máx 5x 1 + 7x 2 s.a 2x 1 + x x 1 + 9x 2 41 x 1 0, x 2 0, enteras, z opt z opt 38

Transcripción

1 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 4. Resuelve el siguiente problema de programación entera por el método Branch and Bound: máx 5x + 7x s.a x + x 5x + 9x 4 x, x, enteras, Resuelve los subproblemas gráficamente. Para simplificar los cálculos, ramifica por la variable x. Solución. La solución del problema relajado P es x = (5 84; ), con valor objetivo z = 8 8. Entonces, sabemos que Ramificamos sobre x : z opt 8 La solución del problema relajado P, que resulta al añadir la restricción x 5, es x = (5; 78), con valor objetivo z = Luego, para todas las soluciones del problema original con x 5, el máximo beneficio posible es de 7. La solución del problema relajado P, que resulta al añadir la restricción x 6, es x = (6; ), con valor objetivo z = 7. La solución encontrada es factible para el problema original, entonces podamos la rama y guardamos la solución actual x solución por el momento. Además, actualizamos la cota inferior del problema: 7 z opt 8 = (6; ) como mejor Ahora, con esta nueva información, podemos podar la rama P, ya que podemos asegurar que no contiene ninguna solución que pueda mejorar estrictamente la mejor encontrada por el momento. Se ha explorado todo el árbol y x = (6; ) es una solución óptima. Dado el problema entero mín x x x + x s.a x + x x 4 x x x x enteras,

2 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa ( ) T a) Comprueba que la solución del problema relajado es: 7/ 5/. b) Indica el siguiente subproblema que elegirías para resolver por el método de branch and bound. c) Calcula la solución de dicho subproblema y comenta qué subproblemas introducirías para continuar el proceso de solución. Solución. a) El problema relajado en forma estándar es mín x,s x x + x s.a x + x x + x 4 = 4 x x x x 5 = x, s, Para comprobar que el punto que nos proponen es óptimo tenemos que calcular los costes reducidos de las variables no básicas. En este caso, I = {, }, y J = {, 4, 5}. Para ello tenemos que aplicar directamente la definición de coste reducido: En este caso: cr j = z j c j = c t BB a j c j, j J B = ( ) B = ( Luego, las coordenadas de los vectores a, a 4 y a 5 respecto de la base B son: ( ) ( ) Y = B = ) Así, cr = cr 4 = cr 5 = ( ) ( ) ( = ) ( ) = ( ) ( ) = Como todos los costes reducidos son negativos, el vértice indicado es solución óptima.

3 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa Como este curso hemos estudiado el Simplex en formato tabla, lo que nos habrían preguntado es: comprueba que la siguiente tabla es óptima para el problema relajado e indica a qué solución óptima corresponde: (e) B c B x x x x 4 x 5 x B Ratio x 7 5 x z j c j b) Con los valores que toman las variables básicas, los nuevos subproblemas se pueden introducir bien sobre x (x y x ) o bien sobre x (x y x ). Cualquiera de ellos se puede seleccionar para continuar el proceso. Con la información proporcionada por la solución óptima del problema relajado, tenemos las siguientes cotas para el problema entero: z opt Siguiendo las reglas dadas en la práctica, como hay empate (las están igual de cerca del entero más próximo), usamos el orden lexicográfico y ramificamos por x. c) Construimos entonces los subproblemas (ya en forma estándar) mín x,s x x + x s.a x + x x + s = 4 x x x s = x + s = x, s, (P ) mín x,s x x + x s.a x + x x + s = 4 x x x s = x s 4 = x, s, (P ). Resolvemos P aplicando algún procedimiento adecuado. El más eficiente (que no hemos visto en clase) es el método dual del Simplex. A continuación se obtiene la solución por el método primal del Simplex (el estudiado en clase). Partimos de la solucíón básica: x =, x =, x =, s =, s =, s =. Para comprobar si es óptima, calculamos los costes reducidos de las variables no básicas. Los multiplicadores son B T λ = c B λ λ λ = λ =

