A.3. Convergencia uniforme

Transcripción

1 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 280 A.3. Convergencia unifore Sea X un conjunto no vacío, E, ρ) un espacio étrico y E X el conjunto de todas las funciones f : X E. Si K X y f, g E X se define ρ K f, g) = sup{ρfx), gx)) : x K} + ) Definición A.3.1 Una sucesión f n en E X converge puntualente hacia f E X si lí n ρf n x), fx)) = 0 para cada x X. Si adeás se verifica que lí n ρ K f n, f) = 0 se dice que f n converge hacia f uniforeente sobre K Proposición A.3.2 Si E es un espacio étrico copleto, una condición necesaria y suficiente para que la sucesión f n ) sea uniforeente convergente sobre K es que se cupla la condición de Cauchy para la convergencia unifore: Para cada ǫ > 0 existe n ǫ N tal que si q > p n ǫ entonces ρ K f p f q ) < ǫ. De: La necesidad se sigue de la desigualdad. ρ K f p, f q ) ρ K f p, f) + ρ K f, f q ). Para probar que la condición es suficiente obsérvese que para cada x K es ρf p x), f q x)) ρ K f p, f q ) luego f n x)) es una sucesión de Cauchy que converge hacia un punto fx) E. Dado ǫ > 0 toando q > p n ǫ se cuple que ρf p x), f q x)) < ǫ para todo x K. Fijando x K y pasando al líite en la últia desigualdad cuando q + se obtiene que para todo x K y todo p > nǫ) se verifica ρf p x), fx)) ǫ es decir p > nǫ) iplica ρ K f p, f) ǫ. Teorea A.3.3 Si X es un espacio topológico y f n : X E una sucesión de funciones continuas que converge hacia f : X E uniforeente sobre X entonces f es continua. De: La prueba de que f es continua en cualquier punto a X se basa en la desigualdad triangular: ρfx), fa)) ρfx), f n x)) + ρf n x), f n a)) + ρf n a), fa)) A.1) Dado ǫ > 0 en virtud de la convergencia unifore existe n N tal que para todo x X es ρf n x), fx)) ǫ/3. Por la continuidad de f n existe un entorno V a de a tal que para todo x V a se cuple ρf n x), f n a)) ǫ/3. Entonces, con la desigualdad A.1 se concluye que para todo x V a se cuple ρfx), fa)) ǫ/3 + ǫ/3 + ǫ/3 = ǫ Realente, para obtener la continuidad de la función líite de una sucesión de funciones continuas basta que haya convergencia unifore local, e.d. cada x X posee un entorno V a sobre el que la sucesión converge uniforeente. Cuando X es un espacio étrico, para obtener la continuidad de la función líite f basta que la sucesión sea uniforeente convergente sobre cada copacto K X. Para funciones con valores reales o coplejos E = R ó C) se pueden considerar series de funciones n=1 f n, donde f n : X E. La serie se dice que converge puntualente resp. uniforeente) sobre K si la sucesión de suas parciales S x) = n=1 f nx) tiene la correspondiente propiedad. En ese caso queda definida sobre K la función sua fx) = f n x) n=1

