Funciones lineales, cuadráticas y polinómicas.

Transcripción

1 Funciones lineales, cuadráticas El objetivo de esta ejercitación es familiarizarse con las epresiones matemáticas de funciones lineales cuadráticas, así como con sus representaciones gráficas. Matemáticamente, una función lineal se epresa por una fórmula del tipo = m + n donde:, son números reales, pueden tomar cualquier valor; m, n, tambien son números reales, son constantes en cada función que analizamos Gráficamente, una función lineal se representa por una línea recta, n m = / En este gráfico, el valor de m determina la inclinación de la recta. Si consideramos un incremento cualquiera en, le corresponderá un incremento en ; el cociente de estos incrementos da el valor de m. El valor de n mide la distancia que ha entre el cruce de la recta con el eje el origen,. Esta distancia se llama ordenada al origen. Como ejemplos, tenemos varias rectas. (Confirme que las ecuaciones de las mismas son correctas). = = = 6.7 = (/5)+2 = (/5) = -

2 Funciones lineales, cuadráticas EJERCICIS.. Bosquejar las siguientes funciones en un mismo gráfico: a. = ; 2 = 2. ; = /2. b. = - ; = -2. ; = -/2. 2. Bosquejar aproimadamente las siguientes funciones en un mismo gráfico: a. = +; = -; = -+; = - b. = 2. + ; = 2.-; = -2. +; = -2. c. = 0.0 +; = -5 +; = ; d. 0. = + 0.2; 0 = ; 3 = 3 + 3; 3. Bosquejar las rectas siguientes calcular las intersecciones con los ejes: a = 2; b = 5; c. = +.23 ; 4. Encontrar la epresión de las rectas que pasen por un par de puntos dados; bosquejarlas. a. P = ( -2.5, -.0 ) P2 = ( 3.2,.0) b. P = ( +2.0, -.0 ) P2 = ( 3.2, 6.0) 5. Dadas las representaciones gráficas siguientes, encontrar las correspondientes epresiones matemáticas, (0,5) (3,3) (-,) (3,0) (8,0) (0,-5) (7,-5) 2

3 Funciones lineales, cuadráticas Matemáticamente, una función cuadrática se epresa por una fórmula del tipo = a 2 + b + c donde:, son números reales, pueden tomar cualquier valor; a,, b, c, también son números reales, son constantes en cada función que analizamos La representación gráfica es una parábola. El caso más sencillo se tiene cuando sólo ha término cuadrático (es decir, b = c = 0 ); = a 2 La curva resulta simétrica respecto al eje vertical, pasando por el punto origen. = a 2 = a 2 2 = a 3 2 = - a 4 2 = - a 5 2 a > a 2 > a 3 a 4 > a 5 A partir de estas curvas, se pueden obtener las curvas desplazadas a. Según el eje vertical = a = a b. Según el eje horizontal = a ( - 4) 2 = a = -a ( - 6) 2 3

4 Funciones lineales, cuadráticas EJERCICIS.. Bosquejar las siguientes funciones en un mismo gráfico: = 2 ; = - 2 ; = 2. 2 ; = /2. 2 ; = -/2. 2 ; 2. Bosquejar las siguientes funciones en un mismo gráfico: = 2 + ; = 2 ; = ; = - (/2) 2 ; 3. Encontrar las coordenadas del vértice de las siguientes curvas. Bosquejarlas, a. = ; = - ( +) 2 ; b. = ; = 2-0 ; 4

