siendo: donde: quedando

Transcripción

1 1- CINEMATICA Preliminar de matemáticas. Derivadas. E.1 Halla la velocidad instantánea cuando la ecuación horaria viene dada por: a) x(t) = t 2 Siendo: 2t 2 + 4t t + 2 t 2 2t 2 2t 2 + 4t t + 2 t 2 2t 2 4t t + 2 t 2 2t t + t 2 t(4t + 2 t) (4t + 2 t) = 4t + 0 = 4t Finalmente, la velocidad instantánea velocidad en cualquier instante, es: v = 4t donde: x(t) = t 2 x(t + t) = (t + t) 2 = t 2 + 2t t + t 2 c) x(t) = 3t siendo: t 2 + 2t t + t 2 t 2 t 2 + 2t t + t 2 t 2 2t t + t 2 2t t + t 2 t(2t + t) (2t + t) = 2t + 0 = 2t Finalmente, la velocidad instantánea es: b) x = 2t 2 Siendo: Donde: v = 2t x(t) = 2t 2 x(t + t) = 2(t + t) 2 = 2(t 2 + 2t t + t 2 ) = 2t 2 + 4t t + 2 t 2 donde: x(t) = 3t x(t + t) = 3(t + t) = 3(t 2 + 2t t + t 2 ) + 1 = 3t 2 + 6t t + 3 t t 2 + 6t t + 3 t (3t 2 + 1) 3t 2 + 6t t + 3 t t 2 1) 6t t + 3 t 2 6t t + 3 t 2 t(6t + 3 t) (6t + 3 t) = 6t + 0 = 6t Finalmente, la velocidad instantánea velocidad en cualquier instante, es: d) x(t) = 3t 2 - t v = 6t m/s 1

2 siendo: E.4. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 3t 2 2t + 5. donde: x(t) = 3t 2 t x(t + t) = 3(t + t) 2 (t + t) = 3(t 2 + 2t t + t 2 ) (t + t) = 3t 2 + 6t t + 3 t 2 t t 3t 2 + 6t t + 3 t 2 t t (3t 2 t) 3t 2 + 6t t + 3 t 2 t t 3t 2 + t 6t t + 3 t 2 t t(6t + 3 t 1) (6t + 3 t 1) = 6t 1 Finalmente, la velocidad instantánea velocidad en cualquier instante, es: v = 6t 1 m/s E.2. Resume en una tabla los resultados anteriores, indicando la ley horaria, x(t), y la velocidad instantánea correspondiente: x(t) (m) x(t) = 3t x (t) = v(t) (m/s) v(t)= 3 1 x(t) = 6t - 2 v(t) = x(t) = t 2 v(t) = 2t 2-1 x(t) = 2t 2 x(t) = 3t 2 +1 v(t) =2 2t=4t v(t) = 6t x(t) = 3t 2 - t v(t) = 6t - 1 Estos resultados se generalizan en las siguientes reglas de derivación x(t) (m) x (t) = v(t) (m/s) x(t) = k v(t)= 0 x(t) = kt v(t)= k x(t) = t n v(t)= nt n-1 x(t) = kt n v(t)= knt n-1 2 b) Halla la velocidad en los instantes t1 = 2 s y t2 = 5 s. Resp.: = dx = x = x = 6t 2, m/s b) v(2) = dx = = 10 m/s v(5) = dx = = 28 m/s E.5. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 2t 3 3t 2 + t - 4 b) Halla la velocidad en los instantes t1 = 0 s y t2 = 2 s. = 6t2 6t + 1 (m/s) b) v(0) = dx = = 1 (m/s) v(2) = dx = = 13 (m/s) E.6. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 3t 5 2t 3 + 5t + 2. b) Halla la velocidad en los instantes t1 = 0 s y t2 = 1 s. c) Halla la aceleración en cualquier instante. d) Halla la aceleración en los instantes 0 y 1 s. = 15t4 6t m/s b) v(0) = 5 m/s, v(1) = 14 m/s c) a(t) = dv = 60t3 12t + 0 m/s 2 d) a(0)0 = 0 m/s 2 a(1) = 48 m/s 2 E.7. La ley horaria de un movimiento viene dada por la expresión x(t) = 3t 2 2t + 2. b) Halla la aceleración en cualquier instante. c) Qué tipo de movimiento es. = 6t 2 m/s b) a(t) = dx = 6 m/s2 c) MUA, porque su aceleración es constante

3 E.8. Un movimiento está descrito por el vector r = (2t 2 3t + 1)i a) Halla los vectores: velocidad, aceleración en cualquier instante. v = dr = (4t 3)i, m/s a = dv = 4i, m/s2 Por ser la aceleración constante se trata de un MRUA. b) Halla el vector desplazamiento entre los instantes 2 y 4 s. r = r (4) r (2) = 21i 3i = 18i, m c) Halla el vector velocidad y aceleración para t = 1 s. v (1) = i, m/s a = 4i, m/s 2 d) Halla el módulo del vector desplazamiento entre los instantes 2 y 4 s. r = r (4) r (2) = 18i, m Módulo = 18 m E.9. Un movimiento está descrito por el vector posición r = (2t 3 3t 2 + t 2)i v (1) = i m s, d) r = 78 2 = 78 m Movimiento plano (bidimensional) a (1) = 6i m/s2 Está descrito por el vector posición r (t) = xi + yj Que define la posición de un punto en el plano OXY E.10. El movimiento de un punto en el plano OXY r (t) = (t 2 t + 1)i + (t + 2)j a) Escribe los vectores velocidad y aceleración instantánea: v = dr = (2t 1)i + j m/s a = dv = 2i Se trata de un movimiento plano UA b) Dibuja la trayectoria que define el vector posición r (t) = (t 2 t + 1)i + (t + 2)j x = t 2 t + 1 y = t + 2 Responde a los apartados del ejercicio anterior: a) Hallamos los vectores velocidad y aceleración: v = dr = (6t2 6t + 1)i, m/s a = dv = (12t 6)i, m/s2 b) Halla el vector desplazamiento entre los instantes 2 y 4 s. r = r (4) r (2) = 82i 4i = 78i m c) Señala algún movimiento cuya trayectoria responda al caso anterior. El movimiento de un objeto sometido a la acción del campo gravitatorio. c) Vector velocidad y aceleración 3