2 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 281 Proposición A.3.4 [Criterio de Weierstrass] Una condición suficiente para que la serie n=1 f nx) sea uniforeente convergente sobre K es que exista N tal que f n K < + n De: Para cada x K la serie nuérica n=1 f nx) es absolutaente convergente porque f n x) f n K. Si f : K C es su sua y S n = n k=1 f k, para todo n y todo x K se cuple fx) S n x) = k>n f k x) k>n f k x) k>n f k K luego f S k K ǫ n donde ǫ n := k>n f k K es una sucesión que tiende hacia 0. Esto significa que S n converge hacia f uniforeente sobre K. Al aplicar el criterio de Weierstrass, generalente no es preciso calcular explícitaente los valores f n K. Basta encontrar una serie nuérica convergente n=1 M n tal que, desde un valor de n en adelante, se cupla f n x) M n para todo x K. Los criterios de Abel y Dirichlet proporcionan condiciones suficientes bastante útiles para establecer convergencia unifore de series de funciones que no son absolutaente convergentes: Teorea A.3.5 Abel y Dirichlet) Sea f n z) = a n z)b n z) una sucesión de funciones coplejas definidas en un conjunto K. Cada una de las siguientes condiciones es suficiente para que la serie de funciones n=1 f nz) sea uniforeente convergente sobre K: a) La serie n=1 a n converge uniforeente sobre K y b n es una sucesión de funciones reales uniforeente acotada sobre K tal que para cada z K la sucesión b n z) es onótona. b) La serie n=1 a n converge uniforeente sobre K y existe C > 0 tal que para todo z K se cuple b 1 z) + b n z) b n+1 z) C n=1 c) La sucesión de suas n=1 a n está uniforeente acotada sobre K, la sucesión b n converge hacia 0 uniforeente sobre K y para cada z K la sucesión b n z) es onótona. d) La sucesión de suas n=1 a n está uniforeente acotada sobre K, la sucesión b n converge hacia 0 uniforeente sobre K y la serie n=1 b nz) b n+1 z) converge uniforeente sobre K. De: La prueba se basa en la fórula de suación parcial de Abel: F n z) = b z)a n z) + 1 j=n A j nz)b j z) b j+1 z)) [*]

3 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 282 donde Fn z) = f j z), y A n z) = a j z) j=n Para establecerla se supone, por coodidad, que n = 1: b a 1 +a 2 + +a )+a 1 b 1 b 2 )+a 1 +a 2 )b 2 b 3 )+ +a 1 +a 2 + +a 1 )b 1 b ) = = a 1 b 1 b )+a 2 b 2 b )+a 3 b 3 b )+ +a 1 b 1 b )+b a 1 +a 2 + +a ) j=n = a 1 b 1 + a 2 b a b = f 1 + f f = F 1 Utilizando [*] se va a deostrar si se cuple b) o c) entonces se cuple la condición de Cauchy para la convergencia unifore sobre K: Para ello se introducen las sucesiones ǫn) = sup A n K ; n δn) = sup Fn K n b) La condición de Cauchy para la convergencia unifore sobre K de la serie n a nz) se traduce en que lí n ǫn) = 0. Por otra parte, para todo z K y todo N se verifica b z) b 1 z) + b z) b 1 z) b 1 z) + 1 i=1 b i+1 z) b i z) C Para cada j n y todo z K se cuple A j n z) ǫn) y aplicando [*] se obtiene 1 Fn z) ǫn)c + ǫn) b j z) b j+1 z) 2Cǫn) j=1 luego δn) 2Cǫn) y por lo tanto lí n δ n) = 0, lo que significa que la serie n f nz) cuple la condición de Cauchy para la convergencia unifore sobre K. d) Según la hipótesis existe R > 0 tal que para todo z K y todo N se cuple A 1 z) R, luego A n z) 2R para todo z K y todo n. Utilizando [*] se obtiene que para z K y n se verifica: ) Fn b z) 2R K + b j z) b j+1 z) j=n luego δn) 2Cαn) + βn)) donde las sucesiones αn) = sup z K j=n b j z) b j+1 z), βn) = sup b K n convergen hacia 0 en virtud de las hipótesis. Se sigue que lí n δn) = 0 y se concluye coo antes que la serie n f nz) cuple la condición de Cauchy para la convergencia unifore sobre K.

