MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Series de Laurent. Departamento de Matemáticas. Singularidad. Sing. Aislada. S. de Laurent.

Transcripción

1 Ejemplos MA3002

2 Ejemplos Puntos singulares una función Si una función variable compleja ja ser anaĺıtica en un punto z = z o, entonces se dice que este punto es una singularidad o un punto singular la función. Por ejemplo, z la función f (z) = (z ) (z+) los complejos z = y z 2 = son sus únicas singularidas. Mientras que la función g(z) = Ln(z), sus puntos singularidad son toda la parte no positiva l eje real. En las figuras siguientes se ilustran en rojo las singularidas las funciones. i i i i es f (z) es g(z)

3 Ejemplos Aislada Supóngase que z = z o es una singularidad f (z). Se dice que z = z o es una singularidad aislada si existe una vecindad suprimida o disco perforado 0 < z z o < R en don f (z) es z (z ) (z+) anaĺıtica. Para la función f (z) = los complejos z = y z 2 = son singularidas son aisladas; pero la función g(z) = Ln(z) ninguna sus singularidas es aislada. i i i i es f (z) es g(z)

4 Ejemplos Serie Sea z = z o una singularidad aislada la función f (z). Un sarrollo en Serie f (z) es un sarrollo la forma: f (z) = a k (z z o ) k + a k (z z o ) k = k= k=0 k= a k (z z o ) k don la convergencia ocurre en el anillo r < z z o < R. La parte en rojo se llama la parte principal la serie que converge z z o > r; mientras que a la parte en azul se le llama la parte anaĺıtica la serie que converge z z o < R. z or R

5 Ejemplos Desarrollo Sea f (z) una función anaĺıtica ntro l dominio anular D finido como r < z z o < R. Entonces, f (z) tiene una representación en serie potencias la forma: f (z) = a k (z z o ) k k= válida su dominio anular y don los coeficientes puen ser calculados por la fórmula: a k = f (z) dz, k = 0, ±, ±2, ±3,... k+ (z z o ) don es una curva cerrada simple localizada ntro D y que contiene a z o : D z o r R

6 Ejemplos s Los coeficientes a k están relacionados con los tres datos l dominio anular: el centro z o, el radio interno r y el radio externo R. Los coeficientes a k están únicamente terminados por el dominio anular y por la función f (z). La fórmula la integral terminar los coeficientes a k rara vez es utilizada en la práctica; tales sarrollos son en general difícles calcular y se recurre a técnicas algebraicas.

7 Ejemplos Para la función f (z) = los dominios: D : 0 < z < : z (z ) Ejemplos encuentre sarrollos i Tomemos la curva como el círculo con centro en cero y radio /2: z(t) = et i, 0 t 2 π: a k = = f (z) dz = (z z o) k+ (z ) dz z k+2 z (z ) (z 0) k+ dz

8 Ejemplos Para k entero y k 2: se tiene que k y por tanto a k = (z ) dz = 0 zk+2 pues el nominador tiene exponente no positivo; y por tanto, no hay polo ntro. Para k = y por la primera auchy: a = = (z ) dz = z +2 = z=0 z (z ) z dz Para k entero y k 0 y usando la segunda auchy: ) a k = = (k+)! (k+)! ( d k+ dz k+ z z=0 (k + )!( )k+ (z ) k+2 z=0 =

9 Ejemplos Resumiendo: Para k 2, a k = 0. Mientras que k, a k =. Por tanto, el sarrollo f (z) en la región anular 0 < z < queda: f (z) = z z z2 z 3

10 D 2 : < z : i Ejemplos Tomemos la curva como el círculo con centro en cero y radio 2: z(t) = e t i, 0 t 2 π: a k = = f (z) (z z o) k+ dz = z k+2 (z ) dz z (z ) (z 0) k+ dz Para k + 2 0, z = 0 no es un polo l integrando y k + 2 > sí lo es. Separemos estos dos casos.

