Análisis y Diseño de Algoritmos Árboles de Mínima Expansión (Minimum Spanning Trees) DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

Transcripción

1 Análisis y Diseño de Algoritmos Árboles de Mínima Expansión (Minimum Spanning Trees) DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

2 Problema de Cableado de Circuitos Electrónicos 2 Diseño de circuitos electrónicos Interconectar pines de componentes eléctricamente equivalentes Interconectar n pines con n-1 cables (cada uno un par de pines) Preferible cableado que usa menor cantidad de cable Modelar problema con un grafo conectado no dirigido V conjunto de pines E conjunto de conexiones entre pines W costo de conectar dos pines asociado a los arcos

3 Problema de Cableado de Circuitos Electrónicos Encontrar el subconjunto acíclico T E conectando todos los vértices peso total mínimo w( T ) = ( u, v) T w( u, v) T es acíclico y conecta todos los vértices es un árbol conocido como árbol de expansión spanning tree El problema de determinar este árbol se conoce como el problema del árbol de expansión mínimo 3

4 Algoritmo Kruskal Algoritmo Prim Tiempo de ejecución Algoritmos Cubiertos O(E lgv), implementados con heaps binarios Mejora para Prim O(E + VlgV) con Fibonacci heaps Mejora cuando V es mucho menor que E Los dos algoritmos son voraces (greedy) Generalmente no garantiza (por lo general) encontrar soluciones globales óptimas 4 Para MST se puede probar que algunas estrategias sí llevan a un ST con mínimo peso

5 Creciendo un MST Dado un grafo conectado, no dirigido G = (V, E) con una función de peso w : E R Queremos encontrar un MST para G Si consideramos estrategia voraz Algoritmo genérico 5

6 Loop Invariante Alg.l Genérico MST Antes de cada iteración A es un conjunto de algún MST Cada paso Determinar un arco (u,v) que se pueda agregar a A sin violar esta invariante A {(u,v)} también es un subconjunto del MST 6 Un arco con esta característica se llama arco seguro de A (safe edge for A) Porque se puede añadir de forma segura manteniendo la invariante

7 Inicialización Algoritmo Genérico MST 7 Después de la línea 1, el conjunto A satisface trivialmente el loop invariante Mantenimiento El loop en las líneas 2-4 mantienen la invariante añadiendo sólo arcos seguros Terminación Todos los arcos añadidos a A están en el MST, entonces el conjunto A regresado en la línea 5 debe ser un MST

8 Cómo Encontramos Arcos Seguros? Esta es la parte difícil Regla para reconocer arcos seguros Teorema

9 Definiciones Un Corte (S, V S ) (cut) de un grafo no dirigido G = (V, E) es una partición de V. Un arco (u,v) E cruza (crosses) el corte (S, V S) si uno de sus puntos finales esta en S y el otro esta en V S. Se dice que un corte respeta un conjunto A de arcos si ningún arco en A cruza el corte Un arco es un arco ligero cruzando un corte si su peso es el mínimo de los arcos cruzando el corte Un arco es un arco ligero satisfaciendo una propiedad si su peso es el mínimo entre cualquier arco que satisfaga la propiedad 9

10 Peso total: 37 MST para un Grafo Conectado No es único, reemplazando (b,c) por (a,h) tenemos otro MST con peso 37 10

11 Ejemplos de un Corte 11

12 Teorema 23.1, para reconocer arcos seguros Sea G = (V, E) un grafo conectado y no-dirigido con una función de pesos w de valores reales definida sobre E. Sea A un subconjunto de E que se incluye en algún MST de G, sea (S, V S) cualquier corte de G que respeta A, y sea (u,v) un arco ligero cruzando (S, V S). Entonces el arco (u,v) es seguro para A. 12

13 Prueba del Teorema 23.1 Sea T un MST que incluye A Asumimos que T no contiene el arco ligero (u,v) Construiremos otro MST T que incluya A {(u,v)} Técnica cortar y pegar Probando que (u, v) es un arco seguro para A 13

