Matemática Conjuntos Numéricos I CUADERNILLO N 1

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1 Matemática Conjuntos Numéricos I CUADERNILLO N 1 Contenidos - Números Naturales, Cardinales, Enteros, Primos, Pares e Impares. - Notación sucesor y antecesor. - Descomposición en Factores Primos. - Múltiplos, Divisores, Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor. - Operatoria en Enteros y Prioridad de Operaciones. Aprendizajes Esperados - Distinguir y clasificar números dentro de los conjuntos presentados. - Ordenar números dentro de un conjunto. - Identificar y resolver problemas de MCM y MCD. - Operar correctamente en problemas con múltiples operaciones. - Identificar y resolver problemas que involucren álgebra básica. 1. Los Números Naturales Los números naturales son los primeros que aparecen dentro de la humanidad debido a que nos ayudan a representar cantidades. En la antigüedad, cuando no existían los números, se utilizaban varas o piedras para contar, todo esto hasta que alrededor del año a. C., en Mesopotamia se adoptó un sistema de cuñas sobre arcilla y más tarde, en la Grecia Antigua, se tomaron las letras de su alfabeto para contar. Los números naturales se presentan como un conjunto infinito de números. Además, cuando se integra el cero el conjunto pasa a ser el de los números cardinales 2. Números Pares, Impares y Primos Dentro del conjunto de los números naturales, se encuentran otros tres, los números pares, impares y los primos. Pares: {2, 4, 6, 8, 10 } Impares: {1, 3, 5, 7, 9, 11 }

2 Debes tener muy presente que los números pares son divisibles por dos, de allí que un número par cualquiera tenga la notación, en tanto un número impar se presenta por o, donde es un número natural cualquiera. De aquí viene la idea de antecesor (el número que viene antes de otro) y sucesor (el número que viene después de otro). La aplicación de esta idea te ayudará a introducir el manejo del lenguaje algebraico. Finalmente, un número primo es aquel número distinto de 1 que solo puede ser dividido por 1 y por sí mismos. Primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, } Ejercitación a. El sucesor de 120 es. b. El antecesor de 245 es. c. El sucesor de antecesor de 12 es. d. El sucesor de 2n + 1 es. e. El antecesor par del número 2n + 4 es. f. El antecesor impar del número 2n + 5 es. 3. Los Números Compuestos Todo número natural no primo, salvo el 1, es un número compuesto. Compuestos: {4, 5, 8, 9, 10, 12, 14, 15, } 4. Descomposición en factores primos Todo número natural, salvo el 1, puede ser representado como producto de primos. Para poder descomponer un número es sus factores primos, se pueden utilizar las siguientes reglas de divisibilidad Divisible por Cuando 2 El número termina en un dígito par o cero 3 La suma de los dígitos del número es múltiplo de 3 5 El número termina en cinco o en cero Con estas tres reglas será suficiente para abordar problemas tipo PSU. Ejemplo 1: Descomponer el número compuesto 60 Para descomponer cualquier número compuesto en sus factores primos debemos dividirlo comenzando por el menor número primo posible hasta llegar a cociente 1. El número 60 termina en cero, por lo que es divisible por dos. Queda cociente también es divisible por dos, queda cociente no es divisible por dos, pero sí por el siguiente número primo, tres. Queda cociente 5. 5 es divisible por cinco, queda cociente 1, por lo cual se deja de dividir. 1

3 Por lo general, se realiza la siguiente tabla: Y se representa como: Ejercitación 1. La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I. Divisible por 3 II. Divisible por 6 III. Divisible por 9 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 2. Cuál es el menor valor que puede tomar Z para que el número 38Z6 sea divisible por 3? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. Para que el número 6_22 sea divisible por 6, cuál de es el número que debe colocarse en el espacio en blanco? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) correcta(s)? I. La suma de tres números pares consecutivos es siempre divisible por 6. II. La diferencia positiva de los cuadrados de dos números impares consecutivos es divisible por 8. III. Si al producto de dos números pares consecutivos se le suma 1 se obtiene el cuadrado del número impar que está entre ellos. 2

