FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Transcripción

1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Desempeño: Capacidad de utilizar los números reales elaborando con ellos las construcciones que favorezcan el desarrollo de procesos y habilidades de pensamiento. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: Medir y contar fueron probablemente las primeras actividades de tipo matemático que realizó el hombre. Se necesitaron muchos siglos para que el hombre estableciera un concepto abstracto de número. Fue Frege Gottlob ( ), matemático y filósofo alemán, quien a finales del siglo XIX asoció el concepto de número natural a la teoría de conjuntos. Los números irracionales se atribuyen a Pitágoras ( a.c.), quien definió la relación entre los catetos de un triángulo y su hipotenusa en su famoso teorema. Más tarde, Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de 2, 3... Los números negativos fueron muy poco estudiados por los matemáticos de la Antigüedad, e incluso fueron rechazados en la Edad Media. Sólo hasta el siglo XVI Thomas Harriot ( ), matemático y astrónomo inglés, usó por primera vez el signo (-) para caracterizar los números negativos. Los números complejos fueron introducidos por el matemático italiano Rafael Bombelli ( ), pero fue Carl Friederich Gauss ( ), llamado el príncipe de las matemáticas, el primero en dar una descripción coherente de dichos números e interpretarlos como notación de los puntos de un plano, tal como se hace en los textos de álgebra actuales. El sistema numérico denominado sistema de los números complejos será abordado en grado noveno más adelante lo cual nos va a permitir resolver algunos problemas que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. SISTEMAS NUMÉRICOS: Un sistema numérico es un conjunto que por tener determinadas propiedades (una estructura algebraica) recibe un nombre específico. Una estructura algebraica es un conjunto con una o más operaciones que satisfacen ciertas propiedades. Entre los sistemas numéricos más importantes tenemos: 1. NÚMEROS NATURALES: Son los números que se utilizan para contar. Se simbolizan por N y se representan así: N = 1, 2, 3, 4, 5,..., Se definen también como el conjunto No, llamado el conjunto de los números enteros no negativos y representados por: No = 1, 2, 3, 4, 5,...,. Observe que la única diferencia entre N y No es que este último contiene el número cero. 2. NÚMEROS ENTEROS: A cada número natural n, le corresponde un único número llamado el negativo de n, que se simboliza por n. El conjunto formado por todos los números naturales, sus negativos y el número cero, se denomina el conjunto de los números enteros; se simboliza por Z y se representa así: Z..., 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,..., Debe observarse que: N No Z 3. NÚMEROS RACIONALES: Un número racional es un número de la forma b a donde a y b son números enteros y b 0. Los números racionales se simbolizan por Q y se representan así: Q x / p, q Z, q 0. En este conjunto podemos diferenciar dos subconjuntos: a) El conjunto de las fracciones propiamente dichas tales como:,,, etc. b) El conjunto de las fracciones que pueden ser expresadas como enteros. Por ejemplo, 5. Observe que: N No Z Q 3 NOTA: Una característica importante de los números racionales es que pueden ser representados por un 2 decimal infinito periódico. Por ejemplo, 0, De manera similar , ,3 En los dos casos anteriores, la parte que se repite se denomina el periodo y se acostumbra 3 a escribir el decimal con la parte periódica anotada una sola vez, colocando sobre ella una barra: 0, ó ,3. A excepción de los casos como 12,3400 ó 0, 800, en los cuales se acostumbra a escribir 50 5 simplemente 12,34 ó 0,8 omitiendo el periodo, compuesto en estos casos tan sólo por la cifra cero, esto es 4 0,8 ; mejor que 0,80. 5 UNIMINUTO NODO SAUCES GUIA No. NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: ID: PROFESOR: CARRERA: DESEMPEÑO: Determinar si un conjunto de números es subconjunto de otro. ESTUDIA EL MATERIAL.