4 E.11. El movimiento de un punto en el plano OXY r (t) = 50ti 5t 2 j a) Halla el vector velocidad y el vector aceleración. v (t) = dr = 50i 10tj m/s a (t) = dv = 10j m/s2 b) Halla el vector desplazamiento entre los instantes 1 y 3 s. r = r (3) r (1) = (150i 45j ) (50i 5j ) = 100i 40j m c) Dibuja la trayectoria definida por el vector posición r (t). r (t) = 50ti 5t 2 j x = 50t, y = 5t 2 E.12. El movimiento de un punto en el plano OXY r (t) = 50ti + (50t 5t 2 )j Halla el vector velocidad y el vector aceleración: v (t) = dr = 50i + (50 10tj ) m/s a (t) = dv = 10j m/s2 E.13. El movimiento de un punto en el plano OXY r (t) = 10cos (2t)i + 5sen(2t)j Dibuja la gráfica correspondiente a dicho movimiento. Resp.: Escribimos la expresión del vector posición: r (t) = 10cos (2t)i + 5sen(2t)j en la cual identificamos las componentes x e y: x(t) = 10 cos(2t) y(t) = 5sen(2t) Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas del movimiento. E.14. El movimiento de un punto en el plano OXY Determina: r (t) = 25ti + (25t 5t 2 )j a) La aceleración de dicho movimiento. b) Las componentes del vector velocidad en el instante t = 0 s. Resp.: a) b) v (t) = dr = 25i + (25 10t)j m/s a (t) = dv = 10j m/s2 v (0) = 25i + 25j m/s vx(0) = 25 m/s, vy(0) = 25 m/s El módulo del vector v (0) v (0) = v x 2 + v y 2 = 25 2 m/s E.15. Escribe la ecuación vectorial del ejercicio anterior reemplazando los factores numéricos por las componentes de la velocidad inicial, v0x, v0y, y la aceleración, a, r (t) = 25ti + (25t 5t 2 )j r (t) = v 0x ti + (v 0y t at2 )j Es la expresión correspondiente al tiro parabólico, cuando la aceleración en la dirección y es a y las componentes de la velocidad inicial son v0x y voy. E.16. Escribe la ecuación vectorial de un TP si el vector velocidad en el instante inicial es: y el vector aceleración es v (0) = 5i + 10j a = 10j 4

5 Resp.: Según el enunciado vx(0) = 5 m/s, vy(0) = 10 m/s, a = -10 m/s 2 Seguidamente sustituimos esta información en la ecuación del TP r (t) = v 0x ti + (v 0y t at2 )j r (t) = 5ti + (10t 5t 2 )j E.17. Halla el alcance máximo del TP definido en el ejercicio anterior: r (t) = 5ti + (10t 5t 2 )j Para hallar el alcance máximo obtenemos el tiempo de vuelo, el tiempo al cabo del cual el objeto toca el suelo: el tiempo de vuelo lo obtenemos anulando la componente y del vector posición: r (t) = 5ti + (10t 5t 2 )j x = 5t, y = 10t 5t 2 10t 5t 2 = 0 Se iguala a cero la y porque la ordenada toma este valor en los puntos extremos del movimiento: en el lugar de lanzamiento y donde el objeto toca el suelo a) El alcance y la altura máxima así como los instantes correspondientes a estas dos posiciones b) Halla el vector velocidad en los instantes señalados en el apartado anterior. Resp.: a) 50t 5t 2 = 0, t 1 = 0, t 2 = 10 s El alcance se obtiene sustituyendo t2 en x = 100t x = 1000 metros, es el alcance la altura máxima se obtiene sustituyendo el semitiempo de vuelo, 5 s, en y = 50t 5t 2 : y = = = 125 metros b) Para hallar el vector velocidad, derivamos el vector posición: r = 100ti + (50t 5t 2 )j v = dr = 100i + (50 10t)j En los instantes t = 5 s y t = 10 s: v (5) = 100i + ( )j = 100i + 0j = 100i m/s v (10) = 100i + ( )j = 100i 50j m/s 10t 5t 2 = 0, t(10 5t) = 0 t 1 = 0 s, t 2 = 2 s La primera solución corresponde al instante de lanzamiento y la segunda el tiempo de vuelo. Seguidamente sustituimos el tiempo de vuelo en la ecuación x = 5t: x = 5 2 = 10 metros, es el alcance b) Halla la altura máxima. Conocido el tiempo de vuelo, la dividimos entre dos y este semitiempo de vuelo lo sustituimos en la ecuación de la ordenada y = 10t 5t 2, obteniéndose: y = 5 metros E.18. Un TP está definido mediante la ecuación vectorial: Halla: r = 100ti + (50t 5t 2 )j c) Indica las componentes cartesianas del vector aceleración en el instante que toca el suelo y dibuja dicho vector. v (10) = 100i 50j m/s v x = 100 m s, v y = 50 m s d) Halla el módulo del vector velocidad en el instante del lanzamiento. 5

6 v = 100i + (50 10t)j 6