Taller Parcial 3 EDO I e st f (t)dt

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1 Taller Parcial 3 EDO I-25. TRANSFORMADA DE LAPLACE Dada una función real f (t), su transformada de Laplace es la función real, en variable s, dada por la integral impropia [ T ] L( f ) s : F(s) e st f (t)dt Lim e st f (t)dt T Si dicha integral diverge, se dice que f no posee transformada de Laplace. Recíprocamente; la transformada inversa de Laplace de una función real F(s), definida para s >, es una función real f (t) tal que L( f ) F; escribiremos en tal caso f L (F). Para funciones continuas, esta correspondencia es biyectiva (ver ejercicio 2). () Propiedades de la transformada de Laplace: Para cualesquiera funciones reales f (t), g(t) con transformadas de Laplace respectivas L( f ) F(s), L(g) G(s), verifica: (a) Linealidad: L( f + cg) F(s) + cg(s), c R. (b) Monotonía: Si f g entonces F G. (c) L(e at f (t)) F(s a). Recíprocamente, L( f (t a)) e as F(s). (d) L(t f (t)) F f (t) (s). Recíprocamente, si Lim t existe, entonces L( f (t)/t) s F(z)dz. s ( (e) L( f t ) (t)) sf(s) f (). Recíprocamente, L f (z)dz F(s) s. (f) ( ) Si f (t) es una función periódica, de periodo w >, es decir f (t) f (t + w) para todo t; muestra que F(s) t w e st f (t)dt ( e ws ) (2) ( ) Si f, g son continuas, f g y F G entonces f (t) g(t). (3) Calcula F(s) para f (t) en cada caso: (a) f (t), t R. (b) f (t) t n, a R constante, n > entero. (c) f (t) e at. (d) f (t) t n e at. (e) ( ) f (t) t n cos(at) y f (t) t n sen(at). Sugerencia (i) Utilice el método de integración por partes y el ejercicio (3.c) para relacionar las transformadas de cos(at) y sen(at). (ii) Calcule la transformada de la función compleja f (t) e ait. (iii) Emplee la identidad de Euler e ait cos(at) + isen(at). (f) f (t) t n cos(at). (g) f (t) t n sen(at). (4) La convolución de f, g se define como ( f g)(t) t f (u)g(t u)du. Muestra que (a) f g g f. (b) L( f g) FG.

2 2 2. SOLUCIÓN DE EDO MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE () A partir del problema de valor inicial y (t) f (t), y() y, deduzca que la transformada Y(s) de y(t) satisface Y(s) s (F(s) y ); luego y(t) L ( s (F(s) + y ) ) t f (z)dz + y (2) Repita el ejercicio anterior para y (t) + ay(t) f (t), y() y. Emplee el ejercicio 4.b para verificar que ( ) y(t) L t (s + a) (F(s) + y ) f (z)e a(t z) dz + y e at (3) Resuelva las siguientes EDO empleando transformada inversa de Laplace: (a) y y e 5t. (b) y + 2y t 3 t. (c) y + 3y 4y t 2 + cos(2t). (4) Resuelva los siguientes sistemas (a) x x 2y + t, y x + y. (b) y + x + y, z + y ; y(), y (), z (). (5) Considere el sistema de EDO de primer orden, x (t) ax(t) + by(t) + f (t), y (t) cx(t) + dy(t) + g(t); x() x, y() y, a, b, c, d R, f, g funciones. Muestre que las transformadas de La place satisfacen ( ) ( ) ( ) a s b X F c d s Y G Resuelva el sistema y halle x(t), y(t). Ayuda Reescriba el determinante de la matriz 2 2 como (s a)(s d) bc α (s A) + β (s B) empleando el método de fracciones simples. 3. RECURSIONES LINEALES Una sucesión { : n N} de números reales está en recursión si existe algún entero k >, y alguna función real f (t,..., t k ) tal que, para todo n N, se tiene +k f (, +,..., +k ) El entero k se llama grado de la recursión. Decimos que la recursión es lineal si f T es una transformación lineal, en cuyo caso siempre existen constantes a,..., a k tales que () +k a + a a k +k, n N El polinomio asociado a una recursión lineal como la anterior, es [ ] k p(z) a j z j z k j Una sucesión geométrica de razón u soluciona la recursión lineal si al definir u n se satisface la igualdad ().

