Números irracionales famosos

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: GEOMETRIA NOTA DOCENTE: HUGO BEDOYA TIPO DE GUIA: Conceptual - ejercitación PARA COMPENSAR EL CESE DE ACTIVIDADES DEL MAGISTERIO PERIODO GRADO FECHA N DURACION 2 7 JUNIO 30 DE Semana INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Reconoce los Métodos de Demostración. 2. Realiza ejercicios de aplicación de los M. de demostración. 3. Reconoce los números Irracionales, sus propiedades y representación 4. Participa de forma activa del desarrollo de las actividades de clase. NUMEROS IRRACIONALES El Conjunto de los Números Irracionales se simboliza por I o bien por Q*. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. Un número irracional es todo número decimal infinito no periódico. Números irracionales famosos Existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son: NUMERO Pi, ( π), Es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor está dado por el cociente (la división) entre la longitud o perímetro de la circunferencia (como dividendo) y la longitud de su diámetro (como divisor). De él se han calculado millones de cifras decimales y hasta ahora no ha sido posible encontrar algún patrón ni menos su término. La aproximación de su número es 3, y por lo general se usa 3,1416. NUMERO EULER (e): Es otro número irracional famoso y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2, EL NÚMERO ÁUREO O RAZÓN DE ORO, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1, Aparte de los ya mencionados números irracionales, tenemos 2 o raíz cuadrada de 2 que resulta de una ecuación algebraica, pero también están otras raíces, de números primos. PROPIEDADES: P. conmutativa: al sumar o multiplicar números irracionales también se cumple la propiedad conmutativa, por ejemplo, π + ϕ = ϕ + π; así como en la multiplicación, π ϕ = ϕ π. P. asociativa: los números irracionales pueden distribuirse o agruparse en la suma o multiplicación, de distinta manera entre sí y el resultado será el mismo. Por ejemplo, (ϕ + π) +e = ϕ + (π + e); y de la misma manera, (ϕ π) e = ϕ (π e). P. cerrada: Es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo, la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación. (y encontraremos algún caso particular en las demás operaciones) Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales; es decir que para cada número existe su negativo que lo anula, por ejemplo π π = 0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ 1/ϕ = 1. La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3 + 2) π = 3π + 2π = 5π. 1

2 GRAFICAR Comenzando en el triángulo rectángulo isósceles del centro de catetos de medida 1, obtenemos la hipotenusa como raíz cuadrada de dos (T. Pitágoras),. Trazando un segmento perpendicular de medida 1, a dicha hipotenusa se forma otro triángulo rectángulo, cuyos catetos miden y 1; aplicando nuevamente T. de Pitágoras con. Y así podemos continuar formando la espiral mediante triángulos rectángulos de los cuales uno de los catetos es la hipotenusa del triángulo anterior y el otro sigue siendo 1. EN LA RECTA NUMERICA TENDRIAMOS INFERENCIAS LOGICAS LAS INFERENCIAS Y LA DEMOSTRACION EN GEOMETRIA Para la definición de inferencias lógicas es necesario tener la capacidad y precisión de dos conceptos básicos: Razonamiento y Demostración. En primer lugar, razonamiento es el proceso que se realiza para obtener una demostración. En consecuencia la demostración es el encadenamiento lógico de proposiciones de tal forma se obtenga una conclusión. En este orden de ideas, las inferencias lógicas son las conclusiones obtenidas después de realizar un razonamiento. Este razonamiento se considera válido si cumple los siguientes requisitos: 1. Las premisas iniciales deben ser verdaderas 2. durante el proceso de deducción las premisas deben cumplir las leyes de la lógica. Ahora bien, las inferencias lógicas tienen una representación visual de la siguiente manera. p q Premisa conclusión ENTRE LAS INFERENCIAS LÓGICAS MÁS UTILIZADAS EN LAS MATEMÁTICAS ESTÁN: EL MÉTODO INDUCTIVO: Es un procedimiento de razonamiento e investigación, en el que, comenzando por los datos, se acaba llegando a formalizar una teoría; es decir se parte de lo particular a lo general. La secuencia metodológica propuesta por los inductistas se ajusta al llamado METODO CIENTIFICO. Considerados en toda investigación: 1. Observación y registro de los hechos. 2. Análisis de lo observado, (regularidades e hipótesis). 3. Verificación de la propuesta teórica (experimentación) 4. Clasificación de la información obtenida y propuesta de teoría. 5. Formulación de los enunciados universales inferidos del proceso de investigación que se ha realizado. (leyes) RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es inferir a partir de un principio general. Por tanto, el razonamiento deductivo es una prueba de la habilidad para razonar a partir de un principio general hasta sus implicaciones en una situación específica. Este tipo de pregunta da la medida de la habilidad para leer y razonar. Por ejemplo cuando analizamos los inventarios o rendiciones de cuentas. LA DEMOSTRACION La Lógica de la Demostración es una de las pocas ramas de las Matemáticas que han trascendido a través del desarrollo de la humanidad y tiene como objetivo: CONFERIR A LOS CONOCIMIENTOS MATEMATICOS (CIENTÍFICOS), LA CATEGORIA DE VERDADES ABSOLUTAS EN SU PARTICULAR CONTEXTO. Esto significa que todo conocimiento matemático (científico) que se desarrolla y por consecuencia se enuncia como nuevo a medida que la ciencia avanza, forzosamente debe caber en el paquete cognoscitivo que en su momento es aceptado como tal y debe avenirse a las reglas del juego que en su momento están establecidas. METODO DIRECTO: Parte del consecuente o Hipótesis y empleando definiciones, propiedades y/o conocimientos previamente demostrados, forma una cadena de inferencias para llegar a una tesis o conclusión 2