4 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III Área Matemática PPVJ 2014, Cuadernillo N 1: Conjuntos Numéricos I 5. Si 2k es par, entonces el impar sucesor del antecesor de 2k es: A) 2k 1 B) 2k + 1 C) 2k D) 2k + 2 E) 2k 2 6. El par antecesor del impar sucesor de 103 es: A) 100 B) 101 C) 102 D) 104 E) Cuántos factores primos diferentes tiene el número 360? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. Al descomponer el número 540 en factores primos se obtiene: A) B) C) D) E) 9. La suma de los tres primeros números primos es: A) 6 B) 10 C) 15 D) 17 E) 30 3

5 5. Múltiplos y Divisores Área Matemática PPVJ 2014, Cuadernillo N 1: Conjuntos Numéricos I El múltiplo de un número es el producto de dicho número por cada uno de los números naturales, por lo tanto, todo número natural tiene infinitos múltiplos. En tanto, el divisor de un número es aquel que lo divide en otro número entero. Por ejemplo, 2 es divisor de 30 porque el cociente entre 30 y 2 es 15, que es entero. Todo número natural posee finitos divisores. El máximo común divisor (m.c.d.), tal como su nombre lo indica, es el mayor número capaz de dividir dos o más números simultáneamente sin dejar resto. Entre 30 y 24, el m.c.d. es 6. El mínimo común múltiplo (m.c.m) es el menor múltiplo común que tengan dos o más números. Entre 30 y 24, el m.c.m es 120. Ejemplo 2: Un timbre suena cada 5 segundos, en tanto otro timbre lo hace cada 6 segundos. Si ambos timbres parten al mismo tiempo, a cuántos segundos después del inicio ambos timbres sonarán a la vez? Para solucionar este problema se deben conocer los múltiplos de 5 y de 6 y determinar el menor múltiplo común entre ambos, es decir, el m.c.m. En este caso, ambos timbres sonarán a la vez a los 30 segundos después del inicio. Es posible determinar otros tiempos en que los timbres sonarán a la vez? 10. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los números 30, 54, 18 y 12 se obtiene: A) 5 B) 15 C) 30 D) 45 E) 90 4

6 11. Tres patinadores demoran en dar una vuelta completa a una pista 10, 12 y 15 minutos respectivamente. Al cabo de cuántos minutos se encontrarán los tres patinadores por primera vez en el punto de partida? A) 60 min B) 30 min C) 20 min D) 1 min E) Jamás se encontrarán 12. En una dulcería se armarán cajas con chocolates, galletas y cocadas. Si se tienen 75 chocolates, 50 galletas y 100 cocadas, cuántas cajas se pueden armar de manera que contengan la misma cantidad de cada una de las golosinas, sin que sobre ninguna de ellas? A) 300 B) 75 C) 25 D) 20 E) Los Números Enteros Los números enteros incluyen a los números naturales y cardinales, pero se les incluye el conjunto de los negativos, resultando Los números negativos también son de uso cotidiano. En invierno es común escuchar en los reportes del tiempo frases como Se registró una temperatura de dos grados bajo cero, que es lo mismo que 2 C. También cuando nos falta dinero para comprar algo, Me faltan 500 pesos para poder comprar los cuadernos. Estos números responden a la necesidad de completar ciertas operaciones que no pueden realizarse en los naturales, por ejemplo, 4 8 = - 4, pero ese valor no pertenece a los naturales. Si se suman números de igual signo Si se suman números de diferente signo Si se multiplican números de igual signo Si se multiplican números de diferente signo Se calcula el valor absoluto de la suma de los números y se conserva el signo Se calcula la diferencia absoluta entre ambos números y se conserva el signo del mayor valor absoluto El producto es siempre positivo El producto es siempre negativo 5

