1. Defina el problema de particionamiento. Escriba un ejemplo de este tipo de problema, junto con su formulación general en AMPL.

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1 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA o. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA Ampliación de la Investigación Operativa. Curso 00/0 a Prueba de Evaluación Continua. Fecha: Defina el problema de particionamiento. Escriba un ejemplo de este tipo de problema, junto con su formulación general en AMPL. En teoría.. Se quiere resolver un problema de programación matemática lineal entera mixto. El objetivo es minimizar f(x,x,x ) = x +x x, donde x, y x deben tomar valores enteros, pero x no necesariamente. Al resolver el problema relajado obtenemos la siguiente tabla del simplex en la solución óptima. x x x x x 4 x x 0 0 x Aplicar un único corte mixto de Gomory (m-corte) a este problema. La Tabla óptima asociada al problema relajada viene dada por: El m-corte viene dado por: 0 8 Min 0 0 x e x e x x 4 x 5 x e / 0 0 / 0/ x 0 0 / 8/ x / / 8/ / 4/ j J ( fk y kj f k ) x j Introducimos el m-corte sobre la variable x e : j J + y kj x j +s = f k xe + ( ) x 5 +x 6 = xe 6 x 5 +x 6 = Min x e x e x x 4 x 5 x 6 x e / 0 0 / 0 0/ x 0 0 / 0 8/ x / 0 / x 6 / /6 / 8/ / 0 4/ 4 6

2 Utilizamos el algoritmo dual del simplex para recuperar la factibilidad: Min x e x e x x 4 x 5 x 6 x e / x / / /6 x / 0 / x e /4 / / La solución actual es: (,, 6 ), que no verifica que x sea entera, por tanto, tendríamos que seguir introduciendo planos de corte.. Un entrenador de baloncesto tiene 9 jugadores, a los que ha evaluado de a de acuerdo con su manejo de pelota, tiro, rebote y defensa, según se indica en la siguiente tabla Jugador Manejo de pelota Tiro Rebote Defensa El equipo titular de 5 jugadores debe tener la máxima capacidad defensiva y satisfacer las siguientes condiciones: Su nivel medio, tanto en el manejo de pelota, como de tiro y rebote, debe ser no inferior a. Si juega el jugador, entonces el jugador 6 no puede estar en pista. Si el jugador está en el equipo titular, también deberá estar el 4 o el 5. El jugador 8 o el 9, pero no los dos a la vez, deben formar parte del equipo. Formular un problema que facilite la selección del equipo titular. Variables de decisión: { si se incluye el jugador j en el equipo x i = 0 en otro caso, i =,...,9 La formulación del problema tendría la siguiente función objetivo: max x +x +x +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 +x 9 Selección de cinco jugadores: Niveles medios mínimos: x +x +x +...+x 9 = 5 x +x +x +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 +x 9 8 = 9 x +x +x +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 +x 9 8 x +x +x +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 +x 9 8

3 Incompatibilidad entre los jugadores: Afinidad entre jugadores: Al menos un jugador de entre varios: x +x 6 x 4 +x 5 x x 8 +x 9 = 4. Dado el siguiente problema de programación lineal binario: Max x +x +5x +7x 4 4x 5 +8x 6 +x 7 s.a. x +x x +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 8 x +x +x 4 +x 7 x,x,x,x 4,x 5,x 6,x 7 {0,} (a) Obtener una buena solución, utilizando el algoritmo heurístico de mejora rudimentario, con el conjunto de movimientos complemento simple, y partiendo del punto (,0,,,,0,0) (realizar a lo más tres iteraciones). (b) Obtener la solución óptima utilizando el algoritmo de ramificación y acotación 0-, y como cota inicial la obtenida en la solución del apartado anterior. (c) Obtener una buena solución utilizando el algoritmo heurístico de búsqueda tabú, partiendo del punto (, 0,,,, 0, 0), considerando el conjunto de movimientos complemento simple, y considerando tabú complementar cualquier componente que haya sido cambiada para las próximas iteraciones y tomando t max = 4. (d) Obtener una buena solución utilizando el algoritmo heurístico de recocido simulado (anneling), partiendo del punto (,0,,,,0,0), considerando el conjunto de movimientos simple, temperatura q = 5 y tomando t max =. Utilizar los siguientes números aleatorios: 0.0, 0., 0.909, 0.85, 0.89, 0.099, 0.05, 0.84, 0.568, 0.09, 0.05, 0.050, 0.55, 0.79, 0.577, 0.00, 0.646, 0.6, 0.44, (e) Obtener una buena solución con el algoritmo greedy para el problema sin considerar la segunda restricción. Apartado (a)

