Optimización del diseño del canal del proyecto hidrológico del rio Ebro.

Transcripción

1 Optimización del diseño del canal del proyecto hidrológico del rio Ebro. Alex Torrell Sabater 0029 Páginas: 9 Palabras: 1150

2 Tabla de contenidos Introducción... 3 Fundamentos... 3 Objetivo... 4 Datos... 5 Procesos... 6 Resultados/Conclusiones... 8 Bibliografía

3 Introducción El pasado 28 de febrero de 2014 el Gobierno Español, aprobó en pleno el nuevo proyecto hidrológico del rio Ebro 1, el cual destinará la mitad del caudal actual (actualmente hm 3 /año) parara regadío 2. Dado que los planos de construcción del proyecto aún no han salido al conocimiento público, este trabajo se basará en una hipótesis para hacer el canal que transportara el agua de manera proporcional al rio. El rio Ebro es segundo más grande de España y también el segundo más caudaloso. Este rio, es el encargado de regar las producciones de conreo de Cataluña o Navarra entre otras. Fundamentos Este trabajo, tiene que ver con proyectos relacionados con la hidrosfera, canales y funciones sociales, es justo todo lo que quiero estudiar en la universidad. Primero grado en ingeniería civil para, posteriormente, realizar después el master en ingeniería de caminos, canales y puertos. Además la optimización es una aplicación matemática por la cual tengo mucho interés, junto con la geometría, otra rama que me gusta mucho. En gran medida este proyecto tiene mucho impacto en la sociedad ya que el rio Ebro es muy dependiente de las estaciones y sobre cómo son estas. Depende principalmente de las nieves caídas en los pirineos durante el invierno y principios de primavera, así como de las lluvias de otoño y primavera, ya que durante verano el caudal se reduce muy drásticamente si no ha llovido o nevado mucho en los meses anteriores. 1 Ediciones, L. V. (2014, February 28). El Gobierno aprueba un nuevo plan hidrológico del Ebro. LA VANGUARDIA. 2 Ebro. (2014, March 7). In Wikipedia, la enciclopedia libre. Marzo 17, 2014, a través de, 3

4 Objetivo El objetivo del presente trabajo es el de calcular el área optima del canal. Pero no de su extensión, sino de su perfil, que será un trapecio con unas determinadas características. Dado que el proyecto aún no ha salido a conocimiento público, los datos serán hipotéticos, tratando de ajustarse a la realidad. Trataré de averiguar el tamaño ideal con optimización con derivadas. No se explorará el volumen del canal ni su capacidad de transporte, dado que el temario necesario para realizar esos estudios no están dentro del programa de Bachillerato Internacional en la asignatura de Matemáticas Nivel Medio y tampoco se tienen conocimientos de mecánica de fluidos. Por lo tanto, el proyecto consistirá en calcular el área máxima del trapecio para que pase la mayor cantidad de agua posible y basándome en datos reales como, la profundidad media del rio, su anchura, etc. Crearé unas hipotéticas características para esta forma de trapecio, que encuentro que es la más óptima para realizar este ensayo. Mi hipótesis, por lo tanto, es crear un canal que transporte la mitad del caudal del rio Ebro como indica el proyecto presentado por el Gobierno de España el pasado 28 de febrero y calcular el área máxima del perfil del canal creado, que tendrá una forma de trapecio. Los datos de la sección del canal con forma de trapecio serán mostrados en el siguiente apartado. 4

5 Datos El área de un trapecio viene determinada por la siguiente fórmula: Los datos de la sección del trapecio isósceles en la que basaremos la investigación matemática son los siguientes: La base mayor es dos veces la pequeña, por lo tanto: Los lados no paralelos miden 6 metros. A continuación un esquema que no está a escala del canal. La base menor, b, es el objetivo de optimización, dado que la pendiente, a, l y h van en función de esta, por lo tanto b será la incógnita x. 5

6 Procesos Una vez tenemos la ecuación del área, Empezamos a desarrollar las otras variables proporcionales, como por ejemplo la base mayor, a. Para poder continuar, debo encontrar una expresión de L en función de x para poder ser sustituida en la ecuación principal, pero como L forma parte de la base mayor y conocemos que: Sabemos que la parte comprendida entre cada L, es equivalente a la base menor, por lo tanto: La altura también es necesaria para poderla sustituir en la ecuación del área. Al ser un triángulo la figura formada entre L, h (h como altura y no como hipotenusa) y los lados no paralelos la hipotenusa- (6m), podemos calcular la h con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, ya podemos continuar substituyendo en el teorema de Pitágoras. 6

7 Una vez encontradas las razones necesarias para ser sustituidas en la ecuación del área, procedemos a sustituirlas. Por lo tanto continuamos con las operaciones Una vez obtenemos este resultado, empezamos a derivar toda la ecuación para después poder igualarla a cero y obtener el valor de x. Si igualamos ahora A =0 significará que los valores o el valor de x obtenido será el valor de x para área máxima. Sabemos que el dividendo no puede ser nulo, por lo tanto igualamos el divisor a 0. 7

8 Resultados/Conclusiones Tras los cálculos anteriores, he calculado que cuando x es igual a m, el área es la máxima. Por lo tanto, si queremos que la sección del canal sea máxima debemos conseguir que el tamaño de X no sea ni superior ni inferior a metros. Para acabar de asegurar que el valor de X es un máximo, si sustituimos ese valor en la segunda derivada de A(x), el resultado debería ser negativo para corroborar que es un máximo. Si el resultado, es positivo, entonces será un mínimo y habrá algún error en el procedimiento. La segunda derivada de A es igual a: Como el resultado de la segunda derivada es -3, podemos confirmar del todo que el valor de X encontrado es un máximo, y que el área máxima por lo tanto corresponde a sustituir X por. Por lo tanto el área es igual a 54 metros cuadrados. Finalmente teniendo en cuenta que los datos son hipotéticos ya que la población está a la espera de conocer los detalles en profundidad del gobierno, el área de la sección del canal con forma de trapecio parece tener suficiente capacidad de fluidez como para poder llevar a cabo la función de transporte de grandes cantidades de agua. 8

9 Bibliografía Ediciones, L. V. (2014, February 28). El Gobierno aprueba un nuevo plan hidrológico del Ebro. LA VANGUARDIA. Visitado, Marzo 17, 2014, a través de: Ebro. (2014, March 7). In Wikipedia, la enciclopedia libre. Visitado, Marzo 17, 2014, a través de: 9