Cinemática Parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin atender a las causas que lo producen. Repaso 4ºde ESO

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1 Cinemática Parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin atender a las causas que lo producen. Repaso 4ºde ESO I Conceptos Movimiento-Cambio de posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia (absoluto y relativo). Sistema de referencia-punto o conjunto de puntos del espacio con respecto al cual se describe el movimiento de un cuerpo. Posición de un móvil- es el punto del espacio que ocupa el móvil en un instante determinado. Trayectoria-Camino que describe un móvil en su recorrido. Desplazamiento-vector que une la posición inicial (origen) y final (extremo) de un movimiento. Distancia recorrida-longitud medida sobre la trayectoria que existe entre las posiciones inicial y final. II. Movimiento rectilíneo y uniforme (MRU) Un móvil se desplaza con MRU cuando la trayectoria que describe es una línea recta y la velocidad (magnitud vectorial) es constante. Ecuaciones del mru: Ecuación de la velocidad X Xo V t X X V t Ecuación del movimiento o Como el desplazamiento coincide con el espacio recorrido (X-X o =S) también podemos escribir: S V S V t t III. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) La trayectoria descrita en este movimiento es una línea recta y la aceleración (magnitud vectorial que mide los cambios de velocidad por unidad de tiempo) es constante. Ecuaciones del mrua: Ecuación de la velocidad V Vo a t 2 Ecuación del movimiento X X V t a t o o Caída libre-lanzamiento vertical Cuando un cuerpo se mueve en dirección perpendicular a la superficie de la Tierra y en las proximidades de la misma, entonces la aceleración que sufre un cuerpo es la de la gravedad terrestre a=g=9,8 m/s 2 (el signo dependerá del sistema de referencia elegido). 1 2

2 v = v 0 + a t y = y 0 + v 0 t + ½ a t 2 En este caso a g Siempre dirigido hacia abajo (-) Lanzamiento vertical v 0 (+) V = V 0 gt h = V 0 t 1 2 gt2 Caída libre Lanzo o dejo caer desde una altura h v 0 (-) v = -v 0 -g t h=y= h 0 - v 0 t - ½ g t 2 IV. Movimiento circular uniforme (MCU) La trayectoria es una circunferencia y el módulo de la velocidad permanece constante. Sin embargo, la dirección y el sentido del vector velocidad cambian. La responsable de este cambio es una componente de la aceleración que llamamos aceleración normal: 2 V an R En este movimiento podemos medir desplazamientos lineales (longitud de arco recorrido) y desplazamientos angulares (ángulo girado) y por lo tanto podemos calcular velocidad lineal (V) y velocidad angular (W): S V W t t De modo que ambas están relacionadas por: V W R El mcu es un movimiento periódico por lo que se caracteriza por dos magnitudes: 1 Periodo (T) y Frecuencia (f) De forma que T f ω=2π.f = 2π/T v=2πr.f=2πr./t a N =v 2 /R =ω 2 R

3 Movimientos 1º Bachillerato V. Movimiento circular uniformemente acelerado. Presenta las mismas ecuaciones que un movimiento uniformemente variado pero con magnitudes angulares. Es decir: Magnitud lineal Magnitud angular Espacio recorrido S Ángulo descrito φ Velocidad lineal v Velocidad angular ω Aceleración a Aceleración angular α Ecuación velocidad angular ω=ω 0 ±α t α es la aceleración angular ω es la velocidad angular en función del tiempo ω 0 es la velocidad angular inicial Ecuación ángulo descrito φ es el ángulo en función de t φ=φ 0 +ω 0 t±1/2α t 2.. φ 0 es el ángulo inicial. α es la aceleración angular. ω 0 es la velocidad angular. a t = dv = d(ω.r) = R dω = R. α dt dt dt

4 VI Movimientos compuestos: Tiro horizontal: Tenemos dos movimientos uno de avance sobre el eje X y otro de caída sobre el eje y V 0 Eje X MRU con Vx=constante= V0 X= V0 t Eje y MRUA y =h-1/2gt 2 V x V y Los vectores velocidad en cualquier momento: V x =V o i V y = -gt j La ecuación del movimiento y =h-1/2gt 2 =h-1/2g(x/v 0 ) 2 X max cuando t max cuando y = 0 Vector velocidad V= V x + V y = V o i -gt j Módulo velocidad V 2 2 x + V y Tiro parabólico (oblicuo): Tenemos dos movimientos uno sobre el eje X y otro sobre el eje y Y.. v 0y v 0 g v 0x x Eje X MRU con V x =constante= V 0x = V 0 cosα X= V 0 cosα t Eje y MRUV V y = V 0y - gt= V 0 senα gt y = V 0y - 1/2gt 2 = V 0 senα t- 1/2gt 2

