MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Integrales de Contorno. Departamento de Matemáticas. Intro. Suma. Aproximación por TI.

Transcripción

1 MA3002

2 En esta lectura veremos la integral contorno o la integral compleja ĺınea. Recuer la integral ĺınea en dos variables: F dr = f (x(t), y(t)) r (t) dt Datos: 1) función en dos variables f (x, y) 2) urva en el dominio (x(t), y(t))

3 Eligiendo una partición la curva: Se construye una pared s el plano xy hasta la altura la función usando como referencia ; el área es una aproximación la integral ĺınea f (x, y) a lo largo.

4 una función sobre una curva Sea f (z) = u(x, y) + v(x, y) i una función finida en todos los puntos una curva suave finida por x = x(t) y y = y(t) a t b. Divídase en n subarcos acuerdo con la partición a = t 0 < t 1 < < t n = b [a, b]. Los puntos correspondientes la curva son z 0 = x(t 0 ) + y(t 0 ) i, z 1 = x(t 1 ) + y(t 1 ) i,..., z n = x(t n ) + y(t n ) i. Sea z k = z k z k 1 k = 1, 2..., n. Sea P el valor máximo z k. Sea zk = x k + y k i un punto en cada subarco. Genérese la suma n f (zk ) z k k=1

5 y (1 r) z(t i ) + r z(t i+1 ), 0 r 1 O z(t i+1 ) = x(t i+1 ) + y(t i+1 ) i z i un r en [0, 1] z(t i ) = x(t i ) + y(t i ) i x

6 Ejemplifiquemos el cálculo usando una TI

7 Programa calcular aproximaciones numéricas

8 Aproximaciones numéricas

9 Gráfica la curva y su imagen en el plano (U, V )

10 Integral Sea f (z) una función variable compleja finida sobre una curva suave dada por x = x(t) y y = y(t) a t b. La integral contorno f (z) a lo largo la curva es f (z) dz = lim P 0 k=1 n f (zk ) z k omo resultado matemático, tal ĺımite existe si f (z) es continua en y amás es suave o suave por tramos (Se dice que dada por z(t) = x(t) + y(t) i es suave si x(t) y y(t) tienen rivadas continuas a t b, o al menos es suave por tramos).

11 omo f (z) dz = lim (u + v i) ( x + y i) = lim (u x v y + u y i + i v x) = lim ( (u x v y) + i (v x + u y)) = lim (u x v y) + i lim (v x + u y) = (u dx v dy) + (v dx + u dy) concluimos que el cálculo una integral contorno en variable compleja es la combinación dos integrales ĺınea reales.

12 Por otro lado, si se tiene una metrización la curva sobre la cual se integra : (x(t), y(t)) a t b entonces las integrales ĺınea reales se calculan: (u dx v dy) = (v dx + u dy) = b a b a u(x(t), y(t)) x (t) dt v(x(t), y(t)) y (t) dt v(x(t), y(t)) x (t) dt + u(x(t), y(t)) y (t) dt

13 Por tanto f (z) dz = (u dx v dy) + i (v dx + u dy) b u(x(t), y(t)) x (t) dt = + a v(x(t), y(t)) y (t) dt = = b i a b a b a v(x(t), y(t)) x (t) dt + u(x(t), y(t)) y (t) dt u(x(t), y(t)) x (t) v(x(t), y(t)) y (t)+ i v(x(t), y(t)) x (t)+ i u(x(t), y(t)) y (t) b f (z) dz = f (z(t)) z (t) dt a dt (u(x(t), y(t)) + v(x(t), y(t)) i) (x (t) + i y (t)) dt

14 Teorema Si f (z) es continua en una curva suave dada por z(t) = x(t) + y(t) i a t b, entonces f (z) dz = b a f (z(t)) z (t) dt

15 ontinuación l ejemplo la integral contorno usando la metrización y el resultado teórico.

16 Suponga que f (z) y g(z) son continuas en un dominio y es una curva suave que está en tal dominio. Entonces k f (z) dz = k f (z) dz (f (z) + g(z)) dz = f (z) dz + g(z) dz f (z) dz = f (z) dz + f (z) dz, si es la unión 1 2 las curvas suaves 1 y 2 contenidas en el dominio. f (z) dz = f (z) dz, don representa la curva con orientación opuesta.

