Series. Diremos que una serie de números complejos

Transcripción

1 Series Una sucesión de números complejos a, a 2, a 3,..., a n,... en C converge al número complejo a (a n a) si para cada ɛ > 0, existe un N tal que a n a < ɛ siempre que n N. Diremos que una serie de números complejos i= a i converge a un número s, si la sucesión de sumas parciales s n = n i= a i converge a s. La sucesión a i converge a algun punto en C si y solo si es una sucesión de Cauchy, es decir, si para cada ɛ > 0, existe un N tal que a i a j < ɛ siempre que i, j N. La serie i= a i converge si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy, es decir que para cada ɛ > 0, existe un N tal que n m+ a i < ɛ siempre que m, n N. Este es el criterio de Cauchy. Tomando n = m +, vemos que si i= a i converge entonces a i 0 (el recíproco no es cierto: 0 pero n n= no converge). n La sucesión i= a i converge absolutamente si i= a i converge. Por el criterio de Cauchy, si i= a i converge absolutamente, entonces i= a i converge, ya que n m a i n m a i Recordemos algunos criterios de convergencia para series de números reales: Series geometricas: rn converge a r si r < y diverge a si r. Demostracion. + r + r r n = rn+ r si r. Si r < entonces lim n r n = 0 asi que r lim n+ n r = r. Si r entonces rn no converge a 0, asi que la serie diverge. Criterio de comparación: Si n= b n converge y 0 a n b n entonces n= a n converge. Si n= a n diverge y 0 a n b n entonces n= b n diverge. Demostracion. 0 n i=m b i n i=m b i, asi que si el criterio de Cauchy se cumple para b n entonces se cumple para a n, y si falla para a n entonces falla para b n.

2 Criterio de la razón: Si limsup n a n+ a n < entonces n= a n converge. Si liminf n a n+ a n > entonces n= a n diverge. Demostracion. Si limsup n a n+ a n = s < y tomamos s < r <, entonces existe una N tal que a n+ a n < r para toda n N. Asi que para n > N se tiene a n r a n r 2 a n 2 r n N a N asi que la serie n=n a n converge absolutamente por comparación con la serie rn a N, r <. Si liminf n a n+ a n = s > y tomamos < r < s, entonces existe una N tal que a n+ a n > r para toda n N. Asi que a N > 0 y para n > N se tiene a n r a n r 2 a n 2 r n N a N, asi que a n 0 y por lo tanto la serie diverge. Criterio de la raiz: Si limsup n n a n < entonces n= a n converge. Si liminf n n a n > entonces n= a n diverge. Demostracion. Si limsup n n a n = s < y tomamos s < r <, entonces existe una N tal que n an < r n para toda n N. Asi que la serie n=n a n converge absolutamente por comparación con la serie n=n rn, r <. Si limsup n n a n = s > y tomamos < r < s, entonces existe una N tal que n a n > r n para toda n N. Asi que a n 0 y por lo tanto la serie diverge. Pregunta: Cuales de estos criterios sirven o pueden adaptarse a series de números complejos? Problemas. Da un ejemplo de dos sucesiones a n y b n de números complejos con a n < b n y tales que n= a n sea divergente pero n= b n sea convergente. 2. Demuestra que n= nan converge para a C si a < y diverge si a. 3. Para cuales complejos a de norma es cierto que a n n= n converge? 2