3 3 () Para la sucesión de Fibonacci, c c, , n N; (a) Halle el polinomio característico p(z). (b) Verifique que, si u es una raíz de p(z), la sucesión geométrica u n resuelve la recursión , n N. (c) Muestre que p(z) posee dos raíces reales u, u 2. Hállelas. (d) Tome una combinación lineal cualquiera de las dos soluciones geométricas, digamos Au n + Bun 2 ; n N con A, B R arbitrarios. Muestre que cualquiera de estas combinaciones soluciona la recursión. (e) Consiga la combinación geométrica que soluciona la sucesión de Fibonacci. Es decir, halle los valores de A, B para la condición inicial c c. (f) Muestre que la razón entre los términos sucesivos de la sucesión de c Fibonacci tiende a la sección áurea: Lim n+ n c + 5 n 2. (2) Muestre que una combinación lineal de sucesiones geométricas, digamos m A j u n ; j j n N con A,..., A m R arbitrarios, soluciona la recursión general de la igualdad (), siempre que las razones geométricas u,..., u m sean raíces de p(z). Nótese que estas soluciones pueden ser reales o complejas. (3) Halle la combinación geométrica que resuelve cada una de las siguientes recursiones lineales: (a) +2 2+, c, c 2. (b) +2, c, c. (c) +2, c 2, c. (d) , c c. (e) , c c, c SERIES DE POTENCIAS Una función f (t) es analítica en un punto a si, para algún ɛ > y para todo a t < ɛ; la serie de Taylor de f centrada en a converge a f (t); es decir, f (t) f (n) (a) (t a) n ; t (a ɛ, a + ɛ) n! Una función g(t) se escribe como serie de potencias en (un entorno de) a si existen ɛ > y constantes reales, n,,... etc. tales que g(t) (t a) n ; t (a ɛ, a + ɛ) () Si g(t) (t a) n en un entorno de a, muestra que g(a) c, g (a) c. En general, g (n) (a) (n!), de modo que la serie de potencias de g es su serie de Taylor.

4 4 (2) Si f (t), g(t) son analíticas en a, entonces f + g, f g, c f son analíticas en a; donde c R es constante. (3) ( ) Si f (t), g(t) son analíticas en a y g(a), entonces f /g es analítica en a. (4) Suponga que f (t) a n t n es analíticas en. Muestre que: (a) f (t) es analítica en, y f (t) na n t n (n + )a n+ t n. n (b) f (t),..., f (n) (t),... son todas analíticas en. Halla sus desarrollos como series de potencias. (5) ( ) Sea e z n! zn la función exponencial compleja, definida para cualquier z C. (a) Muestre que la serie anterior siempre converge. Ayuda Use el criterio de Cauchy. (b) Halle el desarrollo en serie de potencias de las funciones trigonométricas cos(z) eiz + e iz, sen(z) eiz e iz 2 2i (c) Verifique la identidad de Euler: e iz cos(z) + isen(z). Las funciones exponencial y trigonométricas reales se pueden definir como restricciones de estas funciones al caso z R. Muestre que estas funciones son todas analíticas en cualquier punto. (6) Muestra que toda función polinómica f (t) c + c t + + t n es (trivialmente) analítica en todo punto. 5. SOLUCIÓN DE EDO LINEALES CON RECURSIONES Y SERIES DE POTENCIAS () Considere la EDO y (t) ay(t), es decir, y ay. Asuma que y(t) t n es analítica en t. (a) Sustituya los valores de la serie en la EDO, y muestre que + a (n+). (b) Mediante inducción, demuestre que para cualquier n N se tiene an n! c. (c) Deduzca que y(t) c (at) n n! ce at. (2) Solucione las siguientes EDO homogéneas usando series de potencias: (a) y y. (b) y + y. (c) y + 2y 3y. (d) y + 2y + 4. (3) Para cualquier EDO lineal, homogénea, de orden m > y centrada en t ; y (m) (t) m a j y (j) (t); y() y,..., y (m ) () y m

5 5 asuma que y(t) es analítica. Muestre que y(t) t n si y solamente si los coeficientes de la serie de potencias satisfacen la siguiente recursión lineal: +m m j (n + j)! (n + m)! a j +j ; n N 6. PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE Sean L > y λ dos números reales. Halla una función real y(t) periódica, de periodo L, tal que y (t) λy(t). () Mediante transformada de Laplace: Si Y(s) es la transformada de y(t), demuestra que Y(s) sy()+y (). Considera dos casos: λ > y λ <, Halla s 2 λ la solución general en cada uno. En cuál de los dos obtienes una solución periódica? (Ayuda: Usa el ejercicio.f de la sección de transformada de Laplace). (2) Mediante series de potencias: Asuma que y(t) t n es analítica. (a) Directamente de la EDO deduzca la recursión de 2do orden +2 λ (n+2)(n+), n N. (b) Separe la recursión en dos casos, n par y n impar. Para n 2k par, demuestre por inducción que C 2k λk (2k)! c. Halle una fórmula similar para el caso impar. (c) Divida el resto del problema en dos casos: λ < y λ >. Para λ <, use el ejercicio 5.b de la sección de series de potencias, para demostrar ( )2 ( ) ( ) que λ kπl, y y(t) A cos kπt L + Bsen kπt L donde A c, B ±(c / λ). (d) Haga un análisis similar para λ µ 2 > y deduzca que estas soluciones no pueden ser periódicas.