Clasificación de sistemas

Transcripción

1 Capítulo 2 Clasificación de sistemas 2.1 Clasificación de sistemas La comprensión de la definición de sistema y la clasificación de los diversos sistemas, nos dan indicaciones sobre cual es la herramienta matemática que se usará para el estudio de tal sistema. La figura 2.1 ilustra una clasificación de sistemas empleando el punto de vista de los sistemas discretos Sistemas físicos y abastractos Definición 2.1 Un sistema físico es un agregado de objetos o entidades materiales entre cuyas partes existe una conexión o interacción y que implica un consumo de energía. Todos los sistemas físicos se caracterizan por: Tener una ubicación en el espacio-tiempo. Tener un estado físico definido (propiedades 1 ) y sujeto a evolución temporal (comportamientos). Se le puede asociar una magnitud física llamada energía. Ejemplos de sistemas físicos implican cualquier maquinaria, cualquier dispositivo electrónico, etc. Definición 2.2 Un sistema abstracto es un agregado de entidades abstractas entre cuyas partes existe una conexión o interacción y su propósito es el modelado de un sistema físico. Esto sistemas se caracterizan por: Tener una ubicación temporal. 1 El lector debe considerar que las propiedades físcias en sí, no hacen un estado, mas bien son los valores que toman las mencionadas propiedades 37

2 38 CAPÍTULO 2. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS Figura 2.1: Clasificación general de sistemas empleando el punto de vista del mundo discreto.

3 2.1. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS 39 Tener un estado definido (propiedades) y sujeto a evolución temporal (comportamientos). Dado que el sistema abstracto no realiza trabajo, no se le puede asociar una magnitud física llamada energía. Los sistemas abstractos pueden ser hipótesis, ideas, modelos matemáticos, algoritmos, software Sistemas de tiempo continuo y sistemas de tiempo discreto Definición 2.3 Sistema de tiempo continuo: es aquel sistema cuya evolución y estado están definidos en todo instante de tiempo. Hay dos situaciones que el lector debe considerar: Estos sistemas se representan con ecuaciones algebraicas en función de un tiempo continuo y con ecuaciones direrenciales también en función de tiempo continuo. Las magnitudes que toman las propiedades, durante la evolución del sistema, siempre estarán acotadas en un intervalo finito. Definición 2.4 Sistema de tiempo discreto: es aquel sistema cuya evolución y estado están definidos solamente en instantes particulares de tiempo e incluso en intervalos de tiempo. Hay dos situaciones que el lector debe considerar: Estos sistemas se representan con ecuaciones algebraicas en función de instantes temporales y con ecuaciones en diferencias también en función de instantes temporales. Las magnitudes que toman las propiedades, durante la evolución del sistema, siempre estarán acotadas en un intervalo finito. Algo que también debe considerar el lector, es que la presente obra está orientada a sistemas discretos, razón por la cual la clasificación dada en la figura 2.1 puede no coincidir del todo con la clasificación dada en otras obras.

4 40 CAPÍTULO 2. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS Sistemas Causales y sistemas no causales Definición 2.5 Sistema causal: un sistema causal es aquel cuya salida no se adelanta a la entrada. Esto implica que la salida en un instante de tiempo dependerá de la entrada aplicada en ese instante 2 o en instantes anteriores 3. Considere, por ejemplo, un sistema amplificador modelado por la ecuación siguiente: y (t n ) = Ax (t n ) (2.1) También es posible considerar un sistema que ocasiona un retardo en la señal y que es modelado por la ecuación siguiente: y (t n ) = x (t n t 0 ) (2.2) Definición 2.6 Sistema no causal: Un sistema es no causal si su salida se adelanta a la aplicación de cualquier entrada. Considere, por ejemplo, un sistema que ocasiona una salida adelantada a su entrada y que es modelado por la ecuación siguiente: y (t n ) = x (t n + t 0 ) (2.3) Los sistemas no causales suelen emplearse para predecir la salida de otro sistema, es decir, extrapolar valores de salida a partir de una secuencia salidas ya generadas. Así entonces, un sistema de comunicación envía la diferencia entre la salida real y la salida predecida. Tal diferencia resulta en el envío de una menor cantidad de bits Sistemas estáticos y sistemas dinámicos Definición 2.7 Un sistema es estático o sin memoria si su salida en el n-ésimo instante está en función únicamente de la entrada en ese instante. Estos sistemas se modelan con ecuaciones algebraicas[?]. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación: y (n) = a 2 x 2 (2) + a 1 x (n) + a 0 (2.4) Definición 2.8 Un sistema es dinámico o con memoria si su salida en el instante n-ésimo está en función de la entrada en el instante n y en función, además, de las entradas y de las salidas en instantes anteriores. Estos sistemas se modelan con ecuaciones en diferencias. 2 En este caso, el sistema se representa con una ecuación algebraica. 3 En este caso, el sistema se representa con una ecuación en diferencias.

