Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Transcripción

1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Transformada de Laplace) Julio López Depto Ingeniería Matemática, Universidad de Chile Verano 2010, Resumen clases Julio López EDO 1/30

2 Introducción Una transformada integral es una aplicación que asocia una función f con otra función, mediante T (f (t))(s) = K(t, s)f (t)dt, para alguna función K llamada núcleo y algún rango fijo A de integración. Casos: Si K(s, t) = e ist 2π de Fourier. A y rango A = R, entonces tenemos la Transformada Si K(s, t) = e st y rango A = (0, ), se tiene la Transformada de Laplace. Julio López EDO 2/30

3 Transformada de Laplace Su aplicación principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas lineales. Algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes suelen tener como parte no homogénea una función que no es continua, por lo que estos problemas es más sencillo cuando se utiliza la Transformada de Laplace. Se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales. Tienen su origen en las limitaciones de la Transformada de Fourier. Julio López EDO 3/30

4 Transformada de Laplace Definición Sea f : [0, ) R. La Transformada de Laplace de f es la función F definida por: F (s) = + 0 e st f (t)dt. (1) El dominio de F es el conjunto de aquellos valores de s, para los cuales esta integral impropia converge. Notación: L[f ] ó L[f (t)]. Se llama abscisa de convergencia o asíntota de L[f ] al número real s c definido por: s c = ínf dom(l[f ]). Ejemplos: 1) f (t) = 1, t 0 L[f ](s) = 1 s. dom(l[f ]) = (0, ). 2) f (t) = e at, t 0, a C L[f ](s) = 1 s a, doml[f ] = (Re(a), ). 3) f (t) = cos(wt) L[f ](s) = s s 2 +w, s > ) f (t) = sen(wt) L[f ](s) = w s 2 +w, s > 0. 2 Julio López EDO 4/30

5 Transformada de Laplace Propiedad 1(Linealidad) Sea λ R. Si f, g : [0, ) R son tales que L[f ](s) y L[g](s) existan. Entonces L[f + λg](s) = L[f ](s) + λl[g](s). Ejemplo: 1) f (t) = cosh(t) L[f ](s) = s s ) f (t) = senh(t) L[f ](s) = 1 s 2 1. Julio López EDO 5/30

6 Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace La integral que define la Transformada de Laplace no converge necesariamente. Por ejemplo L[1/t] ni L[e t2 ] existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L[f ] sobre f son continua a trozos orden exponencial Definición (Discontinuidad de Salto) f : (a, b) R tiene una discontinuidad de salto en t 0 (a, b) si f es discontinua en t 0 y los ĺımites por la derecha e izquierda de f existen y son finitos. Ejemplo: { t, 0 < t < 2 f (t) = t , t > 2 tiene discontinuidad de salto en t 0 = 2. Julio López EDO 6/30

7 Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace Definición (Continuidad a Trozos) f : [0, ) R es continua a trozos en [0, ), si tiene un número finito ó numerable de discontinuidades de salto. Ejemplos: 1) t 3, t < 3 f (t) = t 2, 3 < t < 3 (t + 3), t > 3 es continua a trozos. 2) f (t) = t [ t ], 0 < t < 1 extendida periodicamente a [0, + ) con período 1, es continua a trozos. 3) { 1/t, t 0 f (t) = 0, t = 0 no es continua a trozos. Julio López EDO 7/30

8 Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace Definición Sea f : [0, ) R, f es de orden exponencial si existen α R y t 0, M > 0 tal que f (t) Me αt, t > t 0. Al menor de tales α se le llama orden exponencial de f. Ejemplos: 1) f (t) = t es de orden exponencial α = 1. 2) f (t) = e t es de orden exponencial α = 1. 3) f (t) = e 5t sen(2t) es de orden exponencial α = 5. 4) f (t) = e t2 no es orden exponencial. C α = {f : [0, ) R : f continua a trozos y de orden exponencial α} C α es espacio vectorial. Teorema Si f C α entonces para todo s > α, existe L[f ]. Además, ĺım s L[f ](s) = 0. Julio López EDO 8/30

9 Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace Las condiciones para f no son necesarias para la existencia de L[f ], i.e, existen funciones que no satisfacen las hipótesis del Teor., y en cambio poseen Transformada de Laplace. Por ejm. f (t) = t 1/2 no es continua a trozos para t 0, pero su TL existe. Ejemplo: Considerar la función 0, 0 < t < 5 f (t) = 2, 5 < t < 7 0, t > 7 f tiene discontinuidad saltos en t = 5 y t = 7, así f continua a trozos. Es de orden exponencial, pues cualquier función cte lo es. L[f ](s) = 2 s (e 5s e 7s ). Julio López EDO 9/30