14 Prueba del Teorema 23.1

15 Prueba del Teorema El arco (u,v) forma un ciclo con los arcos en la ruta p de u a v en T Como u y v están en lados opuestos del corte (S, V S), entonces hay al menos un arco en T en la ruta p que también cruza el corte Sea (x,y) ese arco que también cruza el corte (x,y) no esta en A porque el corte respeta a A Como (x,y) esta en la única ruta de u a v en T, quitando (x,y) rompe a T en dos componentes Añadiendo (u,v) reconectamos los componentes y formamos un nuevo MST T = T {(x,y)} {(u,v)}

16 Prueba del Teorema 23.1 Probar ahora que T también es un MST Como (u,v) es un arco ligero que cruza (S, V S) y (x,y) también cruza este corte w(u,v) w(x,y) Por tanto w(t ) = w(t) w(x,y) + w(u,v) w(t) Pero T es un MST, entonces w(t) w(t ) Entonces T también debe ser un MST 16

17 Prueba del Teorema 23.1 Ahora probar que (u,v) es realmente un arco seguro para A Como A T porque A T y (x,y) A Entonces A {(u,v)} T 17 Consecuentemente, como T es un MST, (u,v) es seguro para A.

18 Corolario 23.2 Sea G = (V,E) un grafo conectado y no dirigido con una función de pesos w definida sobre E con valores reales. Sea A un subconjunto de E que esta incluido en algún MST de G y sea C = (V C, E C ) un componente conectado (árbol) en el bosque G A = (V,A) Si (u,v) es un arco ligero que conecta C a algún otro componente en G A, entonces (u,v) es seguro para A. 18

19 Algoritmos de Kruskal y Prim Variaciones del algoritmo genérico 19 Usan regla específica para determinar un arco seguro Kruskal El conjunto A es un bosque El arco seguro añadido a A es siempre el arco de menor peso en el grafo que conecta dos componentes distintos Prim s El conjunto A forma un solo árbol El arco seguro añadido a A es siempre el arco de menor peso que conecta el árbol a un vértice que no esta en el árbol

20 Kruskal El arco seguro a añadir al bosque es aquel arco (u,v) que conecta cualesquiera dos árboles en el bosque pero que tenga el menor peso 20 Como (u,v) debe ser un arco ligero que conecta C1 a otro árbol El corolario 23.2 implica que (u,v) es un arco seguro para C1 Kruskal s es voraz

21 Algoritmo Kruskal 21

22 Ejemplo de Kruskal 22

23 Ejemplo de Kruskal 23

24 Ejemplo de Kruskal

25 Tiempo de Ejecución de Kruskal Depende de la implementación de la estructura de datos conjunto-disjunto (disjoint-set) O(E lgv).

26 Prim Parecido al algoritmo de Dijkstra para encontrar rutas más cortas en un grafo (lo vamos a ver) Propiedad Los arcos en el conjunto A siempre forman un solo árbol El árbol se inicia con un vértice raíz arbitrario y crece hasta que el árbol se expande a todos los vértices en V Cada paso se añade un arco ligero al árbol A que lo conecta con un vértice que esta sin conectar Por el corolario 23.2, la regla añade sólo arcos que son seguros para A, por tanto al terminar, los arcos de A forman un MST Prim s es voraz

27 Algoritmo Prim

28 Algoritmo Prim Priority Queue en un campo llave Para cada vértice v, key[v] es el mínimo peso de cualquier arco que conecta v a un vértice en el árbol Por convención key[v] = si ese arco no existe π[v] nombra al padre de v en el árbol TAREA Estudiar el loop-invariant del algoritmo MST-PRIM

29 Ejemplo de Prim

30 Ejemplo de Prim

31 Ejemplo de Prim

32 Tiempo de Ejecución de Prim O(E lgv) Se puede mejorar con Fibonacci-Heaps O(E + VlgV)