POLINOMIOS. En la Escuela Anteriormente estudiaron, aunque sin saberlo, las siguientes funciones polinómicas:

Transcripción

1 OLINOMIOS arte de la introducción aquí presentada fue adaptada de: Significado olinomio significa literalmente "muchas partes" en referencia a "muchos términos". Su epresión sirve para describir y predecir gran cantidad de fenómenos naturales y conductas a través del uso de funciones polinómicas. Funciones polinómicas Estas funciones están definidas para todos los números reales, y constituyen una de las familias de funciones que representan la mayor cantidad de fenómenos naturales. ara qué sirven estas funciones? En la Física... Sabemos que al suspender un peso de un resorte, éste se alarga, podríamos determinar la ley que rige este alargamiento, al menos para un determinado intervalo? Sería como tratar de epresar el alargamiento del resorte en función del tiempo. En la Química... En el laboratorio de Química, podemos estudiar la temperatura de una masa de agua con respecto al tiempo en que es sometida al calor? Se trata de relacionar la temperatura en función del tiempo. En la Economía... n investigador suele epresar el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. En la Biología... Cuando se trata se precisar: el crecimiento de una población animal o vegetal en función del tiempo, el peso de un bulbo en función del diámetro del mismo, el consumo de oígeno en función del trabajo realizado, etc. En la Vida Cotidiana Si se fijan en algunas de las facturas de servicios de sus casas van a ver que el monto que pagan se basa en un cálculo hecho a partir de una función polinómica; sólo que son un poco más complicadas que las que vamos a ver nosotros en el curso. En la Escuela Anteriormente estudiaron, aunque sin saberlo, las siguientes funciones polinómicas: f = b, función constante (recta horizontal). Ej: y=; Ej: y= - f = m b, donde "m" es diferente de cero, función lineal (recta oblicua) Ej: y = Tengan en cuenta que si se toman un tai, el costo del viaje va a estar dado por una función polinómica del tipo: f= mb donde: "" representa la cantidad de "calles" recorridas "m" representa el costo por "calle" "b" lo que se conoce como "bajada de bandera" que es el valor inicial por sólo subirnos al tai. Otra que estudiamos es la función cuadrática; f=a bc Ej: y=- - ara poder operar con las funciones polinómicas vamos primero a ver qué es un polinomio, para lo cual vamos a describirlos y luego a definirlos. Matemática: "Introducción a olinomios", año

2 ) Fíjense bien en las siguientes epresiones algebraicas (números y letras) a) y a g) m m) t) c y) n) -8 c - h) b) b c o) u) - - = --. c) a i) m p) 6 v) z) seno(-) yz j) w) d) - q) k) log -- e)0 r) ) 0 l) - abcd f) - s) -- Identifiquen y descarten aquellas epresiones en las que las letras (no los números) estén: a. afectadas por operaciones que no sean potencias (conocidas o desconocidas) b. afectadas por potencias negativas o fraccionarias c. ubicadas en el denominador d. estén debajo de raíces e. estén como potencia f. como parte de una ecuación ) Sobre las restantes, indiquen en una tabla para cada caso: a. cantidad de términos b. cantidad de indeterminadas (letras); identifíquenlas c. números que aparecen como factores en cada término; identifiquen a qué conjunto numérico pertenecen (N, Z, Q, I) d. operaciones involucradas (suma, resta, producto, división, potenciación, radicación, etc.) e. operaciones que afectan directamente a cada una de las indeterminadas Definición: na definición nos permite saber claramente qué es un polinomio y qué no lo es. Ya tenemos una idea de qué es un polinomio; ahora vamos a usar letras para dar una formulación más general: La epresión: = a n. n a n-. n- a n-. n-... a a 0 donde: se lo conoce como olinomio "" de indeterminada "X", y se lee: "pé de equis" "" es el nombre del polinomio (usamos mayúsculas de imprenta) "" es la indeterminada porque su valor, al menos en principio, no interesa a los efectos de las operaciones que vamos a considerar a n, a n-,..., a, a 0 son todos números (N, Z, Q o I) y son llamados coeficientes del polinomio a n es un número distinto de cero, llamado "coeficiente principal" a 0 es llamado término independiente, pues no depende de "" (término sin equis) "n" es algún número natural y se lo llama "grado del polinomio" (es el mayor eponente de "") Ej: = - - Ej: Q = - Matemática: "Introducción a olinomios", año