4 Iteración Vecinos (z,g,g ) Factibilidad (,0,,,,0,0) (,4,) (0,0,,,,0,0) (8,,) (,,,,,0,0) (,6,) NF (,0,0,,,0,0) (6,5,) (,0,,0,,0,0) (4,,) (,0,,,0,0,0) (5,,) (,0,,,,,0) (9,7,) * (,0,,,,0,) (,5,) NF (,0,,,,,0) (9,7,) (0,0,,,,,0) (6,6,) (,,,,,,0) (,9,) NF (,0,0,,,,0) (4,8,) (,0,,0,,,0) (,4,) (,0,,,0,,0) (,6,) * (,0,,,,0,0) (,4,) (,0,,,,,) (0,8,) NF (,0,,,0,,0) (,6,) (0,0,,,0,,0) (0,5,) (,,,,0,,0) (5,8,) NF (,0,0,,0,,0) (8,7,) (,0,,0,0,,0) (6,,) (,0,,,,,0) (9,7,) (,0,,,0,0,0) (5,,) (,0,,,0,,) (4,7,) NF 4 (,0,,,0,,0) (,6,) FIN Apartado (b) Consideramos el siguiente cambio de variables para conseguir: 0 c c... c n x 7 = y, x = y, x = y, x 5 = y 4, x = y 5, x 4 = y 6, x 6 = y 7 El problema transformado sería: Max y +y +y +4y 4 +5y 5 +7y 6 +8y 7 4 s.a. y +y +y y 4 y 5 +y 6 +y 7 7 y +y +y +y 6 y,...,y 7 {0,} Resolvemos ahora el problema con ayuda del algoritmo de ramificación y acotación para variables 0-, pero teniendo en cuenta que disponemos de una solución inicial: x = (,0,,,0,,0) que corresponde a: y = (0,0,,,,,) con z = :

5 P : y = (,,,,,,) z = 6,NF P : y = (0,,,,,,) z = 5,NF (0,-) P : y = (0,0,,,,,) z = z i =,F,T (,-) P 4 : y = (,0,,,,,) z = 4,NF() (,0,-) P 5 : y = (,0,0,,,,) z =,F,T (,,-) P 6 : y = (,,0,,,,) z =,NF() (,,0,-) P 7 : y = (,,0,0,,,) z = 9,NF,T(P ) (,,,-) P 8 : y = (,,,0,,,) z =,NF,T(P ) La solución óptima es: y = (0,0,,,,,) con z =. Deshaciendo el cambio, la solución en las variables originales es: x = (,0,,,0,,0) (solución obtenida en el apartado (a)). Apartado (c) Aplicamos el algoritmo tabú (y utilizando los cálculos realizados en el apartado (a)): t x ( t) z(x (t) ) z(ˆx) Complementada Obj (,0,,,,0,0) (,,4,5,6) j = 6 8 (,0,,,, t,0) 9 9 (,,4,5) j = 5 4 (,0,,,0 t, t,0) (,,4) j = 4 (0,0,,,0 t,,0) 0 FIN Apartado (d) Aplicamos el algoritmo heurístico de recocido simulado(anneling), partiendo del punto(,0,,,,0,0): t x (t) z(x (t) ) z(ˆx) q Factibles Obj Acep./Rechaza 0 (,0,,,,0,0) 5 (,,4,5,6) j = Aceptamos (0,0,,,,0,0) 8 5 (,,,4,5,6,7) j = 7 Aceptamos (0,0,,,,0,) 9 5 (,4,5,6,7) j = 4 7 Rechazamos j = 5 Aceptamos (0,0,0,,,0,) 4 5 t = 0: con 0.0 seleccionamos complementar la componente j = (dividido el intervalo [0,] en 5 partes iguales). Disminuye el valor de la función objetivo: Calculamos probabilidad de aceptación: e /5 = , por lo que aceptamos. t = : con seleccionamos complementar j = 7, lo cual incrementa el valor objetivo en unidad, y por lo tanto se acepta el movimiento. t = : con 0.85 seleccionamos complementar j = 4, lo cual disminuye el valor de la función objetivo, es decir el incremento de la función objetivo es de -7 unidades. Calculamos la probabilidad de aceptación: e 7/5 = , por lo que rechazamos el movimiento. Con seleccionamos complementar j =, lo cual produce un incremento de la función objetivo negativo: -5.

