REPASO DE TRIGONOMETRÍA

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1 4 TELE 1003 MATEMÁTICAS PARA CIRCUITOS AC Prof Víctor J Avilés REPASO DE TRIGONOMETRÍA Y Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (de 90) Teorema de Pitágoras: Definición: r 2 = x 2 + y 2, Donde r representa la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90 ), y las variables x e y son los catetos r x y Fig 1 X Por lo tanto: = + Funciones trigonométricas: Definición: sin = = sin cateto (x) Fig 2 cateto (y) Por lo tanto: sin = = sin = sin Nótese en nuestra ilustración que el lado opuesto (opp) al ángulo es el lado y También, el lado adyacente (adj) al ángulo es el lado x Definición: cos = = cos Por lo tanto: cos = = cos = cos Definición: tan = = tan Por lo tanto: tan = = tan Ejemplo 1: Refiérase a la Fig 3 y calcule el valor de la hipotenusa También, calcule le valor del ángulo Solución: a) La hipotenusa es: = + = r = 5 b) Hay varias maneras de calcular el ángulo 1 tan = = tan = tan 075 = r =? X = 4 Fig 3 y = 3 2 sin = = sin = sin 06 = Pág 1 de 6 Matematicas_para_circuitos_ACdocx Rev Ene 13, 2014

2 TELE 1003 MATEMÁTICAS PARA CIRCUITOS AC Prof Víctor J Avilés Ejemplo 2: Calcule el valor de la hipotenusa y del ángulo Ѳ en la Fig 4 Solución: x = 5 y = -4 r =? Ѳ =? Y 5 X = + = r = 6403 = tan ± = tan Ѳ = Fig 4 Ejemplo 3: Calcule el valor de los catetos en la Fig 5 dado Y que la hipotenusa es igual a 6 y el ángulo = 10 Solución: r = 6 = 10 = cos = 6 cos 10 x = 5909 X = sin = 6 sin 10 y = 1042 Fig 5 REPASO DE ÁLGEBRA NÚMEROS COMPLEJOS: Los números reales son los números positivos, negativos y cero Son los números que usted usa diariamente Por ejemplo: 2, 1, 03, 0, 05, 1, 15, 20 Los números imaginarios son los que tienen la raíz cuadrada de un número negativo Por ejemplo: 25, 4, 23, 5, 8 Por definición: = = = = Un número imaginario consisten de un número real multiplicado por j Por ejemplo: 25 = (25)( 1) = 25 1 = 5 1 = 5j Pág 2 de 6 Matematicas_para_circuitos_ACdocx Rev Ene 13, 2014

3 TELE 1003 MATEMÁTICAS PARA CIRCUITOS AC Prof Víctor J Avilés 4 = (4)( 1) = 4 1 = 2 1 = 2j 5 = (5)( 1) = 5 1 = = 2236j 8 = (8)( 1) = 8 1 = = 2828j Ejemplos 4, 5 y 6: 7 = 2646, 16 = 4, 9 = 3 Ejercicios: 4 4 =? 3 3 =? 2 =? 8 =? 1 =? Racionalización para despejar un radical en el denominador: Ejemplo 7: =? = = Ejemplo 8: =? = = Ejemplo 9: =? = = = (Recordemos que = 1 ) Los números complejos son la combinación de un número real y un número imaginario Hay varias maneras de expresar un número complejo Estudiaremos la forma rectangular (también llamada forma cartesiana) y la forma polar Las formas trigonométrica y exponencial no serán estudiadas La forma rectangular de un número complejo se expresa de la siguiente manera: r = x + yj, donde la x representa la parte real del número complejo, y la yj representa la parte imaginaria Ejemplo: En el número complejo r = 5 + 8j, el 5 representa la parte real y el 8j representa la parte imaginaria del número complejo Ejemplo: En el número complejo r = 10, el 10 representa la parte real y la parte imaginaria se asume que es 0j Por lo tanto, un número real es en realidad un número complejo cuya parte imaginaria se omite porque es igual a cero Pág 3 de 6 Matematicas_para_circuitos_ACdocx Rev Ene 13, 2014