3 Sucesiones y series de funciones Diremos que una sucesión de funciones f n : A C converge puntualmente a una función f : A C, si para cada z A, f n (z) f(z), es decir, si para cada z A y cada ɛ > 0, existe N tal que f n (z) f(z) < ɛ siempre que n N. Si B A, diremos que la sucesión f n converge uniformemente a f en B si para cada ɛ > 0, existe N tal que f n (z) f(z) < ɛ para toda z B, siempre que n N (N no depende de z). Diremos que la serie i= f i(z) converge puntualmente (o uniformemente) a f(z), si la sucesión de sumas parciales n i= f i(z) converge puntualmente (o uniformemente) a f(z) Ejemplos: La sucesión f n (z) = n+ z converge puntualmente a f(z) = z pero la convergencia no es n uniforme en C (ya que f n (z) f(z) cuando z ). Las sucesión f n (z) = z n converge a puntualmente a la función f(z) = 0 para z <. La convergencia es uniforme en cada disco z r con r <. Criterio de Cauchy. La sucesión f n (z) converge uniformemente en B si y solo si para todo ɛ > 0 existe N tal que f n (z) f m (z) < ɛ para toda z B, siempre que m, n > N. La serie i= f i(z) converge uniformemente en B si y solo si para todo ɛ > 0 existe N tal que n i=m f i(z) < ɛ para toda z B, siempre que m, n > N. Teorema. Si las funciones f n : A C son continuas entonces: a) Si f n f uniformemente en B A, entonces f es continua en B. b) Si f n F uniformemente en B A, entonces F es continua en B. Demostracion. a) Si f n f uniformemente en B entonces para cada ɛ > 0 existe N tal que f n (z) f(z) < ɛ/3 para todo z B si n N. Como f N es continua, para cada z 0 A existe δ tal que f N (z) f N (z 0 ) < ɛ/3 siempre que z z 0 < δ. Entonces si z, z 0 B y z z 0 < δ, la desigualdad del triángulo implica f(z) f(z 0 ) f(z) f N (z) + f N (z) f N (z 0 ) + f N (z 0 ) f(z 0 ) < ɛ/3 + ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ por lo tanto f es continua en cada z 0 B. b) Como las sumas finitas de funciones continuas son continuas, podemos aplicar a) a la sucesion de sumas parciales. 3

4 Ojo: Una sucesión de funciones continuas puede converger puntualmente a una función que no es continua. Una sucesión de funciones diferenciables reales puede converger uniformemente a una función que no es diferenciable: Criterio M de Weierstrass. Dada una sucesión de funciones f n : A C, supongamos que hay una sucesión de constantes M n 0 tales que a) f n (z) M n para todo z A y b) n= M n converge. Entonces n= f n converge absolutamente y uniformemente en A. Demostracion. Como n= M n converge, entonces para cada ɛ > 0 existe N tal que n i=m M n < ɛ si m, n N. Pero n i=m f n(z) n i=m M n para cada z A, asi que por el criterio de Cauchy para series n= f n converge uniformemente en A. Ejemplo. La serie n= zn converge uniformemente en cada disco z r si r < ya que z n r n y n= rn converge si r <. Por lo tanto la función n= zn es continua en cada disco z < r con r < y por lo tanto es continua en todo z <. La serie z + z 2 + z 3 + z 4 + z para 4 valores distintos de z 4

5 Problemas 4. La serie z n n= converge a una función continua en todo C (muestra que la serie converge uniformemente en cada disco z r para todo r > 0). 5. La serie n= nzn converge uniformemente en cada disco z r si r < y por lo tanto F (z) = z + 2z 2 + 3z 3 + 4z es una función continua en el disco abierto z <. Es natural preguntarse si la derivada de un límite de funciones derivables es el límite de las derivadas, o si la integral del limite es el límite de las integrales. Aún si el límite es uniforme la respuesta a la primera pregunta es en general negativa (un límite uniforme de funciones derivables no tiene que ser derivable) pero la respuesta de la segunda es positiva: Lema. Si es una curva suave por pedazos en la región A y f n : A C es una sucesión de funciones continuas que convergen uniformemente a f en, entonces f n (z) dz f(z) dz Si n= f n(z) converge uniformemente en, entonces ( f n (z) ) dz = n= n= f n (z) dz Demostracion. Como f n converge uniformemente a f en entonces para cada ɛ > 0 existe N tal que f n (z) f(z) < ɛ para z. Entonces f n (z) dz f(z) dz = (f n (z) f(z)) dz f n (z) f(z) dz ɛ l() donde l() es la longitud de, que es fija, asi que cuando n, f n f. Para demostrar la fórmula para las series, observar que las integrales sacan sumas finitas ( N f n (z) ) dz = N n= n= f n (z) dz ahora el resultado se sigue de aplicar la primera parte a la sucesión de sumas parciales. 5