5 Si lo lanzamos desde una determinada altura y 0 y = y 0 + v 0y t +1/2 g t 2 = y 0 + (v 0 sen ) t +1/2 g t 2 Para calcular: X max cuando t max cuando y = 0 Y max cuando V y =0 Vector velocidad v= (V 0 cosα t)i +(V 0 senα t- 1/2gt 2 )j Movimiento armónico simple La ecuación inicial de un MAS para la elongación X = Asin(α) w= Δα X = Asen(wt) Δt y si hay desfase inicial X = Asen(wt + θ) Como la velocidad es: v= dx dt v = Awcos(wt + θ) coswt= 1 sen2wt Por lo tanto v = Awcos(wt + θ) = w A 2 + X 2 Como la aceleración es: a= dv dt a = Aw2 sen(wt + θ) Por lo tanto: a = Aw 2 sen(wt + θ) = Xw 2

6 Ejercicios. 1. La velocidad de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea viene dada por la ecuación: V(t) = (t 2-8t)j, en unidades del S.I. Calcular: a) La aceleración media entre los instantes t = 2 s y t = 4 s. ; b) La aceleración instantánea en t = 3 s. y c) Las componentes intrínsecas de la aceleración en cualquier instante. Sol: -2j m/s 2 ; -2j m/s 2 ; an=0, atan= 2t 8 m/s 2 2. La ecuación del movimiento de un cuerpo viene dada por: a) S= 5+2t b) S= 8t-t 2 c) S=4+ 3t+2t 2 Para cada caso, deducir la clase de movimiento que lleva y el valor de la velocidad y de la aceleración en el instante t= 3s 3. Un determinado movimiento de un objeto viene dado por: x=5t e y = 3t-3 en unidades del sistema internacional. Determina: a) La posición del objeto en cualquier instante (vector posición) b) La posición de la partícula a los dos segundos. c) La distancia al origen en ese momento d) El vector velocidad y su valor cuando t=2s Sol a)r= 5ti +(3t-3)j b) r=10i +3j c) r=10,4m d) 5i +3j la velocidad es constante. 4. Un determinado movimiento de un objeto viene dado por: x=2t 2 e y = 5t 2 +t-3 en unidades del sistema internacional. Determina: a) La posición del objeto en cualquier instante (vector posición) b) El vector velocidad y su valor cuando t=1s c) El vector aceleración y su valor cuando t=2s Sol a)r= 2t 2 i +(5t 2 +t-3)j b) v=4ti +(10t+1)j v = 101,2m/s c) a=4i +10j la aceleración es constante. 5. Dada las siguiente gráficas v-t: Donde la velocidad viene dada en m/s y el tiempo en s a) El tipo de movimiento en cada tramo b) Calcula la velocidad y la aceleración en cada tramo c) El espacio recorrido Se lanza hacia arriba un objeto con una velocidad de 54Km/h. Calcular a) La altura que alcanza b)el tiempo que tarda en alcanzar la altura anterior c)la velocidad con la que llega al suelo. Sol a) x. = 11,25 m b) 1,5s. c). v=-15i (m/s) 7. Un motorista circula a 15m/s. Un camión, que circula 50m delante de la moto, frena de repente. Si el motorista tarda 2s en reaccionar y después para en 3s. Sufre algún accidente? Sol para en 52,5m