4 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 283 Para terinar basta ver que a) b) y que c) d): Si se cuple a) y b n z) M para todo n N y todo z K coo la sucesión b n z) es decreciente se tiene: b n z) b n+1 z) = b 1 z) b 2 z) + b 2 z) b 3 z) + + b z) b +1 z) = n=1 = b 1 z) b +1 z) 2M luego b 1 z) + n=1 b nz) b n+1 z) M + 2M = 3M para todo z K. Por otra parte, si se cuple c) y la sucesión b n z) es decreciente para cada z K, entonces la sucesión n=1 b nz) b n+1 z) = b 1 z) b +1 z) converge uniforeente sobre K hacia b 1 z) y por lo tanto se verifica d). nota: El apartado a) del teorea A.3.5 proporciona el clásico criterio de Abel, [2, Ejer.9.13]; y el apartado b) es una ligera ejora de este. El apartado c) es el clásico criterio de Dirichlet, [2, teo. 9.15], y el apartado d) es una versión algo ás general del iso. A.3.1. Ejercicios Los siguientes ejercicios sobre convergencia unifore de sucesiones sirven, entre otras cosas, para insistir en el anejo y las propiedades de las funciones eleentales de variable copleja. Se suponen conocidas la función exponencial e z, la validez de la ecuación funcional e z+w = e z e w, la función Log1 + z), su desarrollo en serie de potencias alrededor de 0 así coo las funciones sen z = eiz e iz 2i, cosz = eiz + e iz 2, tg z = sen z cos z, cot z = cosz sen z Ejercicio A.3.6 Se supone que la sucesión f n : K C converge uniforeente sobre K hacia una función f = u + iv cuya parte real u está acotada superiorente sobre K. Deuestre que la sucesión e fnz) converge uniforeente sobre K. Se supone que uz) M para todo z K. Entonces cuando z K se cuple e fnz) e fz) = e fz) e fnz) fz) 1 e uz) e fnz) fz) 1 e M e fnz) fz) 1 Coo e z es continua en z = 0, dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que w < δ e w 1 < ǫe M. Por la convergencia unifore de f n existe nδ) N tal que si n nδ) entonces para todo z K se cuple f n z) fz) < δ. Cobinando las dos afiraciones anteriores se concluye que para todo n nδ) y todo z K se verifica e fnz) e fz) e M e fnz) fz) 1 e M ǫe M = ǫ

5 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 284 Ejercicio A.3.7 Establezca las desigualdades e z 1 + z ) e z 1 + z ) z 2 e z Deduzca de ellas que, para cada R > 0, la sucesión 1 + z/n) n converge hacia e z uniforeente sobre {z : z R}. e z 1 + z/) = D + R donde D z) = z n 1 n! + z ), R z) = + n=+1 Usando la fórula del binoio de Newton D z) = z2 1 1 ) ) + z3 1) 2) z 1! ) 2! 3! 2! Aplicando la desigualdad triangular y teniendo en cuenta que en la expresión anterior los paréntesis son positivos se obtiene que D z) D z ). Por otra parte, es inediato que R z) R z ), luego e z 1 + ) z D z ) + R z ) = e z z n n!. 1 + z ) En virtud de la desigualdad 1 + x e x, válida para todo x R, se cuple 1 + ) x e x, 1 ) x e x, y cuando 0 x se obtienen las desigualdades 0 e x 1 + ) x e x [1 e x 1 + x ) ] e [1 x 1 x ) 1 + x ) ] [ ) ] = e x 1 1 x2 = [ ) ) 2 2 ) ] 1 = e x x x2 + 1 x x e x x2 2 = x2 e x Con x = z se obtiene la segunda desigualdad del enunciado. En virtud de las desigualdades establecidas, si z R, se verifica e z 1 + z ) R 2 e R

6 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 285 luego lí 1 + z ) = e z uniforeente en {z : z R}. nota: En el ejercicio A.3.8 se puede ver otra que utiliza el desarrollo en serie de potencias de Log1 + z) Ejercicio A.3.8 Para cada w C \ {0} sea f w z) la deterinación principal de la potencia 1 + z/w) w, definida para z < w. Deuestre que lí w f w z) = e z, y que el líite es unifore sobre copactos. La deterinación principal de 1 + z/w) w es e w Log1+z/w), luego f w z) e z = e z e hwz) 1, donde h w z) = w Log1 + z/w) z. Si z < w, usando el desarrollo en serie de potencias de Log1 + z) en el disco D0, 1) se obtiene h w z) = 1 z 2 2 w + 1 z 3 3 w 1 z w + 3 Si w > 2R, para todo z D0, R) se cuple h w z) R2 1 w z w + 1 ) z 2 4 w + 2 C w con C = R 2 Coo e z es continua en z = 0, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que a < δ e a 1 < ǫ/e R. n=2 1 < + n2n 2 Cuando w > áx{2r, C/δ} se cuple h w z) < δ para todo z D0, R), luego f w z) e z e R e hwz) 1 e R e R ǫ = ǫ es decir, lí w f w z) = e z uniforeente sobre D0, R). Un resultado análogo se puede ver en el ejercicio A.3.7.) Ejercicio A.3.9 Deuestre que lí n tg nz = i, y que para cada ǫ > 0 el líite es unifore sobre el seiplano H ǫ := {z : I z < ǫ}. luego tg nz = sen nz cosnz = 1 e inz e inz i e inz + e = 1 e i2nz 1 inz i e i2nz + 1 tg nz + i = tg nz 1 i = e i2nz 1 e i2nz = 2 e i2nz + 1