5 Funciones lineales, cuadráticas Una FUNCIÓN PLINÓMICA, es una suma de términos, en cada uno de los cuales figura una potencia de la variable ; está descripta por una epresión f : R R, del tipo: f() = a n n + a n- n a a + a 0 En esta fórmula: los coeficientes a i son números reales; eventualmente, algunos pueden ser nulos. los eponentes de son números naturales; también algunos podrían ser cero. Ejemplos: f() = ( polinomio de orden 4; con a 4 =0, a 3 =3, a 2 =0.2527, a = -, a 0 = -2 ) g() = ( polinomio de orden 5; con a 5 = -0, a 3 = a 4 = 0, a 2 = 3.0, a = 26.4, a 0 = 0 ) Las funciones cuadráticas estudiadas son funciones polinomicas de grado 2 ; las funciones lineales pueden verse como polinomios mu simples, de primer grado. GRAD de un polinomio está dado por la potencia más alta a la que se encuentra elevada la variable dentro de la función polinomica f() = este polinomio es de grado 4 g() = este polinomio es de grado 5 VALR NUMERIC de un polinomio es el valor que se obtiene después de reemplazar en el polinomio la variable por un número real f() = ejemplo hallar el valor numérico de f() para = f ( ) = 0 ( ) + 3 ( ) + 3 ( ) ( ) 2 = 3 f ( ) = 3 CERS DE UN PLINMI son aquel o aquellos valores de la variable para los que el polinomio toma valor numérico nulo es decir f() =0 a los ceros de un polinomio se los suele denominar también como raices del polinomio Un polinomio tiene tantos ceros como grado tenga el polinomio, aunque alguno de ellos no sean números reales. Los ceros del polinomio que sean números reales son los valores de para los cuales la gráfica de la función intersecta al eje de las CNTINUIDAD. Una propiedad importante de las funciones polinomicas es que son continuas. Por lo tanto, sabemos que si en un intervalo [a,b], los valores de f(a) f(b) tienen signos opuestos, la función se anula en algún punto de ese intervalo. PERACINES. La suma de polinomios se hace sumando los términos de igual eponente. El grado del resultado es igual al grado de los sumandos. (Podría darse el caso de que los términos de maor grado se cancelaran; en este caso, el resultado sería de menor grado que los polinomios que se suman) Ejemplo: P() = P2() = P() + P2() = Ejemplo: P3() = P4() =

6 Funciones lineales, cuadráticas P3() + P4() = En el producto de polinomios, cada término de un polinomio se multiplica por cada término del otro se suman todos los productos resultantes, agrupándolos según el eponente de la variable. El grado del resultado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican, Ejemplo: P() = P2() = P(). P2() = 20 (4+2) + 36 (2+2) +36 (2+0) + 30 (4+) + 9 (2+) + 3 (+0) +50 (4+0) +45 (+0) + 45 = = En la división de un polinomio f() por otro polinomio g() se obtiene un resultado q() un resto de la división, r(). f() = g(). q() + r() En general, r(), que también es un polinomio, es de menor grado que g() porque sino se podría continuar dividiendo. Cuando f() es divisible por g(), la división no tiene resto, r()= 0, f() = g(). q() Un resultado mu útil se obtiene con el Teorema del Resto : si a es un número real, el resto de dividir un polinomio f() por el polinomio g() = (-a) coincide con el valor de f(), calculándolo en a ; es decir, f(a) () = (- a). q() + r f(a) = (a - a). q(a) + r r = f(a) Por esta propiedad, un polinomio es divisible por (-a) sólo cuando f(a) = 0, es decir, cuando es una raiz, o solución, de la ecuación f() = 0. Inversamente, si conocemos todas las raíces de un polinomio podemos escribirlo a partir de ellas. Ejemplo. Consideremos el polinomio f() = Podemos verificar que f( 7) = = 0 f( ) = = 0 f(-2) = = 0 Por lo tanto, f() = ( 7).( -).( (-2)) = ( 7).( -).( +2) Esto se conoce como forma factorizada de un polinomio. Para dividir un polinomio por otro de la forma ( -a ), la forma más cómoda es mediante la Regla de Ruffini; si dividimos el polinomio del ejemplo por ( - 5 ) tendremos Resultado, q() Resto, r 6

7 Funciones lineales, cuadráticas si ahora lo dividimos por ( 7 ), ( sabemos que 7 es una raiz), tendremos Resultado, q() Resto, r EJERCICIS.. La función f() = corta al eje en = -2. ( Es decir, -2 es una de las raíces de f(). ) a. verificar que f(-2) = 0 b. encontrar las otras raíces de f() c. escribir el polinomio en forma factorizada. 2. Hallar un polinomio f() de grado 3, que corte al eje horizontal en los puntos (/2,0), (2,0), (-,0). a. Cuánto vale f(0)? Cuánto vale f(3)? b. Hacer un bosquejo aproimado de f(). 7