4 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 4 y los costes reducidos σ(x ) 4 σ N = σ(s ) = = σ(s ) Todos los costes reducidos son positivos, entonces el vértice actual es la solución óptima del subproblema P. Como además tiene todas sus coordenadas x, x y x enteras, se trata de una solución factible del problema entero. Podamos la rama P, guardamos la solución actual (,, ) t como la mejor solución entera encontrada hasta el momento y actualizamos la cota superior (mejor conocido): z opt El único nodo que queda pendiente es el correspondiente al subproblema P : (P) (,,) z= x<= (7/,5/,) z=- x>= (P) nodo nodo Si en el apartado b) hubieramos optado por ramificar por x, entonces tendríamos que construir los subproblemas (ya en forma estándar) mín x,s x x + x s.a x + x x + s = 4 x x x s = x + s = x, s, (P ) mín x,s x x + x s.a x + x x + s = 4 x x x s = x s 4 = x, s, (P ). Si resolvemos, por ejemplo, P obtenemos que la solución óptima de dicho subproblema es: x = 8/, x =, x = /, s =, s =, s 4 =. Esta solución no es entera por lo que sería necesario volver a ramificar, en este caso en x o en x. Por lo tanto, si hemos seguido este camino todavía nos quedarían nodos pendientes por explorar. Por ejemplo, si optamos ramificar el subproblema P por x, tendríamos:

5 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 5 (P) nodo x<= (7/,5/,) z=- (P) x<= x>= (8/,,/) z=-/ (P) x>= (P4) nodo nodo Para cada uno de los nodos tendríamos las siguientes cotas: cota inferior cota superior nodo - + nodo + nodo + La cota inferior de los nodos y se obtiene de ajustar la cota inferior de que los coeficientes de la función objetivo son enteros. teniendo en cuenta. Continua el procedimiento de ramificación y acotación empezado para resolver el siguiente problema explicando qué se va haciendo. Max 9x + 5x + 6x + 4x 4 s.a. 6x + x + 5x + x 4 x + x 4 x + x x + x 4 x, x, x, x 4 binarias ( 8,,,) z=6 5 x = x = (,,,) z=9 (, 8,, 8) z=6.

6 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 6 Solución Los problemas lineales de los hijos de la rama x = se pueden resolver gráficamente, ya sólo quedan variables (las otras se han fijado, a o a ). Para el resto ya sólo queda. Un posible árbol solución es el árbol siguiente, donde el número en la esquina superior izquierda indica el orden en que se han ido explorando los nodos. Después de podar la rama correspondiente al nodo 8 por cota, podemos asegurar que la solución encontrada en el nodo 7, x = (,,, ) es la solución óptima del problema entero. ( 8,,,) Z=6 5 X= X= (, 8,, 8) Z=6 X= X= (,,,) Z=9 Mejor conocido (,,, 5) Z=6 X4= X4= 8 (,, 8,) Z= 8 Fin por cota 4 No Factible 5 (,,,) Z=5 X= X= 6 No Factible 7 (,,,) Z=4 Optimo Mejor conocido 4. Resuelve, aplicando el método de branch and bound, el siguiente problema entero: máx 4x + 5x + x s.a x + x x + 4x x + x + x x, enteras. Solución. Empezamos escribiendo el problema en forma estándar. máx 4x + 5x + x s.a x + x + s = x + 4x + s = x + x + x + s = x enteras, s. Resolvemos el problema relajado, y obtenemos como solución, x =.8, x =., x =.7, con z = 9.4

7 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 7 Por tanto, obtenemos las siguientes cotas para el problema entero: z opt 9.4 La cota superior de 9.4 se puede ajustar a 9 (mejor cota), ya que todos los coeficientes son enteros. Siguiendo la regla de las prácticas ramificamos por x (es la que toma un valor más cercano al entero) introducimos las restricciones x y x. Los subproblemas resultantes son: máx 4x + 5x + x s.a x + x x + 4x x + x + x x x (P ) Comenzamos resolviendo P, que en forma estándar es: máx 4x + 5x + x s.a x + x x + 4x x + x + x x x (P ) máx 4x + 5x + x s.a x + x + s = x + 4x + s = x + x + x + s = x + s 4 = x, s Empezamos por la SBF asociada a la base (variables básicas: {x, x, x, s }) 4 B =, x B = B 5 b = 5 Los costes reducidos de las variables no básicas (s, s, s 4 ) vienen dados por: λ 4 B T 4 λ λ = c B = 5 λ = λ 4 σ(s ) σ N = σ(s ) = = σ(s 4 ) λ