3 Es el Método de Demostración por excelencia de todas las ramas de la la Matemática. Se dice que es un método constructivista, ya que el conocimiento se construye mediante la demostración. El razonamiento es una Tautología. Es decir, su Tabla de Verdad siempre es Verdadera independientemente de los valores que adopten las proposiciones. Utilizando el Método Directo de demostración, demuestre las siguientes proposiciones: a. p: La suma de dos números pares es un número par. b. La suma de dos números impares es un número par. c. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 d. Cuando demostramos semejanza y congruencia de triángulos EL CONTRAEJEMPLO: Consiste en presentar un ejemplo que niegue la aseveración que se enuncia. Estrictamente hablando este Método no es un Método para demostrar que ALGO es verdadero, sino para evidenciar que ese ALGO es falso mediante el fácil recurso de dar un ejemplo que invalida el conocimiento, de ahí su nombre de Contraejemplo. a. En todos los triángulos las alturas son un segmento diferente de las mediana. (isósceles) b. Todas las aves vuelan (Gallina, Avestruz, Pingüino) c. Ningún mamífero vuela (Murciélago, un tipo de ardilla, un tipo de pez) MÉTODO INDIRECTO: se basa en el hecho de que si ~Q es falsa entonces Q es verdadera. Para hacer una demostración por el método indirecto se ejecutan los siguientes pasos: a) Se supone falsa la conclusión a la que se quiere llegar. (se niega la Tesis). b) Se respetan los demás hechos conocidos (axiomas, teoremas, definiciones, etc.) c) Se desarrolla un proceso de demostración por el método directo hasta obtener una contradicción, con lo cual se concluye que la afirmación del enunciado es verdadera. 1. 3

4 METODO DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMATICA: MÉTODO DE DEMOSTRACION DE EXISTENCIA: se emplea en aquellos casos en los cuales es necesario demostrar que existen uno o varios elementos que satisfacen ciertas propiedades; este método es uno de los más difíciles de utilizar ya que toca mostrar o dar a conocer el elemento en cuestión. Ejemplos: a. Existe un numero primo par b. La ecuación 3x + 2 = x 6 tiene una solución entera c. Las tres medianas de un triángulo concurren o se cortan en un punto ubicado en el interior del triángulo (llamado baricentro) MÉTODO. O EMPLEO DE CONSTRUCCIONES AUXILIARES: 4

5 Nota: Es de notar que aparte de los dos métodos de demostración analizados, encontramos el método o demostración de unicidad y por construcción, inducción Matemáticas y método de demostración por contrarrecíproco o contrapositivo. ACTIVIDAD 0. Consultar dos ejemplos donde se apliquen los siguientes Métodos o procesos de Demostración: M. de inducción Matemática, M. o proceso de construcción Auxiliar, M. o demostración de unicidad. Recordar: Criterios de congruencia L-L-L; A-L-A; L-A-L Recordar: Criterios de semejanza L-L-L; A-A; L-A-L Graficar los siguientes números irracionales en la recta numérica,, Las Matemáticas no son una marcha cautelosa a lo largo de una carretera despejada, sino un viaje por un desierto desconocido en el que los exploradores que no se concentran, se pierden a menudo. W. S Anglin 5