Transformadas Básicas. Requerimientos: Integral Impropia TRANSFORMADA DE LAPLACE:

Transcripción

1 Transformadas Básicas Requerimientos: Integral Impropia si limite TRANSFORMADA DE LAPLACE: La transformada de Laplace de una función está definida por: Para obtener su transformación solo debemos multiplicar nuestra función de interés por e integrar de menos infinito a mas infinito. S es una variable compleja. Transformada de Laplace de un escalón: Esta función tiene valor de cero desde infinito hasta antes de cero, porque a partir de cero la función ya tiene un valor de 1. Entonces los limites de integración los manipularemos para trabajar donde hay señal significativa de UNO. Nos quedarían los limites de 0 a infinito con un valor de función de 1. Y ahora si integramos

2 lim 1 lim 1 = = 1= (checa requerimientos al inicio) Transformada de Laplace de un impulso: => Tenemos un solo valor, no requerimos integrar. Recuerda que un delta dirac en formato general es ganancia =1, tenemos = 10. cuando es unitario y con Podemos ver nuestra integral como una sumatoria de multiplicaciones de nuestra funcion de interes con la exponcial. Solo para t=0 tenemos un impulso, por lo tanto Aun así integramos la constante: 1

3 Transformada de un exponencial: Para este caso, nuestros límites de integración serán de cero al infinito, forzando además a que sea causal. Antes de integrar arreglamos exponentes, (forzando que lo de adentro del paréntesis sea positivo para obtener un resultado acorde; pero prueban que pasa si no se cuida esto). =lim = lim Noten que pase el signo de un factor a otro (de la fracción a la exponencial, solo porque me conviene, para que el resultado final sea positivo) 1 TRANSFORMADA Z Para obtener la transformada Z de una función es: Donde es muy importante notar que trabaja con señales discretas x(n), si se tiene una señal continua x(t), primero debemos discretizar para seguir transformando. No es una integral pero es su proporcional, tenemos una sumatoria de muestras de n=0 hasta infinito, de mi función de interés por una potencia. Por ejemplo chequen señal:

4 Y de forma análoga a como se observa se obtendrán las siguientes transformaciones. Transformada Z de un escalón: 1 1 Siempre se tratará de dejar como una función racional, multiplicando ambos lados por (z 1), (en la exponencial por (z a)): 1 = 1 1 Quedando: 1 Transformada Z de un impulso desplazado: Transformada Z de un exponencial:

5 Realizando cambio de variable: ; Exp(Z)= 1 = Para racionalizarla no la multiplicaremos por (z 1 ) SINO por (z a): Exp(Z)(z a)= Z 0 ( ) Exp(Z)(z a)=z Exp(Z)= TRANSFORMADA DE FOURIER. Para obtener la transformada de Fourier, debe considerarse que para este segmento tenemos transformada de Fourier para señales continua y para señales discretas; NO periódicas. Además, para señales continuas y discretas Periódicas (se les llama comúnmente Serie de Fourier). Estas últimas se verán más tarde. Enfocándonos a Transformada de Fourier continua (o sea No periódica) Su transformada es : x() Como ustedes observan es muy parecida a la transformada de Laplace pero la potencia en vez de S es j. Es decir, estamos trabajando únicamente con la frecuencia angular. Donde es bueno recordar que 2 Entonces por cada frecuencia f que obtengamos en este dominio debemos considerar multiplicarlo por 2. Comencemos. Transformada de Fourier de un escalón:

6 Esta función tiene valor de cero desde infinito hasta antes de cero, porque a partir de cero la función ya tiene un valor de 1. Entonces los limites de integración los manipularemos para trabajar donde hay señal significativa de UNO. Transformada de Fourier de un impulso: Tenemos un solo valor, no requerimos integrar. Recuerda que un delta dirac en formato general es ganancia =1, tenemos = 10. cuando es unitario y con Podemos ver nuestra integral como una sumatoria de multiplicaciones de nuestra funcion de interes con la exponcial.

7 Solo para t=0 tenemos un impulso, por lo tanto Aun así integramos la constante: 12 = 2 Transformada Fourier de un exponencial: Para este caso, nuestros límites de integración serán de cero al infinito, forzando además a que sea causal. Antes de integrar arreglamos exponentes, (forzando que lo de adentro del paréntesis sea positivo para obtener un resultado acorde) Ejercicios:

8 Obtén la transformada de un pulso. Un pulso puede construirse de un escalón y un escalón invertido desplazado T tiempos. Pulso= u(t) u(t T): u(t) ya está calculada y es,,, pero u(t T) no. Parte 1. Calculo de u(t T). Para calcular este desplazamiento presentare dos métodos. Uno cambiando solo los limites y otro realizando un cambio de variable de t T. Método 1 Método 2. Por cambio de variable en el corrimiento. tc= t T, t=tc+t, dtc=dt tc=0 cuando t=c y tc= infinito cuando t=infinito. Entonces

9 u(s)=> Es decir= Parte 2. Construir el pulso con los dos escalones. Pulso= u(t) u(t T): La transformada de Laplace de un pulso= La transformada de Fourier de un pulso= 1 1 La transformada Z de un pulso= Pulso= u(k) u(kt NT): 1 1