6 Calculamos la probabilidad de aceptación: e 5/5 = , por lo que aceptamos el movimiento. Apartado (e) Antes de aplicar el algoritmo Greedy al problema de la mochila, debemos transformar el problema de forma que se convierta en un problema de maximizar con todos los coeficientes positivos y las variables ordenadas de forma que se cumpla: c a c a... c n a n En primer lugar, para conseguir que todos los coeficientes sean positivos, elegimos: x =, ya que c = 5 > 0 y a = < 0 (es decir, obtenemos beneficio y deja sitio libre en la mochila a = ). x 5 = 0, ya que c 5 = 4 < 0 y a 5 = > 0 (es decir, si lo incluimos obtendríamos perdidas y estaría ocupando sitio en la mochila). Con esta consideración, el problema queda como un problema de maximizar con 5 variables: El problema quedaría: x x x 4 x 6 x y y 4 y y y 5 Utilizamos ahora la estrategia Greedy o voraz: y = queda libre: 9-=8 y = queda libre: 8-=5 y = queda libre: 5-= y 4 = queda libre: -=0 y 5 = 0. Max y +8y +7y +y 4 +y 5 s.a. y +y +y +y 4 +y 5 8+ = 9 y,...,y 5 {0,} Esdecir,lasoluciónes: y = (,,,,0). Deshaciendoelcambiotendríamos: x = (,,,,0,,0) con z = (se trata de la solución óptima del problema, como se ha visto en el apartado (b)). 5. Resuelve el siguiente problema de programación lineal entera por el algoritmo de ramificación y acotación utilizando AMPL para la resolución de los subproblemas de cada nodo Dado: max x +7x 7 s.a. 0 x +x 4 0 x + 0 x x,x 0, enteras max x +7x 7 s.a. 0 x +x 4 0 x + 0 x x,x 0, enteras Aplicamos el algoritmo de ramificación y acotación de Dakin, obteniendo el siguiente árbol:

7 P : x =.,x =.67 z = 68. x P : x =,x =.9 z = 68. x 4 P : x = 4,x = z = 65,T x P 4 : x =,x = z = 5,T x P 5 : x =.85,x = z = x P 6 : x =,x =.6 z = 68. x P 7 : infact.,t x P 8 : x =,x = z = 58,T x P 9 : x =.4,x = z = 68.4 x P 0 : x =,x =. z = 68. x P : infact.,t x P : x =,x = z = 6,T x 4 P : x = 0,x = 4 z = 68,T(OPTIMO) La solución óptima es: x = (0,4) con z = 68. O también, si en la primera rama decidimos ramificar por la variable x, el árbol hubiera sido: P : x =.,x =.67z = 68. x P : x = 4,x = z = 65 x P : x =.86,x = z = 68.9 x P 4 : x =,x =.6z = 68. x P 5 : infact. x P 6 : x =,x = z = 58 x P 7 : x =.4,x = z = 68.4 x P 8 : x =,x =.z = 68. x P 9 : infact. x P 0 : x =,x = z = 6 x 4 P : x = 0,x = 4z = 68(OPTIMO)

8 Con ayuda de Ampl podemos resolver este problema de ramificación y acotación. El fichero ampl del modelo sería var x >=0; var x >=0; maximize z: *x+7*x; s.t. r: 0.7*x+x <=4; s.t. r: 0.*x+0.*x <= 0.5; Con algunas restricciones añadidas: var x >=0; var x >=0; maximize z: *x+7*x; s.t. r: 0.7*x+x <=4; s.t. r: 0.*x+0.*x <= 0.5; s.t. r: x >= ; s.t. r4: x <= ; s.t. r5: x >= ; s.t. r6: x <= ; s.t. r7: x >= 4; Las instrucciones AMPL para resolver cada uno de los problemas lineales relajados que aparecen en los nodos serían: reset; model ejemplo.mod; option solver cplex; solve; display x,x, z;