11 Ejemplos Para k + 2 0, es cir k 2: usando la primera auchy a k = z k+2 (z ) dz = z k+2 (z ) dz = [ z ]z= = k+2 Para k + 2 >, z = 0 es un polo l integrando. Así que tenemos dos polos ntro la curva, tracemos dos círculos centrados en los polos z = 0 y z = con radios valor 0,4 (este valor radio hará que los círculos estén ntro y el otro polo estará fuera ellos) Digamos que es el círculo con centro en z = 0 y radio 0,4 y que 2 es el círculo con centro en z = y radio 0,4. Así z k+2 (z ) dz = z k+2 (z ) dz+ 2 z k+2 (z ) dz i

12 Ejemplos Por la segunda auchy: como z k+2 (z ) dz = d k+ dz k+ z dz z k++ = (k+)! [ d k+ dz k+ ( z )] z=0 ( ) = ( ) k+ (k + )! (z ) (k++) z entonces z k+2 dz = (z )

13 Ejemplos Por otro lado, y usando la primera auchy: 2 z k+2 (z ) dz = 2 Por tanto, k + 2 > 0: a k = ( = z k+2 (z ) dz = z k+2 (z ) dz [ ] z k+2 = z= z k+2 (z ) dz + ) 2 z k+2 (z ) dz = ( + ) = 0 Resumiendo: Para k 2, a k =. Mientras que k >, a k = 0. Por tanto, el sarrollo f (z) en la región anular < z queda: f (z) = z 2 + z 3 + z 4 +

14 D 3 : 0 < z < : i Ejemplos Tomemos la curva como el círculo con centro en y radio 0,5: z(t) = + 0,5 e t i, 0 t 2 π: a k = = f (z) dz = (z ) k+ dz = z (z ) k+2 z (z ) dz (z ) k+ z (z ) k+2 dz Para k + 2 0, z = no es un polo l integrando y k + 2 > sí lo es. Separemos estos dos casos.

15 Ejemplos Para k entero y k 2: se tiene que k y por tanto a k = z dz = 0 (z ) k+2 Para k, z = es un polo l integrando ntro y al aplicar la segunda auchy: omo a k = d k+ dz k+ z dz (z ) k+2 [ d k+ = (k+)! oncluimos que, k : dz k+ ( z ) ] z= ( ) = ( ) k+ (k + )! z (k+) z a k = ( ) k+

16 Ejemplos Resumiendo: Para k 2, a k = 0. Mientras que k, a k = ( ) k+. Por tanto, el sarrollo f (z) en la región anular 0 < z < queda: f (z) = z + (z ) (z )2 + (z ) 3 Recuer que los a k son los coeficientes los términos (z centro) k l sarrollo.

17 Ejemplos omo se pudo ver los ejemplos anteriores, el método que da el teorema es poco práctico. Por la unicidad los coeficientes en el sarrollo, si se puen calcular alguna otra manera, ya estamos l otro lado. Una manera alternativa es mediante técnicas puramente algebraicas. Una ellas se basa en un hecho simple y fácil comprobar haciendo la división z = + z + z2 + z 3 + la cual es una serie que converge valores z que cumplen z <. Alternativamente se pue usar: + z = z + z2 z 3 + que se obtiene la anterior cambiando a z por z.

18 Ejemplos Para encontrar una serie f (z) = z (z ) válida en el anillo 0 < z < : f (z) = z ( z) = z z = ( z + z + z 2 + z 3 + ) = z z z2 z 3

19 Ejemplos Para encontrar una serie f (z) = z (z ) válida en el anillo < z : Observemos que nuestro sarrollo z = + z + z2 + z 3 + ya no conviene porque él converge z < y se nos pi < z. El truco consiste en nuestro caballo batalla cambiar a z por /z y así z = + z + z 2 + z 3 + convergerá /z <, es cir z >. Habiendo visto esto regresemos a nuestro problema: f (z) = z (z ) = z 2 ( z ) = ( z + 2 z ) z 2 z 3 = z 2 z 3 z 4 z 5

20 Ejemplos Para encontrar una serie f (z) = z (z ) válida en el anillo 0 < z <. Ahora ya no buscamos potencias z sino z ; En nuestro sarrollo z = + z + z2 + z 3 + cambiaremos a z por z obtener z = (z ) = + (z ) + (z )2 + (z ) 3 + la cual convergerá z <. Haremos álgebra en la expresión f (z) jando los términos en z intáctos: f (z) = z (z ) = z z = z ( + (z ) + (z ) 2 + (z ) 3 + ) = z + + (z ) + (z )2 + (z ) 3 +