4 TELE 1003 MATEMÁTICAS PARA CIRCUITOS AC Prof Víctor J Avilés Ejemplo: En el número complejo r = 16j, el 16j representa la parte imaginaria y la parte real se asume que es 0 Por lo tanto, un número imaginario es en realidad un número complejo cuya parte real se omite porque es igual a cero Como podemos ver, los números reales y los números imaginarios son subconjuntos del conjunto de los números complejos Ejercicios: Ubique en el plano complejo cartesiano los siguientes números complejos: r 1 = 4, r 2 = 3 2j r 3 = 5j r 4 = 5 + 3j L a forma polar de un número complejo se expresa de la siguiente manera: r = r θ, donde r representa la magnitud y θ el ángulo del número complejo De tal manera que si r = x + yj, entonces = + y = tan El ángulo θ también se puede calcular como: = sin = cos Ejercicios: Dibujar los siguientes números en el plano polar de los números complejos r = 5 30 r = 7-60 Ejemplo: Convierta el número r = 4 - j a la forma polar Solución: r = 4 - j r = x + yj x = 4 y = -1 = + = r = 4123 = tan = tan θ = r = r θ r = Ejemplo: Exprese el número r = 3 + 6j en la forma polar Solución: r = 3 + 6j r = x + yj x = 3 y = 6 = + = r = 6708 = tan = tan θ = r = r θ r = Ejemplo: Expresar el número r = 3 45 en la forma rectangular: Solución: r = r θ r = 3 θ = 45 x = r cos θ y = r sin θ x = 3 cos 45 x = 2121 y = 3 sin 45 y = 2121 r = x + yj r = j Ejemplo: Convierta el número r = 4-25 a la forma rectangular: Solución: r = r θ r = 4 θ = -25 x = r cos θ y = r sin θ x = 4 cos (-25 ) x = 3625 y = 4 sin (-25 ) y = r = x + yj r = j Ejercicios: o Pág 4 de 6 Matematicas_para_circuitos_ACdocx Rev Ene 13, 2014

5 TELE 1003 MATEMÁTICAS PARA CIRCUITOS AC Prof Víctor J Avilés 1 Exprese los siguiente números en la forma polar: a) 16 b) Exprese los siguientes números en la forma polar: a) 271j b) -044j c) -41 d) -23m c) 500kj d) -234j ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: Forma rectangular o cartesiana de los números complejos: Suma y resta de números complejos usando la forma rectangular: Regla para sumar y restar números complejos en su forma rectangular: Sume o reste partes reales con partes reales, y partes imaginarias con partes imaginarias Ejemplo: Dado que: r 1 = 4 + 3j y r 2 = 2 j, calcule r 1 + r 2 y r 1 r 2 r 1 + r 2 = (4 + 3j) + (2 j) r 1 + r 2 = 4 + 3j + 2 j = 6 + 2j r 1 + r 2 = 6 + 2j r 1 - r 2 = (4 + 3j) - (2 j) r 1 - r 2 = 4 + 3j -2 + j = 2 + 4j r 1 - r 2 = 2 + 4j Asignación: Resuelva el pasado ejemplo de forma gráfica Multiplicación y división de números complejos usando la forma rectangular: *** Este tópico no va a ser cubierto *** Forma polar de los números complejos: Suma y resta de números complejos usando la forma polar: *** Este tópico no va a ser cubierto en detalle El maestro solo dará en la pizarra algunos ejemplos de cómo se puede sumar y restar los fasores gráficamente cuando están desfasados 180 entre sí *** Multiplicación y división de números complejos usando la forma polar: Regla para multiplicar números complejos en su forma polar: Multiplique las magnitudes de los números polares, y sume sus ángulos teniendo en consideración sus signos Ejemplos: Dados r 1 = y r 2 = 2 25, Calcule el producto: r 1 X r 2 r 1 X r 2 = (15 30 ) (2 25 ) = (15 X 2) ( ) = Dados r 1 = y r 2 = 2 25, Calcule el producto: r 1 X r 2 Pág 5 de 6 Matematicas_para_circuitos_ACdocx Rev Ene 13, 2014

6 TELE 1003 MATEMÁTICAS PARA CIRCUITOS AC Prof Víctor J Avilés r1 X r2 = (15-30 ) (2 25 ) = (15 X 2) ( ) = 30-5 Dados r 1 = y r 2 = 2-25, Calcule el producto: r 1 X r 2 r 1 X r 2 = (15-30 ) (2-25 ) = (15 X 2) ( ) = Dados r 1 = y r 2 = 2-25, Calcule el producto: r 1 X r 2 r 1 X r 2 = (15 30 ) (2-25 ) = (15 X 2) ( ) = Regla para dividir números complejos en su forma polar: Divida las magnitudes de los números polares (numerador dividido entre denominador), y reste el ángulo del numerador al ángulo del denominador teniendo en consideración sus signos Ejemplos: Dados r1 = y r2 = 2 25, Calcule la división: r1 / r2 r 1 / r 2 = (15 30 ) / (2 25 ) = (15 / 2) (30-25 ) = 75 5 Dados r 1 = y r 2 = 2 25, Calcule la división: r 1 / r 2 r 1 / r 2 = (15-30 ) / (2 25 ) = (15 / 2) ( ) = Dados r 1 = y r 2 = 2-25, Calcule la división: r 1 / r 2 r1 / r2 = (15-30 ) / (2-25 ) = (15 / 2) [ (- 25 )] = 75 [ ] = 75-5 Dados r 1 = y r 2 = 2-25, Calcule la división: r 1 / r 2 r 1 / r 2 = (15 30 ) / (2-25 ) = (15 / 2) [30 - (- 25 )] = 75 [ )] = EN RESUMEN Para sumar y restar números complejos use la forma rectangular Para multiplicar y dividir números complejos use la forma polar Pág 6 de 6 Matematicas_para_circuitos_ACdocx Rev Ene 13, 2014