Función exponencial compleja

Transcripción

1 Función exponencial compleja Genaro Luna Carreto * Los números reales y los complejos satisfacen los axiomas de campo, pero los segundos, no satisfacen los axiomas de orden. Sin embargo, a raíz de que el módulo satisface las mismas propiedades que el valor absoluto, muchos de los conceptos de reales, se pueden traducir a complejos. Es el caso del límite, piedra angular en la construcción de la derivada, series, integral etc. En realidad, la mayor parte de teoremas de límites se cumplen para complejos, pues la herramienta principal usada en dichas demostraciones es la desigualdad triangular, que por suerte la satisface el módulo. Teorema 0.1. Suponga que z = x + iy, z 0 = x 0 + iy 0, w 0 = u 0 + iv 0 y f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Son equivalentes: (a) (b) lím z z 0 f(z) = w 0 lím u(x, y) = u 0, (x,y) (x 0,y 0 ) lím (x,y) (x 0,y 0 ) v(x, y) = v 0 Demostración. ( ) Sea ɛ > 0. Existe δ > 0 tal que 0 < x + iy (x 0 + iy 0 ) < δ u(x, y) + iv(x, y) (u 0 + iv 0 ) < ɛ Se tiene u(x, y) u 0 + i(v(x, y) v 0 ) = u(x, y) + iv(x, y) (u 0 + iv 0 ) < ɛ por transitividad * Profesor de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México. 1

2 u(x, y) u 0 + i(v(x, y) v 0 ) < ɛ Ahora, si usa la definición de módulo (u(x, y) u0 ) 2 + (v(x, y) v 0 ) 2 < ɛ Sin embargo, es bien sabido que u(x, y) u 0 (u(x, y) u 0 ) 2 + (v(x, y) v 0 ) 2 < ɛ En resumen u(x, y) u 0 < ɛ. En forma análoga, v(x, y) v 0 < ɛ. ( ) Por sencillez escribamos u = u(x, y) y v = v(x, y). Sea ɛ > 0, existen δ 1, δ 2 > 0 tal que Ahora bien 0 < (x + iy) (u 0 + iv 0 ) < δ 1 = u u 0 < ɛ 2 0 < (x + iy) (u 0 + iv 0 ) < δ 2 = v v 0 < ɛ 2 (1) (2) u + iv (u 0 + iv 0 ) < u u 0 + i(v v 0 ) (3) Así que basta tomar δ = mín{δ 1, δ 2 } u u 0 + v v 0 (4) < ɛ 2 + ɛ 2 (5) < ɛ (6) No hay ninguna dificultad en dar la definición de función derivable. Es necesario, aunque no se diga explícitamente, considerar funciones que se encuentren definidas por lo menos en una ɛ vecindad. Se dice que f es derivable en z 0 si el límite f(z + z 0 ) f(z 0 ) lím z 0 z existe. En tal caso tal límite se denota por f (z 0 ). Ejercicios Muestra que la derivada de f(z) = z n es f (z) = nz n Sea f(z) = z. Muestra que f (0) no existe. Genaro Luna Carreto 2 Primavera 2017 (7)

3 1. Sucesiones y series complejas Esencialmente las definiciones de sucesión y serie es la misma que en reales. Un sucesión en los números complejos es un función cuyo dominio son los naturales y codominio es un subconjunto de C. Las sucesiones se denotan usualmente por z n. En la gráfica anterior se ha representado una sucesión de complejos. Se nota que no lleva un orden específico, sin embargo, se observa claramente que sus elementos se van dirigiendo hacia el origen. Usando el módulo podemos formalizar esto de claramente ó dirigiendo hacia. Definición 1.1. Se usa el símbolo lím n z n = L, si se cumple que para cada ɛ > 0 existe N N tal que Si n N entonces z n L < ɛ (8) Sin duda, en cuanto a su forma, representa una definición muy conocida y comprendida. Ahora bien, el caso de serie es semejante. Se empieza con una sucesión de complejos z n, con el fin de definir otra sucesión, la llamada sucesión de sumas parciales: Genaro Luna Carreto 3 Primavera 2017

4 s 1 = z 1 (9) s 2 = z 1 + z 2 (10) s 3 = z 1 + z 2 + z 3 (11) s 4 = z 1 + z 2 + z 3 + z 4 (12)... (13) s n = z 1 + z 2 + z z n (14) (15) La última expresión representa la forma que tiene el elemento n-ésimo de la sucesión s n y que se puede escribirse con la notación sigma: s n = n i=1 z i El límite de la sucesión de sumas parciales es conocido como serie y se denota por z n. Si éste existe se dice que la serie es convergente, de lo contrario es divergente. Suponga que tiene una sucesión z n. Es claro que la parte real e imaginaria de z n, produce dos sucesiones reales, esto es z n = a n + ib n. Teorema 1.1. Sea L = a+bi. lím z n = L si y sólo si lím a n = a, lím b n = b. n n n En otras palabras lím z n = lím a n + i lím b n n n n Demostración. La prueba es básica. Si supone que lím z n n para cada ɛ > 0 existe natural N tal que = L, entonces en forma equivalente Si n N entonces z n L < ɛ (16) Genaro Luna Carreto 4 Primavera 2017

5 de donde Si n N entonces (a n + ib n ) (a + ib) < ɛ (17) (a n a) + i(b n b) < ɛ (18) Usando la definición de módulo y una simple desigualdad obtendrá que a n a < ɛ y b n b < ɛ. El resto se deja como ejercicio. Corolario 1.1. b n son convergentes. Además z n es convergente si y sólo si z n = a n, a n + i b n (19) Demostración. Las series son casos particulares de límites se sucesiones. Así que puede aplicar el teorema anterior. Un caso especial de series representan las series de potencia, aquellas funciones de la forma f(z) = a n (z a) n (20) donde a, a n, z son complejos. A decir verdad, precisamente estamos interesados en los complejos donde la serie correspondiente es convergente. Son de interés las series de potencias donde a = 0, esto es, f(z) = a n z n. Son muy extremistas, pues convergen absolutamente en todo el plano complejo ó sólo en un disco abierto ó sólo en z = 0. El radio, en el caso de que sea un disco abierto es llamado radio de convergencia. Es más, si existe tal radio de convergencia, resulta que también na n z n 1 es convergente y f (z) = na n z n 1 (21) Genaro Luna Carreto 5 Primavera 2017

6 Con estas ideas tiene sustento la definición de exponencial compleja y las funciones exp(z) = e z = 1 + z 1! + z2 2! + z3 4! + z4 4! + = z n n! (22) cos(z) = 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +... (23) sen(z) = z z3 3! + z5 5! z7 7! +... (24) Ejercicios Muestra que e iz = cos z + i sen z. Con esto, es evidente que si z = x + iy, e z = e x (cos y + i sen y) Sugerencia: esta demostración es sencilla. Incluso, alguna vez la halle en un baño público. 2. La función seno complejo es impar y el coseno es par. 3. Demuestra sen z = eiz e iz, cos z = eiz + e iz Muestra que la función e z nunca es cero. 5. e z e w = e z+w 6. e z = e Re(z) Genaro Luna Carreto 6 Primavera 2017