8 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 8 Todos los costes reducidos son negativos y se trata de un problema de maximización, entonces el vértice actual es la solución óptima del subproblema P. Como la solución es fraccionaria, tenemos que seguir ramificando. Hay un empate, entonces ramificamos por la de menor índice, que en este caso es x. El valor óptimo del subproblema P es 9, entonces todos los nodos que cuelguen de este nodo tienen las siguientes cotas: z 9 Obtenemos los subproblemas: máx 4x + 5x + x s.a x + x x + 4x x + x + x x x x (P ) máx 4x + 5x + x s.a x + x x + 4x x + x + x x x x (P 4 ) Escogemos de los dos últimos subproblemas (seguimos una estrategia de búsqueda en profundidad) el subproblema P. En forma estándar: máx 4x + 5x + x s.a 4 x x x s s s s 4 = x, x, x, s,..., s 5 s 5 Empezamos por la SBF asociada a la base (variables básicas: {x, x, x, s, s }) 4 B =, x B = B b = 4

9 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 9 Los costes reducidos de las variables no básicas (s, s, s 4 ) vienen dados por: λ 4 4 λ 5 B T λ = c B λ = λ = λ 4 λ5 σ(s ) σ N = σ(s 4 ) = = σ(s 5 ) Todos los costes reducidos son negativos y se trata de un problema de maximización, entonces el vértice actual es la solución óptima del subproblema P. Como además tiene todas sus coordenadas x, x y x enteras, se trata de una solución factible del problema entero, con valor objetivo z = 8. Podamos la rama P, guardamos la solución actual (,, 4) t como la mejor solución entera encontrada hasta el momento y actualizamos la cota inferior del problema entero (mejor conocido) 8 z opt 9 Pasamos a resolver el subproblema P 4, correspondiente al nodo hermano del subproblema P. En forma estándar: máx 4x + 5x + x s.a x + x + s = x + 4x + s = x + x + x + s = x + s 4 = x s 5 = x, s Como x, entonces en la segunda restricción debe ser x + 4x + 4 =. Luego, el subproblema P 4 es no factible y se poda esa rama. Nota: si no nos damos cuenta del razonamiento anterior, después de probar algunas bases y de que todas nos den no factibles, se (P 4 )

10 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa resuleve el problema por el método de las dos fases. El problema de la fase es: mín z s.a x + x + s = x + 4x + s = x + x + x + s = x + s 4 = x s 5 + z = x, s, z (P 4 ) Al resolverlo se obtiene como solución óptima (x, s, z ) t = (,.75,, 4.5,, 4.75,,,.5) con valor objetivo óptimo z =.5 >. El único nodo que queda pendiente es el correspondiente al subproblema P, que en forma estándar es: máx 4x + 5x + x s.a x + x + s = x + 4x + s = x + x + x + s = x s 4 = x, s (P ) Empezamos por la SBF asociada a la base (variables básicas: {x, x, x, s }) 4 B =, x B = B b = Los costes reducidos de las variables no básicas (s, s, s 4 ) vienen dados por: λ 4 B T 4 λ λ = c B = 5 λ = λ 4 σ(s ) σ N = σ(s ) = = σ(s 4 ) Todos los costes reducidos son negativos y se trata de un problema de maximización, entonces el vértice actual es la solución óptima del subproblema P. Como además tiene todas sus coordenadas λ

11 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa x, x y x enteras, se trata de una solución factible del problema entero, con valor objetivo z = 9. Podamos la rama P y podemos dar por finalizada la búsqueda, ya que la solución factible entera obtenida alcanza la mejor cota del problema. Si no nos damos cuenta de esto, como la solución que acabamos de encontrar mejora a la mejor por el momento que teníamos guardada (que tenía un valor objetivo de 8), también podemos garantizar que el vértice actual es el óptimo del problema entero. En este caso, si hubiéramos empezado resolviendo el problema P, no habríamos tenido que resolver ningún otro subproblema, ya que habríamos obtenido una solución entera cuyo valor óptimo lanza la mejor cota. El árbol de búsqueda es: (P) x<= (,8;,;,7) z=9,4 x>= (P) (,5/,5/) z=9 (,,) z=9 (P) x<= x>= (P4) (,,4) z=8 No Factible 5. A continuación se representa el árbol de ramificación y acotación (branch and bound) correspondiente a una iteración en la resolución del siguiente problema de programación lineal:

12 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa max 8x + 8x + 5x + 4x 4 + x 5 + 9x 6 s.a x + 6x + 9x + 6x 4 + x 5 + 5x 6 6 9x + 4x + 6x + 8x 4 + x 5 + x 6 6 x + 4x + 5x + x 4 + 9x 5 + x 6 8x + x + 8x + x 4 + x 5 + 8x 6 x,..., x 6 Z + (,,,,,'75) z=5'5 nodo x<= (,,,'54,,'54) z=56 x4<= (,,,'8,,) z=44'8 (,'54,,,,'54) z=58'8 x4>= x5<= ('6,,,,,'75) z=5'5 x6<= x6>= (,,,,,) z=5 x>= (,'9,,,'59,'5) z=58'8 ('65,,,,,'75) z=56'5 nodo 4 x5>= (,,,'9,,'5) z=45'85 nodo 5 nodo nodo a) Determina razonadamente qué ramas han sido ya exploradas y qué ramas del árbol quedarían por explorar (si es que queda alguna). Para cada una de las ramas que aún no están exploradas, plantear el subproblema, o subproblemas, a resolver que cuelgan directamente de esa rama. b) A partir de lo anterior, decide si se ha detectado un óptimo o no. En caso negativo, si se para aquí el algoritmo, qué solución propondrías?, cómo medirías la calidad de la misma? Solución a) Se deja de desarrollar la rama que partiría del nodo porque la solución encontrada es entera. Se trata de la mejor solución entera encontrada hasta el momento. Actualizar el valor de la mejor conocida a 5. Se dejan de desarrollar las ramas que partirían de los nodos, y 5 por acotación. Para descartar el nodo por este criterio hayq ue tener en cuenta que los coeficientes de la función objetivo son enteros y que todas las variables deben tomar valores enteros. Esto nos permite afinar la cota del subproblema del nodo a 5 (en lugar de 5.5) Sólo quedaría por explorar el nodo 4. Siguiendo el crietrio de la práctica, se ramificaría por x 6 y se crearían las ramas definidas al añadir las restricciones: x 6 y x 6. No obstante, también se puede ramificar por x, añadiendo las restricciones x y x. En el primer caso habría que resolver los siguientes subproblemas en cada uno de los nodos hijos:

13 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa max 8x + 8x + 5x + 4x 4 + x 5 + 9x 6 s.a x + 6x + 9x + 6x 4 + x 5 + 5x 6 6 9x + 4x + 6x + 8x 4 + x 5 + x 6 6 x + 4x + 5x + x 4 + 9x 5 + x 6 8x + x + 8x + x 4 + x 5 + 8x 6 x 5 x x 6 x,..., x 6 max 8x + 8x + 5x + 4x 4 + x 5 + 9x 6 s.a x + 6x + 9x + 6x 4 + x 5 + 5x 6 6 9x + 4x + 6x + 8x 4 + x 5 + x 6 6 x + 4x + 5x + x 4 + 9x 5 + x 6 8x + x + 8x + x 4 + x 5 + 8x 6 x 5 x x 6 x,..., x 6 b) Como todavía quedan ramas por explorar no podemos garantizar que hayamos encontrado la solución óptima. Si se para el algoritmo aquí propondríamos como solución a la mejor solución encontrada hasta el momento: (,,,,, ) con valor objetivo 5. Para medir la calidad de la misma hay que medir el gap. Para ello podemos darnos cuenta de que la mejor cota del problema se puede actualizar, ya que hemos explorado todos los nodos del primer y segundo nivel. Sabemos que la solución ótima del problema nunca será superior a 56 (cota del nodo 4). Así, si usamos la diferencia relativa para medir la calidad de la solución tendríamos: 56 5 =.748, 56 lo que representa una diferencia relativa de, a lo sumo, un 7.4 % 6. (febrero, 6) En el curso de aplicar el método Branch and Bound para resolver cierto problema de optimización binaria, con variables (x, x, x, x 4 ), y objetivo máx 4x +8x +75x +8x 4, se obtiene el Árbol que se muestra en la Figura. Al lado de los nodos/subproblemas S, S y S se muestran las soluciones obtenidas al resolver la relajación de programación lienal correspondiente. Por ejemplo, al resolver la relajación lineal del subproblema S se obtiene la solución relajada (,,, ). 4

