Tema 3: Cinemática de la partícula*

Transcripción

1 Tema 3: Cinemática de la partícula* Física I Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM) Primer Curso *Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez 1

2 Índice Introducción Cinemática del movimiento en una dimensión (movimiento rectilíneo) Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones. 2

3 Introducción (I) La Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos, así como los conceptos relacionados de fuerza y energía. Clasificación: Cinemática: descripción únicamente geométrica del movimiento, sin atender a las causas. Dinámica: principios y leyes físicas. Fuerza, energía. Estática: cuerpos en reposo permanente o equilibrio. Caso particular de la dinámica. 3

4 Introducción (I) Modelo de partícula o punto material. Definición: cuerpo de dimensiones tan pequeñas comparadas con las distancias que recorre que podemos representarlo como un punto geométrico. Ej: La Tierra, en su movimiento en torno al Sol, puede ser tratada como una partícula: Diámetro Tierra ~ m Distancia Tierra-Sol ~ m 4

5 Índice Introducción Cinemática del movimiento en una dimensión (movimiento rectilíneo) Posición y desplazamiento Velocidad: media e instantánea Aceleración Ejemplos de movimiento rectilíneo Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones. 5

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7 Cinemática del movimiento en una dimensión: velocidad Velocidad media: v m = x t x Velocidad instantánea: v = lim = x = t 0 t t Dimensiones: v = L T 1 x Unidades SI: m/s 7

8 Cinemática del movimiento en una dimensión: aceleración 8

9 Cinemática del movimiento en una dimensión: ejemplos Movimiento rectilíneo uniforme: a = 0 v = v 0 x = x 0 + v 0 t Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: a = cte v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t at2 9

10 Índice Introducción Cinemática del movimiento en una dimensión (movimiento rectilíneo) Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración Movimiento de proyectiles (tiro parabólico) Movimiento circular 10

11 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: r y r Vector posición r: r = x i + y j + zk r = r = x 2 + y 2 + z 2 Vector desplazamiento r: r = r 2 r 1 = x 2 x 1 i + y 2 y 1 j+ z 2 z 1 k r = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 11

12 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: v m y v Vector velocidad media: v m = r = x i + y j+ zk t Vector velocidad instantánea: r d r v = lim = = r = x i + t 0 t dt v = v x i + v y j + v z k y j+ zk Celeridad: v = v = v x 2 + v y 2 + v z 2 = x 2 + y 2 + z 2 12

13 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: a v a = lim t 0 t = lim t 0 v t + t v(t) t = d v dt 13

14 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: a, a t y a n (I) 14 14

15 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: a, a t y a n (II) Introduciendo el vector unitario tangente, T = v v a t = a n = v a v v 2 = T a T = a t T ; a t = a v = T a ( v a) v v 2 = T a T ; a n = a v = T a Definiendo el vector unitario normal, N = a n a n = a n = a n N T a T T a a = a t T + a n N 15

16 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: a, a t y a n (III) A partir de a = dv dt d vt a = = dv dt dt y de v = vt, obtenemos: dt T + v dt = dv dt T + v dt dt Identificamos el vector unitario normal N = dt dt dt dt dt dt dt dt, y vamos a probar que N T. Para ello, basta probar que T dt dt = 0: T dt dt = c.q.d T dt dt = 1 2 T dt dt + dt dt T = 1 2 d T T 16 dt = 0

17 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: a, a t y a n (IV) a t = dv dt a t = 0 (cambio en la celeridad) Movimiento uniforme a t = cte Mov. uniformemente acelerado a n = v2 R (cambio dirección trayectoria) R, radio de curvatura R = v2 a n a n = 0 Movimiento rectilíneo (R = ) 17

18 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: tiro parabólico Condiciones iniciales: x 0 = 0 y 0 = 0 v 0x = v 0 cos θ 0 v 0y = v 0 sin θ 0 Aceleración: a = g j Velocidad: v x = v 0x v y = v 0y gt Posición: x = v 0x t 18 y = v 0y t 1 2 gt2 18

19 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: movimiento circular (I) La trayectoria es una circunferencia: radio de curvatura constante r(t) = r(t + t) = R = cte Se trata de un movimiento plano. Se introduce ω,velocidad angular, vector de dirección perpendicular al plano de la trayectoria y módulo ω = θ 19

20 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: movimiento circular (II) Derivamos para obtener la aceleración: d v a = dt = dω d r r + ω = α r + ω ω r dt dt con α = dω,aceleración angular (α = ω = θ en módulo) dt 20

21 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: movimiento circular (III) Ahora, desarrollamos para poner a n = a n N: a n = ω ω r = ω r ω ω ω r = ω 2 r = v R 2 r Podemos escribir a n = v2 R N, siendo N = r R 21

22 Cinemática del movimiento en dos y tres dimensiones: movimiento circular (IV) 22