7 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 286 de donde se sigue que para todo z H ǫ se verifica tg nz + i 2 e i2nz 1 = 2 e 2ny 1 2 e 2nǫ 1 Coo la sucesión 2/e 2nǫ 1) converge hacia 0, la últia desigualdad nos asegura que lí n tg nz = i, uniforeente sobre H ǫ. Ejercicio A.3.10 Deuestre que la sucesión f n x) = cotgx + in) converge hacia i uniforeente en R. Deduzca que para todo N la sucesión α n x) = [cotx + in)] converge uniforeente sobre copactos hacia i). Para todo z = x + iy se cuple cotg z + i = + e iz ieiz e iz e + i iz = 2e i2z e i2z 1 2e 2y 1 e 2y donde la función hy) = 2e 2y /1 e 2y ) converge hacia 0 cuando y +. Coo para todo x R se cuple la desigualdad cotx + in) + i hn) se concluye que la sucesión f n x) = cotx + in) converge hacia i uniforeente respecto de x R. La segunda afiración se obtiene, por inducción sobre, utilizando que el producto de dos sucesiones de funciones continuas que convergen uniforeente sobre copactos tabién converge uniforeente sobre copactos. A continuación se expone un repertorio de ejercicios sobre convergencia unifore relacionados con las series de potencias. Los recursos para resolverlos son, esencialente, el criterio de Weierstrass A.3.4 y los criterios de Abel-Dirichlet A.3.5 Ejercicio A.3.11 Deuestre que la serie de potencias a nz n converge uniforeente en cada conjunto donde la serie derivada n=1 na nz n 1 es uniforeente convergente. Basta aplicar el apartado a) de A.3.5. Ejercicio A.3.12 Sea a n R una sucesión decreciente que converge hacia cero. Deuestre que la serie de potencias a nz n converge uniforeente sobre A δ = {z : z 1, z 1 δ}, 0 < δ < 1 y que la convergencia no es unifore sobre B δ = {z : z < 1, 0 < z 1 δ} cuando a n = +.

8 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 287 Para todo z A δ se cuple 1 + z + z z n = 1 zn+1 1 z 2 δ y aplicando el criterio de Dirichlet apartado c) de A.3.5) se obtiene la convergencia unifore sobre A δ. Por otra parte, la condición de Cauchy para la convergencia unifore sobre B δ iplica la condición de Cauchy para la convergencia unifore sobre B δ. Por lo tanto, si la serie no converge en z = 1 B δ, no puede haber convergencia unifore sobre B δ. Ejercicio A.3.13 Si la serie de potencias a nz n converge uniforeente sobre E {z : z = 1}, deuestre que tabién converge uniforeente sobre el conjunto H = {tz : 0 t 1, z E}. Deduzca el teorea de Abel: Si la serie a n converge entonces a n = lí r 1 Coo aplicación calcule n=1 1)n+1 /n. a n r n. La hipótesis iplica que el radio de convergencia ρ, es ayor o igual que 1. Si ρ > 1 entonces H es un subconjunto copacto de D0, ρ), y por lo tanto hay convergencia uniforeente sobre H. Si ρ = 1 basta probar la convergencia uniforeente sobre M = H \ {0}, pues entonces tabién habrá convergencia unifore sobre H = M. Por hipótesis, la serie n=1 a nz/ z ) n converge uniforeente sobre M y aplicando el criterio de Abel apartado a) de A.3.5) se obtiene que a n z n = a n z/ z ) n z n converge uniforeente sobre M. Si la serie a n converge, con E = {1} se obtiene que la serie a nr n converge uniforeente sobre [0, 1], luego fr) = a nr n define en [0, 1] una función continua, y por ello a n = f1) = lí r fr) 1 En particular, si a 0 = 0 y a n = 1) n+1 /n, para n 1, resulta una serie alternada convergente en virtud del criterio de Leibniz) En este caso fr) = r 1 2 r r3 = ln1 + r) luego 1) n+1 n = lí fr) = ln 2. r 1

