Señales y Sistemas. Conceptos Introductorios Fundamentales. Profesora: Olga González

Transcripción

1 Señales y Sistemas Conceptos Introductorios Fundamentales Profesora: Olga González

2 Señal Las señales son magnitudes físicas o variables detectables mediante las que se pueden transmitir mensajes o información. Existen una gran variedad de señales que son de importancia práctica en la descripción de fenómenos físicos. Ejemplos: La voz humana, las imágenes de televisión y la temperatura atmosférica. Las señales eléctricas constituyen el tipo de señales que se pueden medir con más facilidad y que se pueden representar de forma más simple. Matemáticamente las señales se representan como funciones de una o más variables independientes. Por ejemplo, las señales consistentes de tensiones o corrientes que varían con el tiempo son funciones de una sola variables (el tiempo). Una imagen se puede ver como una función de dos variables (las coordenadas x e y). En este curso centraremos nuestra atención en señales que dependen de una sola variable independiente, que es el tiempo.

3 Clasificación de las señales Una forma de clasificar las señales es atendiendo a la naturaleza de la variable independiente. Si la variable independiente es continua, la correspondiente señal se denomina señal de tiempo continuo o señal continua, y está definida para valores continuos de la variable independiente. Si la variable independiente toma sólo valores discretos t=kt, siendo T un número real positivo fijo, y k un número entero (es decir 0, ±1, ±2,, etc.), la correspondiente señal x(kt) se denomina señal en tiempo discreto o señal discreta.

4 Clasificación de las señales Señal determinística: es aquella que se puede modelar como una función del tiempo completamente especificada. Señal aleatoria: es aquella que no se puede especificar por completo como función del tiempo y debe modelarse probabilísticamente. Señal determinística Señal aleatoria

5 Clasificación de las señales Una señal periódica continua x(t) tiene la característica de que hay un valor positivo T para el cual x(t)=x(t+t) para todos los valores de t, tiene la propiedad de que no cambia para un corrimiento de tiempo T, por eso decimos que x(t) es periódica con período T. Si una señal es periódica con período T, también es periódica con período 2T, 3T,. Una señal periódica discreta x(n) es definida de manera análoga x(n)=x(n+n). Ejemplos de señales periódicas son las señales sinusoidales reales. Si una señal no es periódica se denomina señal aperiódica.

6 Clasificación de las señales Señal periódica con período T0 Señal aperiódica Período fundamental: es el valor positivo más pequeño de T para el cual se satisface que x(t)=x(t+t). Esto es válido excepto para cuando x(t) es una constante (ya que tienen período f indefinido, no hay un valor positivo más pequeño).

7 ) Señal par vs. impar Cualquier señal se puede escribir como una combinación de una señal par y una señal impar. Una función par es una función en donde Es decir, esta función presenta una simetría en torno al eje y. Señal par Una función impar es una función en donde Es decir, esta función presenta una simetría respecto al origen del sistema de coordenadas. Señal impar

8 Señales especiales: Función Impulso La función impulso es más un concepto matemático que una función, que se define de la siguiente manera: La función es cero para cualquier valor de t, excepto cero. Cuando t es cero el valor de la función es infinito. Por definición el área de esta función es igual a uno. Es una función par, es decir

9 Función Impulso La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles. También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de desplazamiento o corrimiento. Físicamente existen efectos en la naturaleza a los que se puede asociar esta función como por ejemplo la fuerza aplicada en un lapso muy corto, como cuando un martillo golpea un clavo, o la presencia de un voltaje por un instante muy corto.

10 Función Escalón Unitario La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo. La integral de la función impulso es 0 si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que 0, se define exactamente el escalón unitario como En el caso de la función escalón, físicamente representa un cambio instantáneo que se produce en t=0, es una suposición el hecho de representar una función con tiempos negativos (lo cual no existe), en cambio sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se cierra, estableciendo el máximo voltaje a una carga.

11 Función Rampa Unitaria La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero), entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 (cero) hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:

12 Relaciones entre estas señales Tal como se puede fácilmente demostrar, la función escalón y la función impulso están relacionadas de la siguiente manera: Análogamente igualmente se demuestra que la función rampa y la función escalón están relacionadas de la siguiente manera:

13 Señal sinusoidal Una señal sinusoidal se puede expresar matemáticamente como una función que varía con el tiempo de la siguiente manera: Donde: A 0 es la amplitud ω es la frecuencia angular en radianes/segundo β es el ángulo de fase inicial con respecto al origen temporal en radianes. Las señales sinusoidales son periódicas con período fundamental T=2π/ω para todos los valores de ω.

14 Señal exponencial real Es de la forma Existen diferentes señales según los valores de a y b, diferenciándose básicamente tres casos: A real, a 0, b = 0. Si a es positiva, entonces conforme t se incrementa x(t) es una exponencial creciente. Si a es negativa, entonces x(t) es una exponencial decreciente. Ejemplos de señal exponencial real

15 Sistema En un sentido amplio un sistema físico es una interconexión de componentes, dispositivos o subsistemas. En procesamiento de señales, un sistema puede considerarse como un proceso en el cual las señales de entrada son transformadas por el sistema y produce otras señales como salida. Ejemplo 1: Consideremos el circuito eléctrico R Vs Vc En este caso el voltaje de la fuente Vs y el del capacitor Vc representan o son ejemplos de señales eléctricas, ya que dichos voltajes varían en el tiempo. Ejemplo 2: Consideremos el sistema mecánico masa-resorte-amortiguador m En este caso son señales mecánicas la posición x y la velocidad de la masa m que sufren variaciones con el tiempo

16 Propiedades básicas de los sistemas Causalidad: Un sistema es causal si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (La salida del sistema no anticipa valores futuros de la entrada). Linealidad: Un sistema lineal en tiempo continuo o discreto es aquel que posee la propiedad de superposición: si una entrada consiste en la suma de varias señales, entonces la salida es la suma de las respuestas del sistema a cada una de estas señales por separado. x t) x ( t) y ( t) y ( ) Donde sistema. x( t) y( t) 1( t representa la relación entrada/salida del

17 Propiedades básicas de los sistemas Invariabilidad en el tiempo: Un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento temporal de la señal de entrada causa un desplazamiento temporal idéntico en la señal de salida. Concretamente si y(t) es la salida correspondiente a la entrada x(t), un sistema invariante en el tiempo producirá como salida y(t-to) cuando la entrada sea x(t-to). Ejemplo: y(t)=cos x(t) es invariante en el tiempo, y(t)=tx(t) no es invariante en el tiempo. Invertibilidad: Un sistema es invertible si observando la salida se puede determinar la entrada. Es decir, se puede construir un sistema inverso tal que cuando se coloca en cascada con el sistema original, produce una salida igual a la entrada del sistema original. Ejemplo: y(t)=2x(t) es invertible, y su sistema inverso es z(t)=1/2y(t).