10 Propiedades de Traslación Teorema 1 Sea f C α y considere F (s) = L[f ](s). Si a R, para s > α + a. Ejemplo: L[e at sen(bt)](s) = Definición L[e at f (t)](s) = F (s a), b (s a) 2 +b 2, s > a. Se llama función de Heaviside o escalón unitario a la función H(x) definida por: { 0, x < 0 H(x) = 1, x 0 Traslación a otra posición x = a: H a (x) = H(x a) = { 0, x < a 1, x a Julio López EDO 10/30

11 Propiedades de Traslación La función de Heaviside es usado para expresar funciones definidas por tramos: { g(t), 0 t < a f (t) = h(t), t a { 0, 0 t < a = g(t) + h(t) g(t), t a = g(t) + (h(t) g(t))h a (t). Transformada de la función Heaviside L[H a (t)](s) = 1 s e as, s > 0. Ejemplo: Considere 3, x < 2 f (x) = 2, 2 x < 5 1, x 5 f (x) = 3 5H 2 (x) + 3H 5 (x) Julio López EDO 11/30

12 Propiedades de Traslación L[f (x)](s) = 3L[1](s) 5L[H 2 (x)](s) + 3L[H 5 (x)](s) = 3 s 5 s e2s + 3 s e 5s, s > 0. Definición(función Pulso) Sean a, b R tq a < b. La función pulso P ab entre a y b es definido como 0, t < a P ab (t) = 1, a t < b 0, t b Notar que P ab (t) = H a (t) H b (t). Así L[P ab (t)](s) = L[H a (t)](s) L[H b (t)](s) = 1 s e as 1 s e bs, s > 0. Julio López EDO 12/30

13 Propiedades de Traslación Teorema 2 Si a > 0, entonces L[H a (t)f (t a)](s) = e as L[f (t)](s). Ejemplo: La transformada de Laplace de { 0, t < 3 g(t) = t, t 3 es donde ( 1 L[H 3 (t)f (t 3)](s) = e 3s s ), s { f (t) = 0, t < 0 t + 3, t 0 Julio López EDO 13/30

14 Transformada de Derivadas Teorema 3 Sea f : [0, ] R continua y de orden exponencial α. Si f es continua a trozos, entonces existe L[f ] para s > α y L[f (t)](s) = sl[f (t)](s) f (0 + ). Caso 2da derivada: Teorema 4 L[f (t)](s) = s 2 L[f (t)](s) sf (0 + ) f (0 + ). Supongamos que f C n 1 ([0, )) y que f, f,..., f (n 1) son de orden exponencial α. Si f (n) es continua a trozos en [0, ), entonces existe L[f (n) (t)] para s > α y se cumple: n 1 L[f (n) (t)](s) = s n L[f (t)](s) s k f (n k 1) (0 + ). k=0 Julio López EDO 14/30

15 Transformada de Integrales Teorema 5 Sea f C α localmente integrable. Sea a R y defina F (t) = t a f (u)du. Entonces, L[F (t)](s) = 1 s L[f (t)](s) 1 s a 0 f (u)du, s > α. En general [ t t ] L... f (u)du (s) = 1 n a a s n L[f (t)](s) 1 s k k=1 a t 0 a t... f (u)du. a Ejemplo: [ t ] L cos(t)dt (s) = L(cos(t)) = 1 0 s s Julio López EDO 15/30

16 Convolución Definición Sean f, g C α. El producto de convolución entre f y g se define como: (f g)(t) = t 0 f (u)g(t u)du. Obs. Haciendo τ = t u, se muestra que f g = g f. Teorema 6 Sean f, g C α, entonces L[f g](s) = L[f (t)](s)l[g(t)](s). Ejemplo: Sean f (t) = e t y g(t) = sen(t), entonces L[(f g)(t)](s) = L[e t ](s)l[sen(t)](s) = 1 1 s 1 s Julio López EDO 16/30

17 Derivada de la Transformada Teorema 7 Sea f C α y denote por F (s) = L[f (t)](s). Entonces L[t n f (t)](s) = ( 1) n d n F (s), s > α. dsn Ejemplo: L[tsen(bt)](s) = 2bs (s 2 + b 2 ) 2. Julio López EDO 17/30