2 2 4. NÚMEROS IRRACIONALES: Cuando un número no puede ser expresado como un decimal periódico, no es un C número racional. Los números que no son racionales se denominan irracionales y se simbolizan por Q ó ' Q. Los números irracionales son pues decimales no periódicos o raíces no exactas de números racionales como 2, 3 y algunos números famosos como y e. 5. NÚMEROS REALES: Al conjunto formado por la unión de los números racionales y los números irracionales se le denomina el conjunto de los números reales y se simboliza por. Observe que: C N No Z Q Además, también se cumple que: 6. NÚMEROS COMPLEJOS: Un Número complejo es un número de la forma z a bi, donde a y b son números reales e i es tal que 2 i = -1, esto es i 1 Q. Los números complejos se simbolizan por C y se representan así: C a bi / a y b, i 1 NOTA: En z a bi, donde a se denomina la parte real y b se denomina la parte imaginaria. El siguiente cuadro sinóptico nos muestra un resumen de los distintos conjuntos numéricos: NÚMEROS REALES Q Q NÚMEROS RACIONALES Q NÚMEROS IRRACIONALES Q Enteros:, -2, -1, 0, 1, 2, Decimales finitos: -4,3 ; 5,73 Decimales infinitos periódicos: 83,666, -0, ,322727, -5, Decimales infinitos no periódicos: 3, , , , Z NÚMEROS ENTEROS Z..., 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,..., ENTEROS NEGATIVOS Z Z..., 4, 3, 2, 1 NÇUMEROS NATURALES N N 0,1, 2, 3, 4, 5, OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS: Existen otros conjuntos numéricos que son importantes para la adecuada ejecución de ciertos temas en matemáticas. a) Números pares = x Z / x 2k, k Z b) Números impares = x Z / x 2k 1, k Z c) Números primos = x N / x puede escribirse como productosolamentede sí mismo por la unidad. Son números primos, por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ya que 2 = 2x1, 3 = 3x1, etc., y no pueden escribirse como producto de ninguna otra manera. Por el contrario, 12 no es un número primo ya que 12 = 12x1, pero además 12 = 4x3 y 12 = 6x2; los números 1, 2, 3, 4, 6, 12 se llaman los divisores de 12. En el caso del número 3, sólo se tienen dos divisores 1 y 3, luego un número primo se define también como un número que admite sólo dos divisores. Si un número no es primo se denomina compuesto. Por ejemplo, 21 y 8 son números compuestos.

3 ACTIVIDADES: 1. Diga a qué conjunto, de los vistos anteriormente, pertenece cada uno de los siguientes números: a) 1 20 b) 5 5 c) 0, d) 0, e) 4 f) -8 g) 3 h) 2e 2. Escriba en forma decimal, resaltando el periodo de cada uno de los siguientes números: a) b) c) d) e) En cada caso diga si el número dado es primo o compuesto. En este último caso, escriba dicho número compuesto como producto de número primos. a) 2 b) 8 c) 162 d) 13 e) Utilice un método apropiado para localizar el número en la recta real. 5. Escriba, si es posible, dos números irracionales cuyo producto sea un número racional. 6. Demuestre que la suma de dos números racionales es racional. 7. Halle, si es posible, los inversos aditivo y multiplicativo de los siguientes números reales. 2 1 a) 4 b) c) d) 0 e) ) Solucione la ecuación x 5 x 2 0 9) En cada una de las siguientes premisas escriba V (verdadero) o F (falso) según corresponda; dé una razón en cada caso: a) Z es un subconjunto propio de Q b) El número cero tiene inverso aditivo. 1 6 c) El inverso multiplicativo de a es d) El número Tiene periodo cero. e) 9 es un número primo. a ) Ubique sobre el plano XY, utilizando una escala apropiada, los puntos que se dan a continuación: 1 3 4,5 ; 3,2 ; 5,0 ; 4,8 ; 0,6 ;, ; 7, ) Escriba las coordenadas de cuatro puntos cualesquiera que formen un cuadrado, si uno de los puntos es (-5, 2). Además calcular el área y el perímetro del cuadrado. Los problemas que aparecen a continuación tienen solución en el conjunto de los números reales. 1. Una alcancía tiene únicamente monedas de $ 500 y $ 200. Hay cuatro monedas de $ 500 más que las de $ 200. Cuántas monedas de $ 200 y cuántas de $ 500 hay si la alcancía tiene $ ? 2. Encontrar tres números enteros consecutivos cuya suma sea De una finca de 500 hectáreas se cultivan 20 3 de hectárea en naranjas, se construye un casa en 10 1 y lo que sobra de la finca se vende a $ la hectárea. Cuál es el valor de la venta? 4. Los 3 2 de la edad de Claudia son 24 años y la edad de su hermano es 9 4 de la edad de Claudia. Hallar ambas edades. 5. Con el dinero que tiene Carlos puede comprar 20 camisas de $ cada una. Si las suben a $ , Cuántas camisas podrá comprar? 6. Cuál es el número que si se multiplica por 4, a este producto se le divide por 6, luego a este cociente se le añade 12, entonces se obtiene 12,002? UNIMINUTO NODO SAUCES GUIA No. NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: ID: PROFESOR: CARRERA: DESEMPEÑO: Determinar si un conjunto de números es subconjunto de otro. ESTUDIA EL MATERIAL.

4 4

5 UNIMINUTO NODO SAUCES GUIA No. NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: ID: PROFESOR: CARRERA: DESEMPEÑO: Determinar si un conjunto de números es subconjunto de otro. ESTUDIA EL MATERIAL.

6 6

7 UNIMINUTO NODO SAUCES GUIA No. NOMBRE DEL ESTUDIANTE: FECHA: ID: PROFESOR: CARRERA: DESEMPEÑO: Determinar si un conjunto de números es subconjunto de otro. ESTUDIA EL MATERIAL.

8 8