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Lucía Ferreyra Martín
hace 6 años
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1 1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Números complejos. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Trigonometría. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente. 2. Los números complejos. Se va a definir un nuevo tipo de números, los números complejos, que tienen la capacidad de resolver raíces cuadradas negativas: 1 = i Al número i se le denomina la unidad imaginaria. Tiene la propiedad de que: i 2 = 1 A este nuevo conjunto de números se le suele denominar por la letra C. Ejemplo: Calcular la soluciones de la ecuación: x = 0 Tiene dos soluciones: x 2 = 4 x = ± 4 x = ± 4 1 x = ±2i Una expresión de la forma a + bi donde a y b son dos números reales e i, es la unidad imaginaria, se denomina número complejo. La expresión a + bi recibe el nombre de forma binómica de un número complejo. a es la parte real y b es la parte imaginaria. Ejemplo: 3 + 4i = }{{} 3 Parte real + }{{} 4 Parte imaginaria i Ejemplo: Son números complejos 2 4i, 3, 1 + i, i,... Si un número complejo no tiene parte imaginaria, se le denomina imaginario puro. Ejemplo: Son imaginarios puros: 4i, i, 5 4 i, Operaciones con números complejos en forma binómica. En general las operaciones con números complejos son similares a las operaciones con polinomios. Lo único a tener en cuenta es que i i = Suma. Se realiza de la misma forma que la suma de polinomios: (3 + 2i) + (5 2i) = (3 + 5) + (2 2)i = 8 + 0i = 8 (4 3i) + (3 + 5i) = (4 + 3) + ( 3 + 5)i = 7 + 2i

2 4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO Producto. Se realiza de la misma forma que el producto de polinomios. Lo único a tener en cuenta es que i i = 1: (3 + 2i) (5 2i) = 15 6i + 10i 4i i = 15 6i + 10i 4( 1) = (15 + 4) + ( )i = i (4 3i) (3 + 5i) = i 9i 15i i = i 9i 15( 1) = ( ) + (20 9)i = i 3.3. División. Definición: El conjugado de el número complejo a + bi es el número que se obtiene de cambiar de signo a la parte imaginaria, a bi. Así el conjugado de 2 + 3i es 2 3i. El conjugado de 4 5i es 4 + 5i. Para calcular la división de dos números complejos hay que multiplicar al denominador y al numerador por el conjugado del denominador y operar: 1 + i (1 + i)(1 + i) = 1 i (1 i)(1 + i) = 2i 2 = i 2 + i (2 + i)(3 4i) 10 5i = = = i (3 + 4i)(3 4i) i 3.4. Potencia. Es idéntica a la potencia de polinomios. Lo único a tener en cuenta es que i i = 1: (a + bi) n = (a + bi)... (a + bi) }{{} n veces Ejemplo: (1 + i) 2 = (1 + i)(1 + i) = 2i Se deja como ejercicio calcular las siguientes potencias: i 0, i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i 6, i 7, i 8, Representación gráfica de un número complejo. Los números complejos se pueden representar en el plano como si fueran vectores. El eje horizontal ahora se llamará eje real y en él se representará la parte real del número complejo. Al eje vertical se le llamará eje imaginario y en él se representará la parte imaginaria del número complejo. En la figura 1 se puede ver la representación gráfica del número complejo 3 + 2i. 5. Forma polar de un número complejo. Puesto que los números complejos se pueden representar gráficamente como vectores, se puede nombrar cada número complejo usando el módulo y el ángulo que lo representa. Si α es el ángulo que forma el vector y m es el módulo del vector, a la expresión m α se la denomina número complejo en forma polar. Ejemplo: El número 3 + 2i en forma polar será: m = = 13 α = arctan 2 3 = 33,7o } 3 + 2i = 13 33,7 o

3 6 FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO. 3 eje imaginario eje real Figura 1: Representación del número complejo 3 + 2i. Ejemplo: El número 4 2i en forma polar será: m = = 20 α = arctan 2 4 = 26,6o } 3 + 2i = 20 26,6 o 6. Forma trigonométrica de un número complejo. Para pasar de forma polar a forma binómica un número complejo se usará la forma trigonométrica: m α = m (cos(α) + isen(α)) Ejemplo: 4 20 o = 4(cos 20 o + isen 20 o ) 7. Operaciones con números complejos en forma polar Suma. No es posible hacer sumas, de forma sencilla, en forma polar. Habrá que pasar a forma binómica los números para poder operar Producto. El producto de dos números en forma polar es otro número complejo en forma polar con módulo igual al producto de los módulos y argumento la suma de los argumentos: m α m β = (m m ) α+β Ejemplo: 3 30 o 4 10 o = (3 4) 30 o +10 o = o

4 8 ACTIVIDADES Cociente. El cociente de dos números en forma polar es otro número complejo en forma polar con módulo igual al cociente de los módulos y argumento la resta de los argumentos: m ( α m ) m = β m α β Ejemplo: 4 ( ) 10 o 4 2 = = 2 30 o 2 20 o 10 o 30 o 7.4. Potencia. La potencia n-ésima de un número en forma polar, m α, es otro número complejo en forma polar con módulo igual a la potencia n-ésima del módulo, m n, y argumento es n veces α, α n: (m α ) n = m n α n Ejemplo: (3 30 o) 2 = o = 9 60 o Hay que recordar una propiedad interesante de las potencias n a m = a m n Ejemplo: o = (3 30 o) 1 3 = o = 3 10 o 7.5. Raíces. La raíz n-ésima de un número en forma polar, m α, son n números complejos en forma polar con módulo igual a la raíz n-ésima del módulo, n m, y argumento es α n, α n + 2π n, α n + 2π n 2, α n + 2π n 3, α n + 2π n 4,...: Por ejemplo, la raíz de: n mα = n m α, n m α, n m n n +2π α n n +2π 2,, n m α n n +2π 3,... n 2 2 = 2 2 π = 2 2 π 2, 2 2 π 2 +2π 2 = 2 2 3π 2 Es decir, la raíz cuadrada de 2 2 son 2 2 π y 2 23π. Tiene2 raíces ya que era una raíz cuadrada, si hubiese 2 2 sido una raíz cúbica serían 3, si fuese cuádrica serían 4, Actividades. 1. Comprobar que las siguientes operaciones usando números complejos en forma binómica son correctas: a) (2 + 3i) (2 4i) + 4 = 7i + 4 b) 3 i+2 2 i + 4i 2 = 9+28 i 5 c) 20+30i 3+i = 9 + 7i d) 2+3i 5 3i = 1+21i 34 e) (2 + 3i) 2 = i f ) (6 3i) 2 = 27 36i 2. Calcular los siguientes números en forma polar: a) (2 + 3i)

5 8 ACTIVIDADES. 5 b) i c) 9 + 7i d) 1+21i 34 e) (2 + 3i) f ) 27 36i Comprobar que los resultados son correctos transformando los números complejos en forma polar obtenidos de nuevo a la forma binómica. 3. Realizar las siguientes operaciones: a) 2 45 o 3 20 o b) 4 45 o 2 45 o c) 2 45o 3 20 o d) 4 45o 2 45 o e) (2 90 o) 2 Representar gráficamente los resultados. 4. Con los números complejos se pueden resolver ecuaciones que antes no tenían solución. Las siguientes ecuaciones tienen como solución números complejos, resuélvelas y comprueba los resultados: a) x 2 = 1 b) x 2 x + 1 = 0 c) x = 0

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