9 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 288 Ejercicio A.3.14 Sea fz) = a nz n, definida en D0, ρ), donde ρ es el radio de convergencia. Si la serie a n converge, deuestre que lí fz) = E r z 1 donde E r = {z : z < 1, 1 z r1 z )}, y r > 1. Se dice que M D0, 1) es un conjunto de Stolz si M E r para algún r > 1. Si M está contenido en un conjunto coo el indicado en la figura, copruebe que M es un conjunto de Stolz. a n 0 M 1 La convergencia de la serie a n iplica que ρ 1. Cuando ρ > 1 es inediato que hay convergencia unifore sobre el copacto E r D0, ρ). Si ρ = 1 la serie tabién converge uniforeente sobre E r. En efecto, para cada z E r se cuple 1 + z n z n+1 = 1 + z 1 z n = 1 + z 1 1 z 1 + r y aplicando el criterio de Dirichlet apartado c) de A.3.5) se obtiene la convergencia unifore sobre E r. Usando la condición de Cauchy es claro que la convergencia unifore sobre E r iplica la convergencia unifore sobre E r. En virtud de la convergencia unifore, la función sua f es continua sobre E r. Entonces, teniendo en cuenta que 1 E r pues r > 1 [0, 1) E r ) se obtiene lí fz) = f1) = E r z 1 Para deostrar que el conjunto M de la figura es un conjunto de Stolz basta ver que la función hz) = z 1 /1 z ) está acotada sobre M. Coo h es continua sobre el copacto M \ D1, δ), 0 < δ < 1, basta ver que h está acotada sobre M D1, δ) para algún δ > 0. Si = v/1 u) y z = x+iy M se verifica y/1 x), luego z = x+i1 x)p con p. Por lo tanto 1 z 1 z = 1 x 1 + p 2 1 x x) 2 p 1 x x x) 2 = ϕx) 2 a n

10 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 289 Coo lí x 1 ϕx) = se obtiene δ 0, 1) tal que h está acotada en [1 δ, 1), lo que lleva consigo que h está acotada sobre M D1, δ). z = x + iy w = u + iv 0 1 M δ Ejercicio A.3.15 Deuestre que la serie de potencias ) n z n converge absoluta y uniforeente sobre {z : z 1}. Deduzca de ello que existe una sucesión de polinoios reales que converge hacia x uniforeente sobre [ 1, 1]. La sucesión a n = ) 1/2 n verifica lín a n /a n+1 = 1, luego el radio de convergencia de la serie de potencias es 1. Según el criterio de Weierstrass para obtener la convergencia unifore sobre {z : z 1} basta ver que a n < +. Para todo n 1 se cuple a n = 1) n+1 a n, lo que perite calcular, para 0 < r < 1, la sua de la serie a n r n = 1 1/2 a n r) n = 1 1 r 1) = 2 1 r 2 n=1 La desigualdad a n r n 2 es válida para todo N y pasando al líite cuando r 1 se obtiene a n 2, luego a n 2. En virtud de lo que se acaba de establecer y del criterio de Weierstrass la serie a nt n converge uniforeente sobre [ 1, 1] donde define una función continua f que verifica ft) = 1 + t, si t < 1. Por continuidad tabién se cuple que ft) = 1 + t para todo t [ 1, 1]. Entonces, si x [ 1, 1] se tiene t = x 2 1 [ 1, 1], luego x = 1 + x 2 1) = a n x 2 1) n es decir, x = lí n S x 2 1) donde S t) = a nt n. Coo S t) converge hacia ft) = 1 + t uniforeente en [ 1, 1] se sigue que la sucesión de polinoios S x 2 1) converge hacia x uniforeente sobre [ 1, 1]. Ejercicio A.3.16 Sea Ω = {z : z1 + z) < 2} y f n z) = z1 + z)/2) 4n. i) Deuestre que la serie fz) = f nz) converge uniforeente sobre cada subconjunto copacto de Ω y que su sua f adite un desarrollo en serie de potencias alrededor de 0 con radio de convergencia 1.