18 Integrabilidad de Transformadas Teorema 8 Sea f C α y denote F (s) = L[f (t)](s). Si ĺım t 0 + [ ] f (t) L (s) = t s F (u)du. f (t) t existe, entonces Obs. La existencia de ĺım f (t) t 0 + t es necesaria para la existencia de G. Obs. La igualdad anterior es equivalente a: Haciendo s 0, tenemos: Ejemplo: s 0 F (u)du = F (u)du = 0 0 e 0 sen(t) dt = π t 2. st f (t) dt. t f (t) dt. t Julio López EDO 18/30

19 Transformada de una Función Periódica Definición Una función f : R R se dice que es periódica con período T (T > 0) si f (t + T ) = f (t), t R. Teorema 9 Sea f C α y periódica con período T. Entonces L[f (t)](s) = 1 T 1 e st e st f (t)dt. 0 Julio López EDO 19/30

20 Ejemplos:Transformada de Laplace Ejemplo 1: Resolver f (t) = 3t 2 e t t 0 f (θ)et θ dθ. Aplicando transformada de Laplace nos resulta: L(f ) = 3L(t 2 ) L(e t ) L( t = 3L(t 2 ) L(e t ) L(f (t) e t ) 0 f (θ)e t θ dθ) = 6 s 3 1 s + 1 L(f (t))l(et ) = 6 s 3 1 s L(f (t)) s 1 el cual es equivalente a: Aplicando transformada inversa: L(f ) = 6 s 3 6 s s 2 s + 1. f (t) = 3t 2 t e t. Julio López EDO 20/30

21 Ejemplos:Transformada de Laplace Ejemplo 2: Resolver el problema { y + 2ty 4y = 1 y(0) = y (0) = 0 Recordar la propiedad: L(t n f (t)) = ( 1) n d n ds n L(f ). Aplicando transformada de Laplace nos resulta: L(y ) + 2L(ty ) 4L(y) = L(1). (s 2 Y (s) sy(0) y (0)) 2 d ds L(y ) 4Y (s) = 1 s s 2 Y (s) 2 d ds (sy (s) y(0)) 4Y (s) = 1 s s 2 Y (s) 2(Y (s) + sy (s)) 4Y (s) = 1 s Y (s) + ( 3 s s 1 )Y (s) = 2 2s 2 (ED lineal 1er orden en s) Julio López EDO 21/30

22 Ejemplos:Transformada de Laplace La solución de la ED es: Y (s) = 1 s 3 + C s 3 e s 2 4, C R. Recordar que ĺım s Y (s) = 0, esto es posible siempre y cuando C = 0. Por tanto, Y (s) = 1 s 3. Luego y(t) = t2 2. Ejemplo 3: Resolver el problema { ty + 4y = 0 y(0) = 0 Aplicando transformada de Laplace nos resulta: L(ty ) + L(y) = 0 d ds L(y ) + Y (s) = 0 d ds (s2 Y (s) sy(0) y (0)) + Y (s) = 0 (2sY (s) + s 2 Y (s)) Y (s) = 0 (ED a variables separables). Julio López EDO 22/30

23 Ejemplos:Transformada de Laplace Esta ED tiene por solución: Y (s) = C 1 s e 1/s. 2 Recordar: e x = 1 + x + x x 3 3! x n n! +..., entonces Y (s) = C 1 ( s s s ! s ( 1)n n! ( 1 = C s 2 1 s s ! s ( 1)n n! por lo que ) 1 s n s n y(t) = C(t t2 2! + 1 t 3 2 3! 1 t 4 3! 4! ( 1)n t n+1 n! (n + 1)! +...). ) Ejemplo 4: { x Resolver el sistema de 1er orden 1 (t) = a 11 x 1 + a 12 x 2 + b 1 (t) x 2 (t) = a 21x 1 + a 22 x 2 + b 2 (t) t > 0, mediante transformada de Laplace para Julio López EDO 23/30

