El TAD Grafo. El TAD Grafo

Transcripción

1 Objetivos! Estudiar la especificación del TAD Grafo! Presentar diferentes alternativas de implementación! Conocer los algoritmos más importantes de manipulación de grafos Contenidos.1 Conceptos. Especificación algebraica. Implementación. Recorridos sobre grafos..1 Recorrido en anchura.. Recorrido en profundidad. Caminos mínimos sobre grafos..1 Algoritmo de Dijkstra.. Algoritmo de Floyd.6 Árbol de extensión de coste mínimo Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 1 Duración! clases (7, h) Bibliografía! Estructuras de datos: especificación, diseño e implementación Autor: Xavier Franch Gutiérrez Editorial : Ediciones UPC, 1999 Págs. 0-! Estructuras de datos. Algoritmos, abstracción y objetos Autor: Luis Joyanes Aguilar, Ignacio Zahonero Martínez Editorial: McGraw-Hill Págs Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva

2 .1 Conceptos! Un grafo es una relación arbitraria entre objetos de un mismo tipo. Formalmente se representa mediante el par G = (V,A), donde:! V es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos! A es un conjunto de objetos denominados aristas o arcos! Las aristas representan relaciones entre los vértices, de forma que una arista es un par (u,v) de vértices de V! Básicamente, podemos clasificar los grafos en tipos dependiendo de dos criterios:! Grafo dirigido. Es aquel cuyas aristas forman pares ordenados (u " v).! Grafo no dirigido. Es aquel cuyas aristas no son pares ordenados! Grafo etiquetado o valorado. Cuando se asocia información a cada arista de un grafo! Grafo no etiquetado. Cuando no se asocia ninguna información a las aristas! La teoría de grafos se aplica a campos tan diversos como química, geografía, ingeniería eléctrica, comunicaciones, etc Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva! Un ejemplo de grafo podría ser la red de metro de Madrid, donde los vértices representan las estaciones y las aristas la línea que une dos estaciones: Sol Gran Vía Tribunal 9 17 Tirso de Molina Plaza de España Opera 1 Callao! Otro ejemplo de aplicación de los grafos es la construcción de modelos donde se estudian las relaciones de precedencia que existen entre las tareas que se necesitan para completar un trabajo Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva

3 ! Algunas definiciones sobre grafos: # Un camino en un grafo G = (V,A) es una secuencia de vértices v 1,..., v n V, con n 1, tal que (v i, v i+1 ) A, para i = 1,..., n-1 # La longitud de un camino es su número de vértices menos 1 # Un camino es simple si todos sus vértices, excepto tal vez el primero y el último, son distintos # Un ciclo es un camino simple de longitud no nula que empieza y termina en el mismo vértice # En un grafo no dirigido, el grado de un vértice v es el número de aristas que contiene a v # Se dice que el vértice y es sucesor o adyacente del vértice x si existe una arista que tenga por origen a x y por destino a y, es decir, si la arista (x, y) A # Se dice que el vértice x es antecesor del vértice y si existe una arista que tenga por origen a x y por destino a y, es decir, si la arista (x, y) A Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva # En un grafo dirigido se distingue entre el grado de entrada y el grado de salida: el grado de entrada de un vértice v es el número de aristas que llegan a v (antecesores), y el grado de salida de un vértice v es el número de aristas que salen de v (sucesores). Ejemplos: Grafo no dirigido v v1 v v Número de nodos: Número de aristas: V = A = Camino = Ciclo = Grado (v) = Adyacentes (v) = Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 6

4 Ejemplos: v v1 v Grafo dirigido Número de nodos: Número de aristas: V = A = Camino = Ciclo = GradoEnt (v) = GradoSal(v)= Adyacentes (v) = Antecesores (v) = Antecesores (v) = Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 7 # Un grafo no dirigido G es conexo si existe un camino entre cualquier par de nodos que forman el grafo. v v v v v v v1 v v1 v Grafo No conexo Grafo conexo v v v1 v # Un grafo dirigido es fuertemente conexo si existe un camino entre cualquier par de nodos que forman el grafo v Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 8