14 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 4 S x = x = S S (,,, ) 4 x = x = (,,, ) S S (,,, ) 5 Figura : Árbol de Branch & Bound. S x = x = S S x = x = x = x = S S S S (,,, ) (,,, 5 ) (,,, ) (,,, 5 ) Figura : Árbol de Branch & Bound. a) La información proporcionada en el Árbol y el objetivo dado permiten calcular cotas inferiores y/o superiores en el valor de la solución óptima entera correspondiente a cada nodo. Calcula estas cotas y dibuja el Árbol indicándolas junto a sus nodos respectivos. b) El Árbol muestra una solución entera factible. Se puede asegurar que sea óptima? Por qué? c) Calcula una cota superior en la diferencia entre el valor óptimo entero del problema, y el valor de la solución factible entera del subproblema S, a partir de la información dada hasta este apartado. Calcula otra cota superior en la diferencia relativa correspondiente. d) Al ramificar en el subproblema S se obtiene el Árbol mostrado en la Figura, donde se indican las soluciones de las relajaciones lineales correspondientes a los subproblemas S y S. Actualiza las cotas inferiores y superiores en los subproblemas, y dibuja el árbol indicándolas junto a sus nodos respectivos. Puedes encontrar una solución óptima para el problema, o habría que continuar explorando el árbol? Solución. Ver la solución en las soluciones a los exámenes del curso 5/6 en la página web de la asignatura.

15 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 5 7. Resuelve por el método de Branch and Bound el siguiente problema de programación entera: minimizar x x sujeto a x x x x 9 x, x {,,,...} Solución. El problema relajado P es el siguiente: minimizar x x sujeto a x x x x 9, y su solución es x = (5, 4.5) con z = 9.5. Como la solución no satisface las condiciones de integralidad hay que ramificar por x y se crean dos problemas P y P, añadiendo las restricciones x 4 y x 5, respectivamente. Cotas para la función objetivo: 9.5 z. La mejor cota se puede ajustar a 9. Problema P : minimizar x x sujeto a x x x x 9 x 4, solución x = (4.5, 4) con z = 8.5. Como no se satisfacen las condiciones de integralidad y el valor de la f.o. está entre las cotas superior e inferior hay que ramificar (por x ). Cotas para el valor de todas las souciones con x 4: 8.5 z, que se puede ajustar a 8 z. La mejor cota para el problema original sigue siendo 9.

16 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 6 Problema P : minimizar x x sujeto a x x x x 9 x 4 x 4. Problema P 4 : minimizar x x sujeto a x x x x 9 x 4 x 5 Siguiendo una estrategia de búsqueda en profundidad deberíamos de seguir resolviendo P. Vamos a seguir una estrategia de búsqueda en anchura y pasamos a reolver el problea P. El problema P : minimizar x x sujeto a x x x x 9 x 5, es no factible y por tanto la rama se poda. Pasamos, entonces, a resolver el problema P, cuya solución es x = (4, 4) con z = 8. Como la solución sí satisface las condiciones de integralidad y el valor de la f.o. está entre las cotas, entonces la rama se poda y se actualiza la cota superior para el problema original, ahora mejor conocido= 8. Las nuevas cotas para el problema original son: 9 z 8

17 Programación Lineal Entera / Investigación Operativa 7 Se guarda la solución x = (4, 4) como mejor solución encontrada (incumbente). Pasamos a resolver el problema P 4, que resulta ser no factible, por lo que la rama se poda. Ya no tenemos más problemas que procesar por lo que el procedimiento termina escogiendo el mejor candidato, esto es x = (4, 4) con z = 8 8. Discute razonadamente las siguientes afirmaciones y contestar razonadamente a las cuestiones (puedes ayudarte con ejemplos): a) Si el valor óptimo de la función objetivo es el mismo para ambos problemas, el relajado y el entero, entonces toda solución óptima para la relajación lineal es factible para el problema entero. b) Si se plantea un problema de programación lineal entera para tratar de mejorar la eficiencia (medida en términos de la emisión de residuos contaminantes) de un proceso productivo que ya está puesto en marcha, cómo emplearías la información que proporciona el actual plan de producción en la resolución del problema por el método de ramificación y acotación? Solución a) Si el problema relajado tiene solución única, entonces sí Si tiene múltiples soluciones, es falsa. Todas las soluciones en el segmento. Puedes ayudarte de un dibujo b) Mejorar la eficiencia medida en términos de la emisión de residuos contaminantes: se querrá minimizar El proceso productivo ya está puesto en marcha, entonces se cuenta con una solución factible que se puede emplear como mejor solución encontrada hasta el momento. Se trataría de una cota superior para la función objetivo (seguro que no vamos a contaminar más de lo que ya venimos contaminando)