7 8. Una canica rueda sobre el tablero de una mesa a 1.5 m del suelo y cae por su borde. Si impacta contra el suelo a una distancia de 1.8 m medidos horizontalmente. Calcular.la velocidad con la que cayó de la mesa Sol 3,27m/s 9. Nos situamos en lo alto de un acantilado de 20 m de altura y lanzamos horizontalmente un objeto con una velocidad de 15 m/s. Determinar: a) Las ecuaciones que describen el movimiento del objeto. b) El tiempo que tarda en caer y el punto en que toca el suelo. c) La velocidad con que llega al suelo. Sol a) vx = v0 = 15; x = 15 t; vy = - 10 t; y = 20-5 t 2 b) t=2s ; x = 30 m. c) 25m/s 10. Se lanza un objeto con una velocidad de 8,5m/s y un ángulo de 40 0 con la horizontal Calcular: a) El alcance del salto. b) La altura máxima alcanzada. c) Altura y velocidad a los 0,75 s.. Sol a) x. = 7,11 m b) y = 1,49 m. c) 1,28 m. v=6,8m/s 11. Desde una ventana de un edificio situada a 12 m del suelo se lanza una pelota con una velocidad de 15 m/s formando un ángulo de 30 0 con la horizontal. Determinar: a) Cuánto tiempo tardará en chocar con el suelo? b) Cuál es la altura máxima alcanzada? Sol a) t = 2,47 s.b) 14,81 m 12. Hallar a qué velocidad hay que realizar un tiro para bolico para que llegue a una altura maxima de 100 m si el ángulo de tiro es de 3O 0 Sol 89,4m/s. 13. Un chico da un puntapié a un balón que está a 20 cm del suelo, con un ángulo de 60º sobre la horizontal. A 3 metros, delante del futbolista, hay una valla de un recinto deportivo que tiene una altura de 3 metros. Qué velocidad mínima debe comunicar al balón para que sobrepase la valla?. Sol: 8 66 m/s 14. Se lanza un proyectil desde el suelo con un ángolo de 45 0.Con que velocidad debemos lanzar el proyectil para que haga blanco en lo alto de una colina que se encuentra a 309,3m de distancia y tiene una altura de 278,7m Sol 178m/s 15. Qué velocidad angular, en unidades del sistema internacional, ha de tener una centrifugadora para que en un punto situado a 10cm del eje de giro la aceleración normal seal 100 veces mayor que la de la gravedad? Sol 98, 99 rad/s 16. Una rueda de 0,5 m de radio gira a 20 rad/s Calcular: a) Periodo y frecuencia del movimiento. b) Ecuación del movimiento. c) Tiempo que tarda en dar 100 vueltas completas. d) Ángulo recorrido en 5 minutos. e) Velocidad de un punto situado en el exterior y de otro situado a 25 cm del centro. Sol: a) 0,1π s, 3,18 Hz b) θ= 20t (rad) c) 31,4 s, d) 6000 rad d) 10 m/s, 5 m/s.

8 17. Un punto describe una trayectoria circular de 30 cm de radio tardando 3,52 s en dar cinco vueltas. Calcular: a) La velocidad angular en rad/s b) El periodo y la frecuencia del movimiento c) El ángulo girado al cabo de 0,85 s de iniciado el movimiento. d) Su aceleración centrípeta Sol: a) ω=2,84π rad/s b) T=0,7s y f=1,4hz c)φ=2,4πrad d)8π 2 m/s Un motor es capaz de imprimir una velocidad angular de 3000 rpm a un volante en 10 s cuando parte del reposo. Calcular: a) La aceleración angular del proceso. b) Cuántos radianes gira el volante en el tiempo anterior. Sol: a) 12,6 rad/s 2, b) 1571 rad, aprox. 250 vueltas 19. Una noria empieza a girar y cuando han pasado 10s esta girando con una velocidad angular de 95 rad/s. Calcular a) La aceleración angularb) el número de vueltas. Sol: a) 9,5 rad/s 2, b). 75,6 vueltas 20. Un móvil describe un movimiento circular de 5m de radio con una velocidad inicialmente constante de 2m/s. En un determinado momento frena con una aceleración constante de 0,5m/s 2. Determina: a) La velocidad angular y la aceleración antes de frenar. b) Su aceleración tangencial, normal y total 2 segundos después de empezar a frenar. c) El tiempo que tarda en pararse. d) Los radianes y el número de vueltas que da entre que empieza a frenar y se para. Sol: a) 0,4 rad/s, b) at = 0,5m/s 2 an= 0,2m/s 2 rad/s 2 at= 0,5m/s 2 c) 4s d)0,2πradianes y 0,1 vueltas

