Ordenada en el origen: Es el valor de la función cuando la variable x es 0 También llamado corte con el eje de ordenadas o corte Oy.

Transcripción

1 Función polinómica: La función polinómica está compuesta por una serie de operaciones; sumas, restas, productos potencias. Todas ellas están perfectamente definidas en el conjunto de los números reales. Por lo tanto no presenta problemas de eistencia. Es decir, su dominio es el conjunto de los números reales. (D=R) Función polinómica de primer grado: Su epresión analítica tiene la siguiente forma: siendo dos números reales, con Representación gráfica: La función polinómica de primer grado tiene como representación gráfica una recta oblicua: (0; ) Dicha recta corta a cada uno de los ejes en un punto, como se muestra en la figura. Cada punto tiene una coordenada nula, lo que facilita su tratamiento. (; 0) 0 Por lo tanto basta conocer los valores de e para poder representar gráficamente a la función. Ordenada en el origen: Es el valor de la función cuando la variable es 0 También llamado corte con el eje de ordenadas o corte O. Sustituendo por 0 obtenemos la ordenada en el origen para dicho gráfico. Por otra parte, si observamos con cuidado, veremos que dicha ordenada coincide con el término independiente de la epresión de la función. Esta particularidad se cumple para toda función polinómica de primer grado. Cero o Raíz: El valor de cuando la función corta al eje de las abscisas recibe el nombre de cero o raíz. Dado que para dicho valor de la función tiene imagen 0. Para encontrar dicho valor basta con igualar la función a 0, despejar el valor de de dicha ecuación. ( ) De este modo podemos representar gráficamente dicha función: (0; b) ( ; 0)

2 Signo de la función: Mediante un esquema de signo podemos obtener información valiosa sobre la función la ubicación de su bosquejo gráfico en el sistema de ejes cartesianos. En particular el signo de la función nos muestra la posición del gráfico de la función respecto al eje de abscisas (eje 0). Para realizar dicho esquema necesitamos conocer el cero o raíz de dicha función, además de conocer el coeficiente principal de la misma. Llamemos α a la raíz de principal de la función (a).. Veremos dos casos discriminados según el signo del coeficiente Caso 1: Si a>0 Caso 2: Si a<0 Factorización: Hasta ahora hemos trabajado a la función polinómica de primer grado con su epresión desarrollada ; pero en muchas oportunidades resultará de maor utilidad conocer su epresión factorizada. Para escribir la epresión factorizada basta con conocer el coeficiente principal a la raíz α. Veamos a continuación algunos ejemplos: Ejemplo 1: Dominio: D(f)=R Ordenada en el origen: Cero o raíz: Signo: Gráfico: Factorización: a=2 ; α=-2 por lo tanto sustituimos a α en: obtenemos:

3 Función polinómica de segundo grado: Su epresión analítica es: Siendo a, b c números reales, con a 0. Ordenada en el origen: al igual que en la función polinómica de primer grado, la ordenada en el origen coincide con el término independiente de la epresión de Ceros o raíces: Para obtener los puntos de corte con el eje de las abscisas debemos resolver la siguiente ecuación:. Dicha ecuación se resuelve aplicando la siguiente fórmula trabajada en cursos anteriores: Se debe tener en cuenta que aparece una raíz cuadrada, por lo tanto debemos considerar los siguientes casos: Llamaremos discriminante lo anotaremos con la letra griega Δ(delta maúscula)al número que se obtiene dentro de la raíz. Es decir:. Como todo número real, este puede ser positivo, negativo o cero. Para cada caso tendremos: Si Δ>0 Dos raíces reales distintas. Corta al eje de abscisas en dos puntos. Si Δ=0 Una raíz real (doble) Es tangente al eje de abscisas. Si Δ<0 No tiene raíces reales. No corta al eje de abscisas. Para cada uno de los casos el signo de la función tendrá el siguiente esquema (dependiendo del signo de a. Si Δ>0 a>0 a<0 Si Δ=0 Si Δ<0 La función polinómica de segundo grado se representa gráficamente mediante una parábola. Por lo tanto, además de las intersecciones con los ejes de coordenadas, se hace necesario conocer el vértice de dicha parábola. Vértice: Con el curso más avanzado se comprenderá el significado matemático, pero es claro que en el vértice de la parábola se encuentra el valor máimo o mínimo de la misma.

4 Por lo tanto Siguiendo con el mismo ejemplo: Ordenada en el origen: Ceros o Raíces: Las raíces son: Factorización: La epresión factorizada (en caso de tener dos raíces reales distintas, α β) es de la forma: En caso de tener una raíz doble: En caso de no tener raíces reales no es posible escribir de forma factorizada. entonces

5 Función polinómica de tercer grado. Se puede obtener como producto de una función polinómica de segundo grado una de primer grado. De esta forma podemos estar seguros de que tendrán al menos una raíz un máimo de tres raíces. También lo podemos escribir como: Es claro que el número de raíces de f dependerá de las raíces del polinomio de segundo grado:. Volvemos a plantearnos la situación a trabajada sobre el discriminante de la ecuación de segundo grado: A partir de la siguiente epresión: podemos observar que: Dependiendo del discriminante del coeficiente principal, tanto el signo como el bosquejo gráfico de la función polinómica de tercer grado se ubica en alguno de los siguientes casos. También es importante conocer el valor de corte en el eje de ordenadas; para ello basta con sustituir la variable por el valor que ella toma en dicho eje, es decir cero. De esta forma obtenemos: Nuevamente, al igual que en los casos anteriores, vemos que la ordenada en el origen coincide con el término independiente de la función. Esta particularidad se cumplirá para toda función polinómica de cualquier grado, tenlo presente para cursos superiores.

6 Algunos aspectos importantes sobre polinomios: División Entera de Polinomios: Dividendo Resto Divisor Cociente Teorema del resto: El resto de dividir un polinomio por uno de la forma es igual al valor numérico de dicho polinomio al sustituir por. Es decir Resto Teorema de Descartes: Un polinomio es raíz de es divisible por un polinomio de la forma Método de Ruffini para división por polinomios de la forma Este método consiste en utilizar los coeficientes en un esquema donde se realizarán las operaciones de suma resta de reales. (Nosotros trabajaremos con números enteros). Obteniendo los coeficientes del cociente el resto de la división que es un número real. Se comienza multiplicando el primer coeficiente por el valor de la raíz. Luego se suma el segundo coeficiente con el resultado de la multiplicación anterior. Se repite el procedimiento hasta completar todo el esquema. El último valor es el resto de la división. Los anteriores valors son los coeficientes del cociente de la división.

7 2 1 son los coeficientes del cociente de la división. 7 es el resto de dicha división. Por lo tanto el cociente de dicha división es: En caso de tratarse de un polinomio de grado maor o igual a 3, el resto obtenido del esquema de Ruffini corresponde al valor numérico de dicho polinomio al sustituir por. 3 Cociente: Resto: Raices evidentes: Eisten tres raíces a las que llamaremos evidentes, dado que se pueden obtener sin la necesidad de grandes cálculos, simplemente observando algunas condiciones en sus coeficientes. Cero es raíz: Por lo tanto diremos que un polinomio admite raíz 0 si sólo sí su término independiente es nulo. Uno es raíz: Por lo tanto diremos que un polinomio admite raíz 1 si sólo sí la suma de todos sus coeficientes es cero. es raíz: Por lo tanto diremos que un polinomio admite raíz -1 si sólo sí la suma de los coeficientes de los términos de grado par es igual a la suma de los coeficientes de los términos de grado impar.