Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Serie de Taylor. Departamento de Matemáticas. Propiedades. Tma. Taylor. Ejemplos MA3002

Transcripción

1 MA3002

2 Intro Suponga una serie potencias a k (z z o ) k Para un valor z que pertenezca al interior l círculo convergencia dicha serie, el valor ĺımite la serie L es un número complejo perfectamente finido a partir z (aunque el cálculo L sea un dolor cabeza!). En este sentido, se tiene una función matemática variable compleja: el dominio es el interior l círculo convergencia la serie y cuya regla asociación es el cálculo l valor ĺımite la serie el z en el dominio. En este mundo funciones matemáticas finidas por series potencias, Cuáles son sus propiedas? Tendrá su contraparte en este mundo una función tradicional?

3 Suponga que f (z) es la función finida por la serie potencias a k (z z o ) k que tiene como círculo convergencia z z o = R, R 0. Diremos que su dominio D es z z o < R. Entonces f (z) es una función continua en D: Es cir, que si z y z 2 son puntos en el dominio entonces f (z ) f (z 2 ) 0 cuando z z 2 0 f (z) tiene rivada en todo punto D. No sólo eso, hay una función cuyo dominio es también D y que da la rivada f (z), y más aún tal función rivada es también una función finida como una serie potencias (ouch!). Y todavía más (y felicidad nuestra!): f (z) = k a k (z z o ) k k=

4 Más aún, hay una relación entre los coeficientes la serie potencias que fine la función y las rivadas la función en el centro l círculo convergencia: a k = f (k) (z o ) k! ó f (k) (z o ) = k! a k k 0 Por tanto, la serie potencias be tener la forma: f (k) (z o ) k! (z z o ) k Esta serie llama serie. Cuando z o = 0 la serie se llama serie Maclaurin: f (k) (0) k! z k

5 Integración series potencias Si se tiene finida una función variable compleja f (z) por medio una serie potencias en su círculo convergencia a k (z z o ) k, entonces f (z) admite una función primitiva F (z) (es cir, una función que cumple F (z) = f (z)); y más aún F (z) es también una función finida por serie potencias en z z o (ouch!) que pue ser calculada integrando término a término la serie f (z) (aaah!).

6 Unicidad las series potencias Si dos series potencias en z z o : a k (z z o ) k y b k (z z o ) k tienen en mismo radio convergencia y coincin en los valores ĺımite en todo punto l interior l círculo convergencia, entonces a k = b k.

7 Teorema Sea f (z) una función anaĺıtica con dominio D y un punto z o en el interior D. Entonces, f (z) tiene una representación en serie potencias en z z o : f (k) (z o ) k! (z z o ) k que es válida el círculo más gran con centro en z o y que está contenido en D. Zona coincincia f (z) y la serie z o D

8 Ejemplo Determine la serie Maclaurin y su radio convergencia la función dada por la fórmula: + z Obtengamos la serie por el método que da la finición, ello calculemos la fórmula las rivadas: f (z) = d dz ( + z) = ( )! ( + z) 2 f (z) = d dz ( )! ( + z) 2 = ( ) 2 2! ( + z) 3 f (z) = d dz ( )2 2! ( + z) 3 = ( ) 3 3! ( + z) 4 en general, f (k) (z) = ( ) k k! ( + z) (k+) y por tanto, f (k) (0) = ( ) k k! a k = f (k) (0) = ( )k k! = ( ) k k! k!

9 Por tanto, a k z k = ( ) k z k = z + z 2 z 3 + z 4 + Y su radio convergencia se obtiene : R = lim k k ak = lim ( ) k = lim k k k por tanto R = k =

10 Otra forma obtener la serie es recordando que Como Basta usar el sarrollo obtener: z = z k + z = ( z) z + z = ( z) = ( z) k = sustituir z por z y ( ) k z k

11 Otra manera calcular el radio convergencia la serie Maclaurin que representa a /( + z) es la siguiente: como Maclaurin tiene como centro z o = 0 y el único punto infinición /( + z) es z = entonces el radio se pue calcular obteniendo la distancia z o = 0 a z = : R = d(z o, z ) = z o z = 0 ( ) = = Observe que si se tratara sarrollar en serie Maclaurin (z )(z /2) entonces se be buscar en qué puntos hay infinición (z = y z 2 = /2) y se be obtener la menor distancia a ellos ( z o = 0 a z, que es, y z o = 0 a z 2 que es /2). En este caso sería R = Min {d(z o, z ), d(z o, z 2 )} = Min {, /2} = /2

12 Ejemplo 2 Determine la serie Maclaurin y su radio convergencia la función dada por la fórmula Tenemos que: por lo tanto, ( ) d = dz z ( z) 2 ( z) 2, ( z) 2 = d dz ( ) z k = k z k k= Los radios convergencia ambas series son iguales; es cir, R =.

13 Ejemplo 3 Determine la serie Maclaurin y su radio convergencia la función dada por la fórmula: Tenemos que z + z ( z ) + z = z + z = z ( ) k z k Por lo tanto: ( ) k z k+ El radio convergencia es el la serie /( + z), que es R =

14 Ejemplo 4 Determine la serie Maclaurin y su radio convergencia la función dada por la fórmula: 4 2 z Tenemos que ( 4 ( z ) = ) 4 ( z ) k 2 2 Por lo tanto: 4 2 k zk El radio convergencia es doble l radio la serie /( z), que es ; por tanto, el radio nuestra serie Macluarin es 2.

15 Ejemplo 5 Determine la serie en z o = y su radio convergencia la función dada por la fórmula: z Primero obtengamos la serie usando la finición. f (z) = d dz z = ( )! z 2 f (z) = d dz ( )! z 2 = ( ) 2 2! z 3 f (z) = d dz ( )2 2! z 3 = ( ) 3 3! z 4 en general, f (k) (z) = ( ) k k!z (k+) y por tanto, f (k) (z o = ) = ( ) k k! a k = f (k) (z o ) = ( )k k! = ( ) k k! k!

16 Por tanto, a k (z z o ) k = ( ) k (z ) k = (z ) + (z ) 2 (z ) 3 + (z ) 4 + Y su radio convergencia se obtiene : R = lim k k ak = lim ( ) k = lim k k k por tanto, R = k =

17 Una forma alternativa es la siguiente: Así z = z o + (z z o ) = z o ( + z zo z o ) = z = ( ) ( ) k z k zo = z o z o ( z o z k+ o El radio convergencia se obtiene al calcular: R = lim k ( ) k k = z o z k+ o + z zo z o ( ) k (z z o ) k ) por tanto, R = z o que correspon a la distancia z o al polo /z que es z = 0.

18 Ejemplo 6 Determine la serie en z o y su radio convergencia la función dada por la fórmula: Tenemos que a z, a z o a z = (a z o ) (z z o ) = (a z o ) ( ) z zo a z o Por tanto, a z = (a z o ) ( ) z k zo = a z o y el radio convergencia es R = a z o. (a z o ) k+ (z z o) k