9 Ejercicios MAS. 1. Una partícula realiza un movimiento armónico simple recorriendo 24cm en cada ciclo completo y con un periodo de 1s en ir desde un extremo al punto de equilibrio. a) Determine la amplitud y la frecuencia angular del movimiento. b) Determine la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo. c) Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo para este oscilador? d) Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función de la posición para este oscilador? e) Calcula la velocidad y de la aceleración máximas y las posiciones donde se obtienen. Sol: a)a=0,06m; ω=2πrad/s b)0,06.sen (2π.t ); c) v= 0,12π.cos (2π.t ); a= -0,24π 2.sen (2π.t ); d)v=2π 0, 36 x 2 ; a=- x 4π 2 e)v=0,12πm/s ;a=-0,24π 2 (m/s 2 ) 2. Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 40cm tardando 2 s en ir desde un extremo al punto de equilibrio. a) Determine el periodo y la frecuencia angular del movimiento. b) Determine la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo. c) Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo para este oscilador? d) Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función de la posición para este oscilador? e) Calcula la velocidad y de la aceleración máximas y las posiciones donde se obtienen. Sol: a)t=8s; ω=π/4 rad/s b)0,4.sen ( 1 4 π.t ); c) v= 0,1π.cos (1 4 π.t ); a= -0,025π2.sen ( 1 4 π.t ); d)v=π 4 0, 16 x2 ; a=- x π 2 /16 e)v=0,1πm/s ;a=-0,025π 2 (m/s 2 ) 3. Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 2m y un período de 4 seg. a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo. b) Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo para este oscilador? c) Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función de la posición para este oscilador? d) calcula la velocidad y de la aceleración máximas y las posiciones donde se obtienen. Sol: a) 2.sen (½π.t ); b) v= π.cos (½π.t ) a= -π 2 /2.sen (½π.t ) c)v= π 2 22 x 2 ; a=-π 2 /4 x d)v=πm/s ; a=-π 2 /2(m/s 2 ) 4. Una partícula que realiza un movimiento armónico simple que cumple la ecuación: x = 4. sen (π.t ) en unidades del SI Determine: a) Su amplitud, frecuencia angular, periodo y frecuencia. b) La ecuación de su velocidad en función del tiempo y en función de su posición c) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 1 s. Sol: a); A=4m; w= πrad/s T=2s; f=0,5hz b) ) v=4 π.cos (π.t ) v= π 16 x 2 c) v =- 4π m/s, a = 0 5. Una partícula que realiza un movimiento armónico simple que cumple la ecuación: x = 0 1. sen (π.t + π/2) en unidades del SI Determine: a) Su amplitud, frecuencia angular, periodo y frecuencia. b) La ecuación de su velocidad en función del tiempo y en función de su posición c) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.

10 Sol: a); A=0,1m; w= πrad/s T=2s; f=0,5hz b) ) v=0,1 π.cos (π.t+ π/2 ) v= π 0, 1 2 x 2 = m/s 2 c) v =-0 22 m/s, a 6. Una partícula que realiza un movimiento armónico simple que cumple la ecuación: x = 4. sen (2π.t ) en unidades del SI Determine: a) Su amplitud, frecuencia angular, periodo y frecuencia. b) La ecuación de su velocidad en función de su posición c) La velocidad máxima y el punto donde se obtiene Sol: a); A=4m; w=2 πrad/s T=21s; f=1hz b) ) v= π 16 x 2 c) v =2π m/s, x= 0 7. Una partícula que realiza un movimiento armónico simple que cumple la ecuación: x = 2 sen (3π.t+ π) en unidades del SI Determine: a) Su amplitud, frecuencia angular, periodo y frecuencia. b) La ecuación de su velocidad en función del tiempo. c) La aceleración máxima de oscilación. Sol: a); A=2m; w=3 πrad/s T=0,66s; f=1,5hz b) ) v=6 π.cos (3π.t+ π ) c) a =- 18π 2 m/s 2 8. Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 mls 2 Calcule: a) la frecuencia y el periodo del movimiento; b) la velocidad máxima de la partícula. Sol a) 5,51 Hz; 0,18 s b) Vmax = A. w = 1,38 m/s 9. La aceleración del movimiento de una partícula viene expresada por la relación a = -.Ky, siendo y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y k una constante. De qué movimiento se trata? Qué representa k? Cuál es la ecuación del citado movimiento?. Razona las respuestas. Sol: K=w 2 ; y=asen Kt 10. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine: a) El período del movimiento b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Sol: a)t = 0 3 s b) Vmáx= 0,33π m/s ; amáx = 2,2π 2 m/s 2 = 21 49m/s Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 8 cm y un período de 4 seg. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación máxima: a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo. b) Cuáles son los valores de la velocidad y de la aceleración 5s después de iniciado el movimiento?. Sol: a) 8.sen (½π.t + ½π); b) -4π cm/s; Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 3m y un período de 2 seg. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación nula: a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo. b) La ecuación de su velocidad en función del tiempo. c) La aceleración máxima de oscilación. Sol: a) 3sen (π.t ); b) -3π 2 m/s 13. Una partícula se mueve en el eje X describiendo un movimiento armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = -10 cm y x = 10 cm y en el instante t = O se encuentra en el punto de x = 10 cm. Si el periodo de las oscilaciones es de 1,5 s, determine:

11 La expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo La velocidad máxima de la partícula a) x = 0 1 sen (1,3π.t + π/2) b) vmax = m/s 14. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Si en el instante inicial su elongación es de 2,5cm. Determine: a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Sol: a) x = 0 05 sen (6,6π.t + π/6) b) Vmáx= 1 04 m/s ; amáx = 21 49m/s Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t=0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine: a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Sol: a)x = 0 1. sen (π.t + π/2); b) v =-0 22 m/s, a = m/s 2