5 . Especificación Algebraica! Puesto que el grafo es un conjunto de vértices y aristas, la signatura del TAD grafo deberá contener, al menos, las operaciones de añadir vértices y aristas a un grafo! El resto de las operaciones dependerá de la aplicación que se vaya a dar al TAD! Definiremos un TAD para los grafos dirigidos, con las operaciones de pertenencia y una operación que calcula los vértices adyacentes a uno dado Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 9 espec grafosdirigidos usa booleanos, conjunto<vértices> /* conjunto<vértices>: TAD conjunto de caracteres sustituyendo el carácter por vértice */ parámetro formal género vértice operaciones _ == _: vértice vértice " booleano fpf renombrar conjunto<vértices> por conjvértices género grafo operaciones gvacío: " grafo +vértice: grafo vértice " grafo parcial +arista: grafo vértice vértice " grafo _ _ : vértice grafo " booleano ( _, _ ) _ : vértice vértice grafo " booleano adyacentes: grafo vértice " conjvértices Gen (grafo) = { } Obs (grafo) = { } Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 10

6 dominios de definición g: grafo; v1,v: vértice ecuaciones g: grafo; v,v1,v,v,v: vértice +vértice (+vértice (g,v1), v) = +arista (+arista (g,v1,v), v,v) = +arista (+vértice (g,v1), v,v) = v gvacío = v1 +vértice (g,v) = v1 +arista (g,v,v) = Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 11 (v1,v) gvacío = (v1,v) +vértice (g,v) = (v1,v) +arista (g,v,v) = adyacentes (gvacío, v) = adyacentes (+vértice (g,v1), v) = adyacentes (+arista (g,v1,v), v) = fespec Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 1

7 . Implementación! Un Vértice es un objeto con un atributo dato de tipo elemento vértice = clase público constructor creavertice(e: Elemento); acción setelemento(e: elemento); función getelemento: elemento; privado dato: elemento; fclase;! Una Arista es un objeto con tres atributos dos vértices y opcionalmente de una etiqueta arista = clase público constructor creaarista(vor, Vde: vértice; et: Etiqueta); función getvorigen: vértice; función getvdestino: vértice; función getetiqueta: etiqueta; privado Vorigen, Vdestino: vértice; Etiq: etiqueta fclase; Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 1! Los Métodos públicos que se utilizarán en las distintas implementaciones de la clase Grafo serán: importa tadvertice, tadarista publico constructor creagrafovacío; función adyacentes(v: vértice): conjvértices; función estavertice (v: vértice):booleano función estaarista (a: arista):booleano acción insertavertice (v: vértice) acción insertaarista (a: arista) acción eliminavertice (v: vértice) acción eliminaarista (a: arista) Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 1

8 ! Existen básicamente formas de implementar los grafos, una estática y dos dinámicas. La elección de cada una de ellas dependerá de las operaciones que se vayan a aplicar sobre los vértice y las aristas..1 Matriz de Adyacencia # Sea G = (V,A) un grafo de n nodos, donde suponemos que los nodos V = {v 1,v,...,v n } están ordenados y podemos representarlos por sus ordinales {1,,...,n} # La matriz de adyacencia para el grafo G es una matriz A de dimensión n x n de elementos booleanos en la que: A[i,j] = verdad, si y sólo si existe una arista en G que va del vértice i al vértice j A[i,j] = falso, en caso contrario # En un grafo no dirigido, la matriz de adyacencia es simétrica y los elementos de su diagonal son todos falso Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 1 # El tipo necesario para representar un grafo mediante matriz de adyacencia es: constante n =... { cardinal de V} tipo grafo = clase publico { métodos comunes a grafos } privado M: tabla [1..n, 1..n] de booleano fclase Esta representación es útil para aquellos problemas donde se necesite saber si existe una arista entre dos vértices dados, ya que es de orden constante O(1). # El principal inconveniente es que se necesita un espacio de O(n ) aunque el grafo tenga muy pocas aristas. V = {E, F, J, M, T} J F T M E M = E F J M T E F J M T F V V V F F F F F F F F F V F F F V F F V V F F F Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 16

9 J F T M E M = E F J M T E F J M T F F F V V F F F F V F F F V V V F V F F V V V F F Huelva Sevilla M = CA CO HU SE Cádiz Córdoba Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 17.. Listas de Adyacencia # Esta representación consiste en n listas, de forma que la lista i-ésima contiene los vértices adyacentes al vértice i # Una posible representación podría ser: constante n =... { cardinal de V } tipo grafo = clase público { métodos comunes a grafos } privado G: tabla [1..n] de lista<vértices> fclase Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 18

10 G G 1 1 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 19! Esta representación resulta útil cuando el número de vértices se conoce previamente y permanecerá fijo durante la resolución del problema, pero resulta ineficiente si necesitamos añadir o eliminar vértices en tiempo de ejecución! Por tanto, para un caso más general, podemos utilizar, en lugar de una tabla, una lista enlazada para almacenar la información de los vértices Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 0