24 Ejemplos:Transformada de Laplace Sean X 1 (s) = L(x 1 (t)), X 2 (s) = L(x 2 (t)), B 1 (s) = L(b 1 (t)) y B 2 (s) = L(b 2 (t)) las transformadas de Laplace de x 1 (t), x 2 (t), B 1 (t) y B 2 (t), respectivamente. Entonces, al aplicar TL: de donde sx 1 (s) x 1 (0) = a 11 X 1 (s) + a 12 X 2 (s) + B 1 (s) sx 2 (s) x 2 (0) = a 21 X 1 (s) + a 22 X 2 (s) + B 2 (s) (s a 11 )X 1 (s) a 12 X 2 (s) = B 1 (s) + x 1 (0) a 21 X 1 (s) + (s a 22 )X 2 (s) = B 2 (s) + x 2 (0) Entonces, X 1 (s) y X 2 (s) pueden ser encontradas con la regla de Cramer: B 1(s) + x 1 (0) a 12 B 2 (s) + x 2 (0) s a 22 s a 11 B 1 (s) + x 1 (0) a X 1 (s) = s a 21 B 2 (s) + x 2 (0) 11 a 12 ; X 2 (s) = a 21 s a 22 s a 11 a 12 a 21 s a 22 Julio López EDO 24/30

25 Ejemplos:Transformada de Laplace Ejemplo 5: Resolver el sistema de 1er orden x 1 (0) = x 2 (0) = 0. Notemos que L(e t cos(t)) = lo anterior, deducimos que s 1 (s 1) (s 1) X 1 (s) = 2 +1 s 1 s 1 1 = 1 s 1 s X 2 (s) = s s 1 s 1 (s 1) 2 +1 (s 1) 2 +1 { x 1 (t) = x 1 x 2 + e t cos(t) x 2 (t) = x 1 + x 2 + e t sen(t), con s 1 (s 1) 2 +1 y L(et sen(t)) = 1 (s 1) Usando = (s 1) 2 (s 1) (s 1) 2 +1 (s 1) s 1 (s 1) s 1 (s 1) 2 +1 (s 1) = (s 1)2 1 ((s 1) 2 + 1) 2 = 2(s 1) ((s 1) 2 + 1) 2 Julio López EDO 25/30

26 Ejemplos:Transformada de Laplace Calculando las inversas: ( (s 1) x 1 (t) = L 1 2 ) ( 1 s ((s 1) 2 + 1) 2 = e t L 1 2 ) 1 (s 2 + 1) ( 2 d = e t L 1 ds ( s ) s ) = e t tl 1 s ( s ) = tet cos(t). De forma análoga: ( ) ( ) x 2 (t) = L 1 2(s 1) ((s 1) 2 + 1) 2 = e t L 1 2s (s 2 + 1) ( 2 d = e t L 1 ds ( 1 ) s ) = e t tl 1 1 ( s ) = tet sen(t). Por tanto, la solución del sistema es: x(t) = ( te t cos(t) te t sen(t) ). Julio López EDO 26/30

27 La delta de Dirac En muchos sistemas mecánicos, eléctricos, etc., actúan fuerzas externas muy grandes en un intervalo corto de tiempo, por ejemplo, un golpe de un martillo, un relámpago en un sistema eléctrico. Definición La función impulso unitario es definido por: { 1 δ t0 (t) = 2t 0, t t 0 0, t > t 0 con t 0 R +. La función trasladada es: δ t0 (t a) = { 1 2t 0, t a t 0 0, t a > t 0 con t 0, a R +. Propiedad: δ t 0 (t a)dt = 1, L(δ t0 (t a))(s) = e as ( est 0 e st 0 2t 0s ). Julio López EDO 27/30

28 La delta de Dirac Definición La delta de Dirac es definido por el ĺımite δ(t a) = ĺım t0 0 δ t 0 (t a). Julio López EDO 28/30

29 La delta de Dirac Propiedades: δ(t a) = { 0, t a +, t = a δ(t a)dt = 1. Sea f una función continua en R, entonces f (t)δ t0 (t a)dt = 1 a+t0 f (t)dt 2t 0 a t 0 = 1 2t 0 f (c) = f (c) 2t 0 TVM para integrales con c (a t 0, a + t 0 ). Haciendo t 0 0 tenemos que c a y por continuidad de f, f (c) f (a) cuando t 0 0. Por tanto, f (t)δ(t a) = ĺım f (t)δ t0 (t a) = f (a). t0 0 Julio López EDO 29/30

30 Transformada de la delta de Dirac L(δ(t a))(s) = Caso particular: L(δ(t))(s) = 1. 0 e st δ(t a)dt = e st δ(t a)dt = e as. Observación: Notamos que la transformada de Laplace no cumple que debe de tender a cero cuando s +, esto nos indica que la delta de Dirac no es de orden exponencial. Esto sucede pues esta función no es función ordinaria. Propiedad t δ(u a)du = { 0, t < a 1, t > a = H a(t) Julio López EDO 30/30