón? Y qué no lo fue? 1.11 a) Modelar los siguientes enunciados sobre los elementos de un cierto universo de números: (i) Algún número es igual a su cuadrado. (ii) Hay números que no coinciden con su cuadrado. (iii) No todos los números son distintos de su cuadrado. (iv) Cualquier número es distinto de su cuadrado. (v) Ningún número es igual a su cuadrado. (vi) Un número y su cuadrado son iguales si el cuadrado no es positivo. (vii) Hay números distintos cuyos cuadrados son iguales. b) Si el universo es U = 1, 2, 3} justifica el valor de verdad de cada una de las proposiciones anteriores. Preliminares. 14

14 1.3 Ejercicios. c) Identifica, entre las anteriores, las proposiciones equivalentes y, si hay, las que sean negación de otra Utilizando únicamente los siguientes predicados sobre el universo de todos los animales: L(x) = x es un león ; C(x) = x es una cebra ; R(x) = x ruge ; A(x) = x vive en África y M(x, y) = x come a y, expresar en el cálculo de predicados los siguientes enunciados y dar su negación. a) Todos los leones rugen. b) Algunos leones viven en África. c) No todas las cebras viven en África. d) Sólo rugen los leones. e) Algunos leones sólo comen cebras Si x e y son números enteros y x 0, se dice que x divide a y si existe algún k Z tal que y = kx. Sea el predicado P (x, y) = x divide a y. Si el universo para la variable x es el conjunto de los naturales positivos IN = IN 0} = 1, 2, 3, 4,...} y el universo para y es el de todos los naturales IN, determinar el valor de verdad de las proposiciones siguientes: a) y P (1, y) b) x P (x, 1) c) x P (x, 0) d) x P (x, 1) e) x y P (x, y) f) x y P (x, y) g) y x P (x, y) h) y x P (x, y) i) x, y [P (x, y) P (y, x)] x = y j) x, y, z [P (x, y) P (y, z)] P (x, z) Si cambiamos los universos por Z = Z 0} para la x y Z para la y, cambia el valor de verdad de las proposiciones? 1.14 Dar una demostración formal para establecer la validez del siguiente teorema: ( ) ( ) ( ) ( ) x [P (x) Q(x)] x P (x) x [ Q(x) R(x)] x [S(x) R(x)] = x S(x) Preliminares. 15