6 Sucesiones y series de funciones analíticas Teorema de convergencia analítica. Sea f n una sucesión de funciones analíticas en un abierto A. Si f n f y la convergencia es uniforme en cada disco cerrado en A, entonces f es analítica en A. Además f n f y la convergencia es uniforme en cada disco cerrado en A. Si F (z) = n= f n(z) converge en A y la convergencia es uniforme en cada disco cerrado en A, entonces F es analítica en A, F (z) = n= f n(z) y la convergencia es uniforme en cada disco cerrado en A. Demostracion. Para mostrar que la función f es analítica en A, basta ver que f es analítica en el interior de cada disco cerrado D contenido en A. Como f n es analítica en D, c f n(z) dz = 0 para cada curva cerrada c en D. Como las funciones f n convergen uniformemente a f en D, entonces c f n c f asi que c f = 0 y por el teorema de Morera f es analítica en D. Por la fórmula integral de Cauchy, si D es un disco contenido en A y centrado en z entonces f n(z) = f n (ζ) 2πi (ζ z) 2 dζ y f (z) = f(ζ) 2πi (ζ z) 2 dζ D Como f n (ζ) converge uniformemente a f(ζ) en D y fn(ζ) f(ζ) (ζ z) 2 (ζ z) = 2 fn (ζ) f(ζ) donde r es r 2 el radio de D, entonces fn(ζ) converge uniformemente a f(ζ) en D. Asi que por el lema anterior (ζ z) 2 (ζ z) 2 las integrales convergen y por lo tanto las derivadas f n convergen a f. El resultado para las series se sigue aplicando lo anterior a la sucesion de sumas parciales F N (z) = N n= f n(z), ya que sabemos que las derivadas sacan sumas finitas: F N (z) = N n= f n(z). D Si aplicamos el teorema de convergencia analítica repetidamente, vemos que si las funciones f n son analíticas en A y convergen uniformemente en discos cerrados en A, entonces las derivadas k-esimas f n (k) convergen a f (k) y la convergencia es uniforme en discos cerrados en A. Ejemplos. La función F (z) = zn es analítica para z <. Su derivada es F (z) = nzn. Observar que zn = z E(z) = zn es analítica en C. E (z) = n zn = n= zn n! = zn = E(z). para z < asi que nzn = ( z) 2 para z <. 6

7 Problemas 6. Demuestra que para cualquier sucesión acotada a n en C, la serie a 0 +a z+a 2 z 2 +a 3 z es una función analítica para z <. 7. Muestra que f(z) = n= /zn es analítica para z > y encuentra su derivada. Series de potencias Una serie de potencias alrededor de un punto z 0 es una serie de la forma a n(z z 0 ) n. La serie define una función en todos los puntos z C donde converge, y la convergencia depende basicamente del módulo de los coeficientes a n y de la distancia de z a z 0. Ejemplo. z = + z + z2 + z z n + = z = ( z) = +( z)+( z)2 +( z) 3 + +( z) n + = z n para z < y por lo tanto ( ) n (z ) n para z < Lema. Si la sucesión a n r n está acotada entonces la serie a nr n converge para todo r < r. Demostracion. Si a n r n M entonces a n r n = a n r n ( r r )n M( r r )n. Como r r < la serie n= ( r r )n converge y por el criterio de comparación n= a n r n tambien converge. Teorema. Para cada serie de potencias a n(z z 0 ) n existe un único R, 0 R, llamado el radio de convergencia, tal que si z z 0 < R la serie converge y si z z 0 > R la serie diverge. La convergencia es uniforme en cada disco z z 0 r con r < R. Demostracion. Sea R el supremo de las r [0, ] tales que a n r n converge. Si r < R entonces a n r n converge y por el criterio M de Weierstrass a n(z z 0 ) n converge absolutamente y uniformemente para z z 0 r. Si z z 0 = r y a n(z z 0 ) n converge, entonces la sucesión a n (z z 0 ) n debe converger a 0, asi que la sucesión a n r n debe estár acotada y por el lema anterior a n r n converge para todo r < r. Asi que R (que es el supremo de las r para los que esa serie converge) debe ser al menos r. 7