3 Notas na constante (número), diferente de cero, es un polinomio de grado cero Ej: = El polinomio = 0, se lo considera como un polinomio, llamado olinomio nulo, pero no se le asigna ningún grado. Eisten polinomios con más de una indeterminada pero nosotros no vamos a estudiarlos. ) Sobre los polinomios considerados en el punto : a. Tomen solamente los que cuentan con una sola indeterminada. Si éstos figuran con una letra que no es la, reescríbanlos con. b. En cada polinomio, cómo podríamos distinguir los distintos tipos de términos entre sí? Qué resulta más relevante, el coeficiente o la potencia de la indeterminada? or qué? c. Cuándo podríamos decir que dos términos son semejantes? Cuándo son iguales? d. Es posible utilizar el criterio hallado en el punto anterior para ordenar un polinomio de alguna manera? Cómo sería eso? e. Qué está indicando el hecho de que no aparezcan todos los eponentes menores al mayor (enteros no negativos)? Cómo los harían aparecer sin modificar los coeficientes del polinomio? ) Completen el cuadro indicando: nombre, indeterminada, grado, tipo, coeficiente principal y término independiente. Luego completen y ordenen el polinomio olinomio Nombre Indeter minada Grado Tipo Coeficiente rincipal Término Independiente Completo y ordenado A : 6 8 G(s) :s s s s- F : M : C : 8 T : D H (z) :9 :-z z B : E : J : N I (t) (m) : t t t : m m : y y (y) 8 Matemática: "Introducción a olinomios", año

4 olinomio Nombre Indeterminada Grado Tipo Coeficiente rincipal Término Independiente Completo y ordenado Q : W : 6 Y : 6 8 R : 6 S 6 : : ) Den un ejemplo de un polinomio que cumpla con las condiciones dadas Grado Tipo Coeficiente rincipal Término Independiente olinomio Trinomio Binomio - Monomio 0 0 Monomio olinomio Binomio - Trinomio - 0 Operaciones Suma Solamente se pueden sumar entre sí los "términos semejantes". Como ya dijimos, son los que presentan la misma indeterminada elevada al mismo eponente. Luego, lo único que debemos hacer es operar entre los coeficientes y mantener el grado de la indeterminada (salvo que sean opuestos, entonces se anulan). Ej: Sean = y Q = semejantes, entonces Q = () = Ej: Sean R = y S = - semejantes, entonces R S = (-) = - 6 Si los polinomios tienen más de un término sólo operamos entre los semejantes, el resto los copiamos igual. na forma de hacerlo es completando los polinomios y encolumnarlos según su grado Q = Matemática: "Introducción a olinomios", año

5 Si tenemos confianza con nuestras habilidades para operar podemos hacer el cálculo de otra forma: empezamos por el término de grado mayor entre ambos y vamos viendo si hay alguno semejante a él, si no hay lo copiamos tal cual, si hay operamos con los semejantes a él; luego seguimos con el siguiente grado menor hasta terminar Nota: Ej: = - - y Q = - entonces Q = - () - () (-) Q = - 6 Hasta aquí hemos visto siempre polinomios que presentan, a lo sumo, sólo un término por cada grado. Cuando demos la epresión de un polinomio deberemos darla de este modo: sólo un término por cada grado, en caso contrario tenemos que operar entre los términos semejantes a fin de optimizarlo. 6) Dados los siguientes polinomios, hagan las sumas indicadas S : : Q T : : R : : a ) ( Q = b )R ( S = c )T ( = ) ) T ) d ) Q = e )S = f )T ( R = R ) Resta Se trabaja del mismo modo que para la suma sólo que le cambiamos el signo a todos los términos del polinomio "sustraendo". Siguiendo con el mismo ejemplo que para la suma: - Q = Hemos cambiado de signo todos los términos de Q - Q = ) Dados los polinomios del punto anterior, hagan las restas indicadas a ) ( Q = b )R ( S = c )T ( = d )T ( = e )S ( = f )T ( R = ) ) ) ) ) ) Multiplicación de un polinomio por un número real Sólo debemos multiplicar entre sí al número por el coeficiente del monomio: signo con signo, número con número. La indeterminada la mantenemos tal cual como estaba. Ej:. =. = Ej:. = Si el polinomio tiene más de un término, sólo debemos hacer una simple distributiva y proceder como ya vimos. Ej : entonces ( ) -. = =. 8 Ej Q : entonces Q. - =. - = 9 Matemática: "Introducción a olinomios", año