17 Ejemplo onsiremos la función f (z) = z 2 = f (x + y i) = (x 2 y 2 ) + 2 x y i y la curva métrica con ecuaciones x = x(t) = t y y = y(t) = t 2 s t o = 0 y hasta t f = 1. 1 y 1 O 1 1 x Dividamos el intervalo l tiempo [0, 1] usando tres puntos t o = 0, t 1 = 0.5 y t 2 = 1.0. Estos tiempos corresponn a los puntos z o = z(t = 0) = x(t = 0) + y(t = 0) i = 0

18 Determine z2 dz, don está dada por x(t) = t y y(t) = t 2 0 t 2. Aquí f (z) = f (x + y i) = (x + y i) 2 = (x 2 y 2 ) + 2 x y i. En este caso la curva tiene como gráfica: y 1 O Tenemos que x (t) = 1 y y (t) = 2 t. Por tanto, 1 z2 dz = 2 ( 0 t 2 t t t 2 i ) (1 + 2 t i) dt = 2 ( 0 t 2 5 t t 3 i 2 t 5 i ) dt = ( 1 3 t3 t 5 + t 4 i 1 3 t6 i ) t=2 t=0 = i x

19 Determine z2 dz, don es la unión las curvas 1 y 2 como se ilustra en la figura. 2 1 y 1 O La metrización 1 es x(t) = t y y(t) = 0 0 t 1 (Aquí x (t) = 1 y y (t) = 0); y la 2 es x(t) = 1 y y(t) = t 0 t 1 (Aquí x (t) = 0 y y (t) = 1). Así f (z) dz = 1 f (z) dz + 2 f (z) dz = 1 0 (t + 0 i)2 (1 + 0 i) dt (1 + t i)2 (0 + 1 i) dt = ( 1 3 t3) t=1 t=0 + ( 1 3 (1 + t i)3) t=1 t=0 = ( i) = i x

20 Qué se pue obtener con el producto números complejos? onsire dos vectores con tres componentes pero el plano xy: u =< a, b, 0 > y v =< c, d, 0 >. Suponga que u se convierte en el complejo z 1 = a + b i y que v se convierte en z 2 = c + d i. Si hacemos z 1 z 2 obtenemos: Por otro lado z 1 z 2 = (a c + b d) + (a d b c) i u v = a c + b d y u v =< 0, 0, a d b c > Es cir, que el producto acuado dos complejos da simultáneamente un producto punto y un producto cruz dos vectores.

21 Una función variable compleja f (z) se pue visualizar como un flujo en plano complejo; basta pensar que la parte real es la componente x y la parte imaginaria la componente y l vector. on esta ia, en la integral f (z) dz = f (z) dz a la parte real se le llama la circulación f (z) a través ; y a la parte imaginaria se le llama el flujo neto f (z) a través.

22 Si f (z = x + y i) = (1 i) z = (x + y) + (y x) i, calcule: f (z) dz = f (z) dz Don la curva cerrada es la unión las curvas 1, 2, 3 y 4 como se ilustran en la figura. En la misma, en cada punto las flechas en rojo representan una versión a magnitud 0.25 el valor f (z) en el punto don inicia la flecha y O x 1

23 álculos Vemos que f (z) = (1 i)(x + y i) = (x + y) + (x y) i. 1 se metriza como x(t) = t y y(t) = 0 0 t 3. Así x (t) = 1 y y (t) = 0: 3 f (z) dz = ((t + 0) + (t 0) i) (1 + 0 i) dt = i 2 se metriza como x(t) = 3 y y(t) = t 0 t 3. Así x (t) = 0 y y (t) = 1: 3 f (z) dz = ((3 + t) + (3 t) i) (0 + 1 i) dt = i 3 se metriza como x(t) = 3 t y y = 1/3 x + 2 y así y(t) = 3 1/3 t 0 t 3. Así x (t) = 1 y y (t) = 1/3: 3 f (z) dz = (((3 t) + (3 1/3 t)) + ((3 t) (3 1/3 t)) i) ( 1 1/3 i) dt = 13 i se metriza como x(t) = 0 y y(t) = 2 t 0 t 2. Así x (t) = 0 y y (t) = 1: 2 f (z) dz = ((0 + (2 t)) + (0 (2 t)) i) (0 1 i) dt = 2 2 i 4 0

24 Para hacer este problema en la TI primeramente limpiaremos las variables con las que trabajaremos, finiremos la función, construiremos la variable z metrizada y finiremos el integrando. La gran ventaja esto es que cada vez que cambiemos las funciones x(t) y y(t) el integrando se actualizará y no requeriremos recapturarlo. abe cir: yeeesssss!

25 alculemos ahora la integral contorno sobre cada una las curvas. Para ello, primero finiremos las ecuaciones métricas x y y y posteriormente integraremos. Recuer que cada vez que se fina x(t) y y(t) el integrando se actualiza! Esto no hubiera sido posible si las variables no hubieran estado limpias antes construir en integrando. El valor la integral buscada es la suma las integrales calculadas.