8 Ejemplo. Para hallar el radio de convergencia de la serie +2iz 4z 2 8iz 3 +6z 4 +32iz 5... = (2i)n z n hay que hallar los valores de r para los que n= 2i n r n converge. Por el criterio de la razón, esta 2 serie converge si lim n+ r n+ 2 n 2 n r = 2r < y diverge si lim n+ r n+ n n 2 n r = 2r >, así que el radio de n convergencia es /2. Teorema. Cada serie de potencias f(z) = a n(z z 0 ) n es analítica dentro de su círculo de convergencia. Además f (z) = i=0 na n(z z 0 ) n dentro de ese círculo y a n = f (n) (z 0 )/. Demostracion. La analiticidad de f y la fórmula para f son consecuencias inmediatas del teorema de convergencia analítica. La fórmula para a n se sigue de aplicar la fórmula para la derivada n veces y evaluar en z 0. Corolario. Si a n (z z 0 ) n = b n (z z 0 ) n para toda z en algún disco centrado en z 0, entonces a n = b n para toda n. Demostracion. Si las dos funciones definidas por las series son iguales en un disco entonces sus derivadas son iguales en cada punto del disco, y por el resultado anterior los coeficientes estan determinados por las derivadas en z 0. Problemas 8. Muestra que el radio de convergencia de la serie a n(z z 0 ) n está dado por R = lim n a n a n+ R = /lim n n a n siempre que estos límites existan. 9. Demuestra que el radio de convergencia de la serie a n(z z 0 ) n es igual al radio de convergencia de su derivada na n(z z 0 ) n. 0. Cual es el radio de convergencia de las siguientes series? f(z) = z + z z zn 2 n +... g(z) = z + z z zn n h(z) = z + z z zn n n

9 Teorema de Taylor. Toda función analítica f en una región A tiene representaciones en series de potencias alrededor de cada punto z 0 de A: f(z) = f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n Esta serie de Taylor converge en el disco mas grande centrado en z 0 y contenido en A. Demostracion. Fijemos z 0 A. Sea D un disco con centro en z 0 y radio r contenido en A. Veremos que f(z) tiene un desarrollo de potencias alrededor de z 0 que converge para todo z D. Por la fórmula integral de Cauchy, para cada z en el interior de D, Por otro lado ζ z = ζ z 0 f(z) = 2πi D f(ζ) ζ z dζ z z = 0 ζ z ζ z 0 0 (z z 0 ζ z 0 ) n que converge absolutamente para ζ D si z esta en el interior de D ya que z z 0 < r y ζ z 0 = r. Ahora f(z) = 2πi D f(ζ) (z z 0) n ζ z 0 (ζ z 0 ) n dζ Como las funciones dentro de la serie son continuas en D ya que ni z 0 ni z están en D y la serie de funciones converge uniformemente en D ya que ( r ) n r converge y f(ζ) ζ z 0 está acotada en D, entonces podemos intercambiar la integral con la sumatoria y obtenemos f(z) = 2πi = 2πi D (z z 0 ) n f(ζ) (z z 0) n ζ z 0 (ζ z 0 ) n dζ D f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+ Y aplicando las formulas integrales de Cauchy para las derivadas obtenemos f(z) = (z z 0 ) n f (n) (z 0 ) 9

10 Ejemplos. Si f(z) = z entonces f (z) = z 2, f (z) = 2z 3 f (z) = 3!z 4, f (z) = 4!z 5 asi que /z = (z ) + (z ) 2 (z ) 3 + (z ) para z < /z = 2 4 (z 2) + 8 (z 2)2 6 (z 2) (z 2)4... para z 2 < 2 z = / (z ) ! (z ) ! (z ) ! (z ) = + 2 (z ) 8 (z )2 + 6 (z ) (z ) para z < e z = e 0 + e0 z + e0 2! z2 + e0 3! z3 + e0 4! z4 + + zn +... = + z + 2! z2 + 3! z3 + 4! z4 + + zn +... para todo z sen(z) = sen(0) + cos(0) z sen(0) 2! z 2 cos(0) 3! z 3 + sen(0) 4! z 4 cos(0) 5! z 5 sen(0) 6! z 6 + = = z 3! z3 + 5! z5 7! z7 + 9! z9! z + 3! z3... para todo z A partir de la serie de una función podemos encontrar fácilmente las series de otras funciones: sen(z) z = 3! z2 + 5! z4 7! z6 + 9! z8! z0 + 3! z2... para todo z 0 sen(z 2 ) = z 2 3! z6 + 5! z0 7! z4 + 9! z8! z22 + 3! z26... para todo z Corolario. Las funciones analíticas son las funciones complejas que pueden escribirse localmente como series de potencias. Demostracion. Todas las series de potencias son funciones analíticas dentro de sus discos de convergencia y cada función analítica esta representada por series de potencias en discos centrados en cada punto de su dominio. 0