5 2.1. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS 41 Por ejemplo, considere la siguiente ecuación en diferencias y (n) = 3x (n 1) + 1x (n) 3y (n 1) (2.5) Sistemas determinísticos y sistemas estocásticos Definición 2.9 Sistema determinístico es aquel en que el azar no está involucrado en su evolución temporal, es decir, los estados futuros están determinados por una entrada incial y por un estado inicial. Tales sistemas se representan con ecuaciones algebraicas o ecuaciones en diferencias. Tales ecuaciones se producirá la misma salida a partir de la misma entrada inicial y del mismo estado inicial. Definición 2.10 Sistema estocástico es aquel en el que el azar está involucrado en su evolución temporal, es decir, los estados futuros no están determinados por una entrada incial y por un estado inicial. Algunos de estos sitemas se estudian mediante cadenas de Markov Sistemas de parámetros concentrados y sistemas de parámetros distribuidos Definición 2.11 Sistema de parámetros concentrados es aquel en el cual su estado y evolución están en función de únicamente una variable físca. Estos sistemas se modelan mediante ecuaciones algebraicas y mediante ecuaciones ordinarias en diferencias. La variable física a la que hace referencia la definición anterior es muchas veces el tiempo. En la presente obra, la mayoría de la señales que se estudian están en función de instantes temporales. Definición 2.12 Sistema de parámetros distribuidos. Es aquel sistema en el cual hay que considerar que su estado y evolución están en función de más de una variable física. Estos sistemas se modelan mediante ecuaciones en diferencias parciales. El ejemplo mas típico que se considera en Ingeniería es la «línea de transmisión» en la cual los efectos de la resistencia, de la inductancia y de la capacitancia se estudian tanto en función de la frecuencia como en función de la longitud.

6 42 CAPÍTULO 2. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS Sistemas lineales y sistemas no lineales Definición 2.13 Sistema lineal en el tiempo es aquel que satisface las dos propiedades siguientes: Homogeneidad: la salida es proporcional a la entrada. Aditividad: Si entrada es la suma de varias señales, la salida será la suma de las salidas correspondientes a cada señal entrada. Se deja a lector la definición de sistema no lineal Sistemas invariantes en el tiempo y sistemas variantes en el tiempo Definición 2.14 Un sistema invariante con el tiempo es aquel, que bajo el mismo estado inicial, no importa en cual instante aplique la entrada, siempre se logra la misma salida. Los parámetros que intervienen en el modelo matemático de un sistema invariante dependen del tiempo. Estos sistemas se modelan con ecuaciones en diferencias de coeficientes constantes [1]. Estos sistemas también se conocen como estacionarios. En estos sistemas ocure que dada la ecuación x (n) T y (n) (2.6) si se alimenta la misma entrada en un tiempo posterior, ocurre: x (n τ) T y (n τ) (2.7) Definición 2.15 Un sistema variante con el tiempo es aquel, que bajo el mismo estado inicial, la salida depende del instante de tiempo en el cual se aplique la entrada. Los parámetros que intervienen en sus modelos matemáticos son funciones del tiempo. Estos sistemas se representan con ecuaciones en diferencias de coeficientes variables[1].