6 8) Dados los siguientes polinomios, hagan los productos indicados 6 S : : Q T : : a ). = b ).S ( ) = c )T ).6 = e )( ).S ( ) = f )T ).( ) = Multiplicación de un monomio por otro R : : d ). h ).( ) ( = ( g ) Q.( ) = = Es igual que el caso anterior sólo que esta vez debemos recordar la propiedad del producto entre potencias de igual base para hallar el grado de : a. b = ab Ej: : y Q: entonces. Q =. = 6 = 6 9) Dados los siguientes monomios, hagan los productos indicados : Q : S : T : : a ). = b ) S. = c )T. = d ). = e ) S. = f) S. = Q T S S De un polinomio por otro Combinamos los dos casos anteriores, es decir, aplicamos la distributiva y hacemos, signo por signo, número por número y letra por letra sumando sus eponentes. Si luego de esto quedan términos semejantes, debemos operar entre ellos para obtener un solo término de cada grado. Ej: : ; Q : entonces. Q ( ). ( ) = por distributiva se tiene: 9 = 9 =. Q 0) Dados los siguientes polinomios, hagan los productos indicados : Q : R : T : : a ) S. = b )T. = c ). = d ). = e ) S. = f )R. = T Q S : S R En general se tiene para los polinomios las siguientes propiedades: ropiedad Suma roducto Conmutativa Q = Q. Q = Q. Asociativa [ Q] R = [Q R] Elemento neutro Elemento opuesto Distributiva N = N =, entonces N = 0 [-] = [-] = 0. [Q. R] = [. Q]. R. S = S. =, entonces S = No se cumple. [Q R] =. Q. R Matemática: "Introducción a olinomios", año

7 ) Dados los siguientes polinomios realicen los cálculos combinados indicados : Q : R : S : T : A D = = T ( Q - R ) B =. T S C = ( Q ).T Q E = Q S.S F =.Q R R División de un monomio por otro Es muy parecido al caso de la multiplicación, sólo que esta vez debemos recordar la propiedad del cociente entre potencias de igual base para hallar el grado de : a : b = a b ara que el resultado siga siendo un polinomio se eigirá que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador (si no fuera así seria de "grado negativo") El monomio resultante tendrá como coeficiente el que surja de hacer la división entre ambos coeficientes; como grado tendrá el que resulte de la resta entre ambos (grado del numerador menos el del denominador) 8 Ej: : y Q: entonces 8 8 :Q = : = = ) Dados los siguientes monomios, hagan las divisiones indicadas 9 : Q : S : T : : T S S a ) : Q = b ) S : T = c) = d ) : S = e ) = f ) = S División por un divisor de la forma Ruffini A todo divisor de la forma a se lo llama divisor de la forma Ruffini. Es decir, es un binomio, de coeficiente principal (mónico) y grado, con a un número real distinto de cero. Ej : Ej : Ej : No son divisores de la forma Ruffini: Ej : CEj : el coeficiente principal NO es CEj : el coeficiente principal NO es (ojo, es -) CEj : el grado NO es CEj : el término independiente NO es distinto de cero Ej : Si el divisor es de la forma Ruffini, es posible aplicar un algoritmo ("tablita") para hacer dicha división. Veámoslo con un ejemplo: Sea = y Q = como Q es de la forma pedida se puede hacer: Opuesto de a Coeficiente rincipal de Coeficientes ordenados y completos de Resto Coeficientes ordenados y completos del polinomio cociente C Matemática: "Introducción a olinomios", año

8 Mecanismo de cálculo: multiplicamos el coeficiente principal por el opuesto de a y ponemos el resultado debajo de la siguiente columna, luego sumamos en esa columna y repetimos los pasos hasta el final. La suma de la última columna es el resto de la división. El grado de C será un grado menor que (polinomio dividendo), es decir, C : - - Entonces, al igual que en la división entera, podemos epresar a como: 8 = (). (- -) - Q C Resto Si hacemos el producto y las sumas debe darnos el polinomio original ) Indiquen cuáles de los siguientes polinomios son divisores de la forma Ruffini. Si no, indiquen por qué. A = B = C = D = E = - F = - G = H = - I = - J = -/ ) Dividan los siguientes polinomios por todos los divisores de la forma Ruffini del ejercicio anterior = - Q = - - R = Nota: Del mismo modo que decimos que 8 es divisible por porque al hacer la división su resto es cero, diremos que es divisible por a (o que a es divisor de ) cuando al hacer la división obtengamos como resto CERO, ) Indiquen cuáles de los polinomios del ejercicio anterior son divisibles por a, o lo que es lo mismo, cuáles de los a son divisores de los polinomios. Teorema del resto Eiste una propiedad que permite calcular el resto de dividir un polinomio por otro de la forma Ruffini (a) sin necesidad de hacer la división; sólo hay que reemplazar a la en el polinomio por el opuesto de a y hacer la cuenta. Ej: si en el ejercicio dividimos = - por G = el resto se puede calcular así: Como a es, su opuesto ( a) es -, entonces, al reemplazar la por - en tendremos: (-) = (-) -.(-) luego, el resto de dividir por G es, como ya sabíamos 6) sando el Teorema del resto decidan cuáles de los polinomios de la forma Ruffini son divisores de los polinomios dados A ) = = = ( B C D ) = Q = R = = ( S = T = = -- FIN DE LA ARTE DE "OLINOMIOS" -- Matemática: "Introducción a olinomios", año