11 Ceros de funciones analíticas Si f(z) analítica en una región A entonces para cada punto z 0 en A, f(z) = el disco mas grande centrado en z 0 y contenido en A. f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n en Si f (n) (z 0 ) = 0 para toda n entonces f(z) = 0 en todos los puntos del disco. Si no, hay un n tal que f (i) (z 0 ) = 0 para todo i < n pero f (n) (z 0 ) 0, y diremos que f tiene un cero de orden n en z 0. Lema. Si f es una función analítica en la región A y f(z) tiene un cero de orden n en z 0, entonces f(z) = g(z)(z z 0 ) n donde g es una función analítica en A y g(z 0 ) = f (n) (z 0 ) 0. Demostracion. Si f(z) tiene un cero de orden n en z 0, entonces en una vecindad de z 0 f(z) tiene desarrollo de Taylor de la forma f(z) = i=n a i(z z 0 ) i, donde a n = f (n) (z 0 ) 0. Considerar la función g(z) = f(z) (z z 0 ) para z z n 0 y g(z 0 ) = f (n) (z 0 ). Entonces g(z) es analítica en A {z 0 } y es continua en z 0 ya que lim z z0 g(z) = lim z z0 i=n a i(z z 0 ) i n = a n Por lo tanto g(z) es analítica en A y podemos escribir f(z) = g(z)(z z 0 ) n. Lo anterior muestra que si una función analítica f tiene un cero en z 0, entonces hay una vecindad de z 0 donde f no tiene ningun otro cero, o donde f es identicamente 0. Corolario. Si f es analítica en una región conexa A y hay una sucesion de puntos z i z 0 A con f(z i ) = 0 para toda i, entonces f(z) = 0 para todo z A. Demostración. Si f(z) se anula en una sucesión de puntos de A que convergen a un punto de A entonces por continuidad f(z) debe anularse en el punto límite, y por lo anterior f(z) debe anularse en toda una vecindad del punto límite. En particular, f(z) = 0 en una vecindad de z 0. Tomemos cualquier z A, queremos ver que f(z ) = 0. Como A es conexa, existe una curva : [0, ] A tal que (0) = z 0 y () = z. Sea s el supremo de los t tales que f([0, t]) = 0. Por continuidad f((s)) = 0 y hay una sucesión de puntos (t i ) (s) tales que f((t i )) = 0. Por lo anterior f debe ser 0 en una vecindad de f((s)) = 0, en particular f((t)) = 0 para los t > s cercanos a s, lo que dice que s no es el supremo, a menos que s =, lo que dice que f(z ) = f(()) = 0. Corolario. Si f y g son funciones analíticas en una región conexa A y hay una sucesion de puntos z i z 0 A con f(z i ) = g(z i ) entonces f(z) = g(z) para todo z A. Demostración. La función f(z) g(z) es analítica en A y f(z i ) g(z i ) = 0, así que por el corolario anterior f(z) g(z) = 0.

12 Producto de series. Si f(z) = i=0 a iz i y g(z) = j=0 b iz j para z < r entonces f g (z) = (a 0 b n + a b n + + a n b + a n b 0 )z n para z < r o sea que el producto de dos series convergentes se obtiene multiplicando todos los términos de una por todos los terminos de la otra. Demostración. f(z) y g(z) son analíticas para z < r, asi que el producto es una función analítica para z < r y su serie de Taylor alrededor de 0 es (f g) (n) (0) f g (z) = z n para todo z < r Usando la regla del Leibnitz (f g) = f g + f g puede verse que (f g) (n) = n por lo tanto (f g) (n) (0) n f (i) (0) g (n i) (0) n = = a i b n i i! n i! i=0 i=0 i=0 i! n i! f (i) g (n i) Problemas. Encuentra las series de Taylor de las siguientes funciones y da sus radios de convergencia. a) z + z 2 z 3 alrededor de y alrededor de 2. b) /z alrededor de i c) e z alrededor de d) cos(z) alrededor de 0 y alrededor de π/2 2. Encuentra una serie para log(z) integrando una serie para /z en z = y da su radio de convergencia. 3. Encuentra (como puedas) las series de Taylor para las siguientes funciones alrededor de z = 0 a) +z 2 b) ez z 4. De que órdenes son los ceros de las siguientes funciones? a) e z e en z = b) + cos(z) en z = π c) sen(z 3 ) en z = 0 5. Demuestra que si f(z) y g(z) son funciones analíticas que tienen ceros de orden n en z 0 entonces f(z) lim z z0 g(z) = f (n) (z 0 ) g (n) (z 0 ). 6. Encuentra los primeros términos de la serie de Taylor de sen(z)cos(z) alrededor de z = 0. 2