Tema 5. Ejemplos. Sucesiones y series. Marisa Serrano, José Ángel Huidobro. Ejemplo 5.1. n(1 + i) n + 1. converge a 1 + i.

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Diego Álvarez Agüero
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1 Índice Tema 5 Marisa Serrano, José Ángel Huidobro Universidad de Oviedo 2 mlserrano@uniovi.es jahuidobro@uniovi.es Definición 5. Sea {z n }, n N, una sucesión de números complejos. Se dice que la sucesión converge a z C si: En este caso escribimos ɛ > 0 n 0 N / n n 0 z n z < ɛ ĺım n z n = z Toda sucesión convergente está acotada. Ejemplo 5. Pruebe que z n = Ejemplo 5.2 n( + i) n + converge a + i. Pruebe, usando la definición, que la sucesión z n = i n no es convergente. Ejemplo 5.3 Pruebe que ĺım n ( i 2) n = 0

2 Propiedades Series Proposición 5. Sean {z n } y {w n } sucesiones en C que convergen a z y w respectivamente. Se verifican: ĺım n (z n + w n ) = z + w. 2 ĺım n (z n w n ) = z w. 3 Si w 0, ĺım n z n /w n = z/w. Definición 5.2 Sea {z n } una sucesión en C y, para cada n N, sea s n = z + + z n. Si la sucesión {s n } converge hacia s diremos que la serie z n es convergente y s = Si z n es convergente, entonces ĺım n z n = 0. Se dice que convergente. z n converge absolutamente si z n es z n Ejemplo Serie producto Demuestre que la serie es convergente, y calcule su suma. ( ) i n 2 Proposición 5.2 Sean {z n } y {w n }, n = 0,,, dos sucesiones tales que z n = z, w n = w y z n es convergente. Si c n = n z k w n k, n = 0,,, se verifica que k=0 c n = z w

3 Serie de funciones Convergencia uniforme Definición 5.3 Sea A C, f n : A C, n N una sucesión de funciones y f : A C. Se dice que {f n } converge a f si, para cada z A, se verifica que ĺım n f n (z) = f (z), es decir: Se dice que {f n } converge uniformemente a f en A si: ɛ > 0, n 0 N / n n 0, f n (z) f (z) < ɛ, z A En este caso n 0 no depende de z. z A, ɛ > 0 n 0 N / n n 0 f n (z) f (z) < ɛ n 0 depende de z y de ɛ. Es convergencia puntual. Propiedades Propiedades Proposición 5.3 Sea A C y una sucesión de funciones f n : A C, n N, y f : A C y supongamos que las funciones f n son continuas y que la sucesión {f n } converge uniformemente hacia f. Entonces f también es función continua en A. Proposición 5.4 Sea γ una trayectoria C y sea γ su imagen. Sea {f n } una sucesión de funciones continuas que converge a f uniformemente sobre γ. Entonces ĺım n f n (z) dz = f (z) dz γ γ

4 Propiedades Proposición 5.5 Sea M n una serie de números reales con M n 0. Sea A C y una sucesión de funciones f n : A C, n N, tales que f n (z) M n, z A. Entonces la serie de funciones converge uniformemente en A. f n Llamaremos serie de potencias a la serie de funciones: a n (z c) n donde a n y c son números complejos. de series de potencias son: z n, (2 + i) n (z ) n n Radio de convergencia Consecuencias {a n } sucesión de números complejos, c C. Una de las siguientes afirmaciones es cierta a n (z c) n converge absolutamente z C 2 R 0 tal que a n (z c) n converge absolutamente si z c < R y diverge si z c > R. R es el radio de convergencia de la serie y 0 r < R a n (z c) n converge uniformemente en D(c, r). Sea R el radio de convergencia de la serie a n (z c) n. Entonces la función suma a(z) = a n (z c) n es continua en D(c, R).

5 Consecuencias Propiedad Dado r > 0 supongamos que si z c < r, a(z) = a n (z c) n y b(z) = b n (z c) n y sea c n = n a k b n k = a 0 b n + a b n + + a n b 0, n = 0,,. k=0 Se verifica entonces que c n (z c) n = a(z) b(z), si z c < r. Sea a n una sucesión de números complejos tal que ĺım n sup n a n = r. Entonces, el radio de convergencia de la serie a n (z c) n es /r, si r 0, y +, si r = 0. Propiedad Sea a n una sucesión de números complejos tal que a n 0 al menos a n+ a partir de un cierto índice. Supongamos ĺım n = r. a n Entonces, el radio de convergencia de la serie a n (z c) n es /r, si r 0, y +, si r = 0. Ejemplo 5.4 Halle el radio de convergencia de la serie suma es Ejemplo 5.5 ( z) si z <. z n y pruebe que su Halle el radio de convergencia y la suma de la serie ( ) z n. + i

6 Ejercicios Ejemplo 5.6 Halle el radio de convergencia de la serie z n n!. Ejemplo 5.7 Utilizando el ejemplo 4, exprese la función como suma de ( z) 2 una serie de potencias de la forma a n z n, para z D(0, ). Ejercicio 5. Halle los coeficientes a n de una serie de potencias tal que 2z = a n z n y calcule el radio de convergencia. Ejercicio 5.2 Halle los coeficientes a n de una serie de potencias tal que = a n (z i) n y calcule el radio de convergencia. 2z + i Derivación e integración Consecuencia Teorema 5. (Derivación término a término) Sea una serie de potencias de radio de convergencia R y sea f la función suma f (z) = a n (z c) n Entonces f es anaĺıtica en D(c, R) y su derivada es otra serie de potencias cuyo radio también es R y que puede calcularse derivando término a término: f (z) = na n (z c) n = () Corolario Sea f la suma de una serie de potencias centrada en un punto c y sea R 0 su radio de convergencia. Entonces f tiene derivadas de todo orden en D(c, R). Además, los coeficientes verifican a n = f n) (c), n = 0,,. (2) n! Si f puede expresarse como suma de una serie de potencias en torno a un punto c, los coeficientes de la serie son únicos.

7 Propiedad Ejemplo 5.8 Halle la derivada de f (z) = Ejemplo 5.9 z n n!. Halle el radio de convergencia y la derivada de f (z) = z z3 3! + z5 5! + + ( )n+ z 2n+ (2n + )! + Para z D(c, R), sea f (z) la suma de una serie de potencias f (z) = a n (z c) n y sea F una primitiva de f. Entonces, en la bola D(c, R), F puede desarrollarse como F (z) = F (c) + + a n (z c) n n Ejemplo 5.0 Halle una serie de potencias cuya derivada sea f (z) = D(0, ). Ejercicio 5.3 Integrando la serie ( z) n pruebe que, si z <, ( + z) en log 0 ( + z) = z z ( )n zn n + Ejercicio 5.4 Calcule una serie en potencias de z cuya suma sea log 4π ( + z)

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