11 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 290 ii) Sea A z) = a nz n la sucesión de las suas parciales de la serie de potencias considerada en i). Copruebe que la subsucesión A n) z), con n) = 2 2n+1, converge hacia fz) uniforeente sobre cada copacto K Ω. Dado un copacto K Ω, coo está recubierto por la sucesión creciente de abiertos Ω k = {z : zz + 1) < 2 1/k}, existe N tal que K Ω, luego para todo z K y todo n N se cuple f n z) ) 4 n = ρ 4n 2 con ρ < 1. Aplicando el criterio de Weierstrass se concluye que la serie del enunciado converge uniforeente sobre K. Desarrollando f n z) ediante la fórula del binoio, la serie se escribe así: 1 2 z + z2 ) z4 + 4z 5 + 6z 6 + 4z 7 + z 8 ) z z z 31 + z 32 ) + donde las potencias de z en los sucesivos paréntesis no se solapan. Quitando los paréntesis resulta una serie de potencias a nz n que cuple n f k z) = A n) z) con n) = 2 2n+1. k=0 Si 0 < r < 1 entonces r Ω, luego n) k=0 a k r k = n) k=0 a k r k = A n) r) = n f k r) fr) < + k=0 Se sigue que k=0 a k r k < +, de odo que el radio de convergencia es 1. Por otra parte, coo A n) 1) = n k=0 f k1) = n+1, la serie de potencias no converge en z = 1, luego su radio de convergencia es exactaente 1. Obsérvese que en los puntos donde la serie de potencias converge se cuple a k z k = lí A n) z) = lí n n k=0 n f k z) = fz) k=0 nota: La frontera de Ω es un óvalo de Casini el lugar geoétrico de los puntos del plano cuyo producto de distancias a los puntos 1 y 1 es constante = 2) y es claro que Ω D0, 1) \ {1}. Aunque la serie de potencias no converge en Ω \ D0, 1), sin ebargo existe una subsucesión de suas parciales que converge uniforeente sobre copactos en Ω. Ejercicio A.3.17 Obtenga la región de convergencia de la serie n=1 n 1 1 z 2 ) n y estudie la convergencia unifore sobre copactos. Obtenga la sua de la serie fz) y su desarrollo en serie de potencias alrededor de z = 1.

12 Lecciones de Análisis Coplejo. G. Vera 291 Según el ejercicio A.3.12 para cada δ > 0 la serie de potencias n=1 n 1 w n converge uniforeente sobre A δ = {w : w 1, w 1 δ}. Coo δ > 0 es arbitrario, la región de convergencia de esta serie de potencias es A = {w : w 1, w 1} y la región de convergencia de la serie del enunciado es B = {z : z 2 1 1, z 0} 2 1 A 1 2 La convergencia es unifore sobre cada copacto K B. En efecto, coo H = {1 z 2 : z K} es un subconjunto copacto de A, existe δ > 0 tal que H A δ, luego la serie n=1 n 1 w n converge uniforeente sobre H y se sigue que la serie del enunciado converge uniforeente sobre K. Por otra parte, utilizando que n=1 n 1 w n = Log1 w) se obtiene la sua de la serie fz) = Log z 2 El desarrollo de fz) en serie de potencias alrededor de z = 1 se obtiene fácilente a partir del desarrollo de su derivada f z) = 2 z = z) = 2 1 z) n si z 1 < 1 Coo f1) = 0, se concluye que fz) = 2 1) n z 1) n. n nota: El radio de convergencia de esta serie de potencias es 1, luego la serie converge en puntos donde no está definida f.