7 7. Orden de las Operaciones Área Matemática PPVJ 2014, Cuadernillo N 1: Conjuntos Numéricos I Es común ver ejercicios en donde se mezclan las distintas operaciones existentes y donde se advierte la presencia de paréntesis. Para llegar al resultado correcto, siempre debes guiarte por el siguiente orden de resolución: a. Paréntesis b. Potencias c. Multiplicaciones y divisiones, siempre de izquierda a derecha d. Adiciones y sustracciones, siempre de izquierda a derecha Qué se forma al unir las letras en negrita? Papomudas es la respuesta, y es una nemotecnia (Técnica de asociación mental para recordar una idea mediante un concepto o esquema) bastante útil para recordar este procedimiento. 13. Al calcular se obtiene: A) 7186 B) 1104 C) 114 D) 7186 E) A) 18 B) 2 C) 0 D) 2 E) Al desarrollar la expresión se obtiene: A) 27 B) 18 C) 3 D) 3 E) 18 6

8 16. Si y, entonces, la diferencia entre y es A) 2 B) 0 C) 2 D) 96 E) El cociente entre y el sucesor de está representado por la expresión: A) B) C) D) E) 18. Si es antecesor de 12, entonces el antecesor de es: A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) Si, entonces es: A) 9 B) 3 C) 0 D) 3 E) Si es un número natural, entonces el doble del sucesor de está representado por A) B) C) D) E) 7

9 Sección de Ejercicios Área Matemática PPVJ 2014, Cuadernillo N 1: Conjuntos Numéricos I Al final de cada guía se incluirá una sección de ejercicios adicional de 15 problemas para trabajar fuera de las sesiones del preuniversitario. La idea es que desarrolles estos ejercicios a modo de ensayo y error para que practiques las habilidades adquiridas durante cada clase. Las respuestas vendrán en el siguiente cuadernillo, en este caso, vendrán en el segundo cuadernillo. Ten en cuenta que el tiempo estimado PSU para cada ejercicio es de dos minutos. Finalmente, puedes consultar cualquier duda que tengas a tu tutor. Mucho éxito. 1) A) 20 B) 10 C) 100 D) 80 E) 0 2) A) 210 B) 102 C) 54 D) 18 E) 240 3) Si al doble de 17 se le resta el antecesor del triple de 9, resulta A) 6 B) 7 C) 8 D) 30 E) 60 4) La diferencia entre el mayor número primo menor que 10 y el menor número compuesto, disminuido en 4 es A) 7 B) 3 C) 1 D) 1 E) 3 5) La descomposición del número 2160 en sus factores primos es: A) B) C) D) E) 8

10 6) El par antecesor del impar sucesor de 103 es: A) 100 B) 101 C) 102 D) 104 E) 105 7) Si las alarmas de dos relojes están programadas para sonar cada 15 y 20 minutos respectivamente, a qué hora volverán a sonar juntas si coincidieron sus alarmas a las 8:35 horas? A) 8:40 B) 8:52 C) 9:35 D) 13:00 E) 13:25 8) Juan cuenta de 3 en 3, Pedro lo hace de 6 en 6 y Pablo, de 8 en 8, cuál es el primer número en que coinciden los tres niños? A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24 9) Cuántos números primos son mayores que 8 y menores que 40? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 10) Una avícola vende huevos solo por cajas. Las cajas son de media docena, una docena y 30 unidades solamente. Cuál es el número total de combinaciones entre cajas que permiten comprar 60 huevos? A) 3 B) 6 C) 10 D) 7 E) 5 11) Si un billete verde equivale a 4 monedas azules, dos billetes rojos equivalen a uno verde, y una moneda azul equivale a 10 monedas blancas, entonces, a cuántos billetes rojos equivale 100 monedas blancas más 6 monedas azules y 10 billetes verdes? A) 10 B) 13 C) 28 D) 60 E) 130 9

11 12) Sea n un número entero. Se puede determinar que (n 1) es un número par si: (1) 2n es un número par. (2) (n + 2) es un número impar A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional. 13) Sea R un número entre 30 y 50. Se puede determinar el valor exacto de R si: (1) La suma de sus dígitos es menor a 10. (2) La suma de sus dígitos es un número primo. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional. 14) Se puede determinar el valor de un número natural si: (1) Está comprendido entre 85 y 95. (2) Es múltiplo de 2 y 3. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional. 15) Se puede asegurar que Q es un número divisible por 8 si: (1) Sus cuatro últimas cifras son cero. (2) Su última cifra es un número par. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional. 10