JOSÉ L PERAZA, FÍSICA 1 JOSÉ L PERAZA, FÍSICA 1 JOSÉ L PERAZA, FISICA 1

Transcripción

1 CAPITULO 2 CINEMÁTICA (MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN En este capitulo estudiaremos la cinemática que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar la causa que los produce. En otras palabras en este capitulo se describirá el movimiento de un objeto mientras se ignoran las interacciones con agentes externos que puedan causar o modificar dicho movimiento. La figura muestra que podemos iniciar un evento y En este capitulo consideraremos solo el seguir una ruta. Esta ruta es la que hace que recorramos movimiento traslacional, en este movimiento se una distancia usa el modelo de partícula, y el objeto en Por ser una medida de longitud, la distancia se movimiento se describe como una partícula sin expresa en unidades de metro en el sistema importar su tamaño. Por ejemplo si queremos internacional (SI). describir el movimiento de la tierra alrededor del Desplazamiento: esta se refiere a la distancia y sol, puede considerarse a la tierra como una la dirección de la posición final respecto a la partícula. posición inicial de un objeto. Al igual que la Describamos ciertas definiciones básicas para el distancia, el desplazamiento es una medida de estudio de este movimiento. longitud por lo que el metro es su unidad de Distancia: la distancia se refiere a cuanto medida. Sin embargo, al expresar el espacio recorre un objeto durante su desplazamiento se hace en términos de la movimiento magnitud con su respectiva unidad de medida y la dirección. El desplazamiento es una cantidad de tipo vectorial. 1

2 En esta figura observamos que la persona recorre 8 metros al norte, luego 12 metros al este y finalmente 8 metros al sur, para el desplazamiento solo importa el punto de inicio o partida y el punto de llegada, por lo que al unir el inicio con el final marca el desplazamiento de la persona entonces matemáticamente el desplazamiento se expresa como: Esto representa la posición final menos la posición inicial de la persona, el signo del resultado indica la dirección en un sistema de coordenadas definido, ya que estamos trabajando en una dimensión el signo menos indicara que esta a la izquierda del eje x, o que esta por debajo del eje y en su parte negativa. En el caso de la figura indicara que el desplazamiento es 12 metros hacia la derecha o hacia el este. O vectorialmente Cuando el objeto termina en la misma posición que donde comenzó el desplazamiento será cero, y no necesariamente la distancia tendrá que serlo. Trayectoria: Es una línea imaginaria que resulta de unir todos los puntos del recorrido de una partícula u objeto. Posición: la posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado. Hoy día podemos decir que la posición de un objeto es aquella información que permite localizarlo en el espacio en un instante de tiempo determinado. Velocidad: En física, velocidad es la magnitud física que expresa la variación de la posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo. Se suele 2

3 representar por la letra.la velocidad puede próximos. En términos matemáticos se dice que distinguirse según el lapso considerado, por lo la velocidad instantánea es el límite del cociente cual se hace referencia a la velocidad entre el vector desplazamiento y el tiempo, instantánea, la velocidad promedio etcétera. En cuando el tiempo tiende a cero. Por otro lado se el sistema internacional de unidades su unidad puede decir que la velocidad instantánea es la es el metro por segundo m/s. derivada del vector desplazamiento con En términos precisos, para definir velocidad de respecto al tiempo. un objeto debe considerarse no sólo la distancia que recorre por unidad de tiempo sino también la dirección y el sentido del desplazamiento, por lo cual la velocidad se expresa como una magnitud vectorial. Velocidad media: La velocidad media o la velocidad promedio informa sobre la velocidad en un intervalo dado. Se halla a través del cociente entre el desplazamiento delta x ( x), y el tiempo transcurrido delta t ( t). Aceleración La aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el cambio de la velocidad por unidad de tiempo. Se representa por la letra y su Velocidad instantánea: La velocidad instantánea se aproxima al valor de la velocidad media entre dos puntos muy 3 unidad en el sistema internacional (SI) es el. Cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea.

4 La aceleración media La aceleración media se define como el cambio en la variación de la velocidad con respecto al tiempo Ecuaciones que rigen el movimiento Aceleración instantánea La aceleración instantánea se aproxima al valor de la aceleración media entre dos puntos muy próximos. En términos matemáticos se dice que la aceleración instantánea es el límite del cociente entre el vector velocidad y el tiempo, cuando el tiempo tiende a cero. Por otro lado se puede decir que la aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. Movimiento a velocidad constante, el movimiento a velocidad constante se describe mediante la ecuación Integrando ambos términos de la ecuación tenemos Generalmente Movimiento con aceleración constante Para encontrar las ecuaciones que controlan este movimiento partimos de: 4

5 Por otro lado tenemos Integrando Combinando las tres ecuaciones tenemos Movimiento en una dimensión en el eje y En esta sección estudiaremos tres tipos de movimientos en el eje y 1) Lanzamiento vertical hacia arriba 2) Lanzamiento vertical hacia abajo 3) Caída libre En esta sección las ecuaciones son las mismas que en la sección anterior solamente que en las ecuaciones sustituimos x por y, y la aceleración la estudiaremos Sir Isaac Newton formulo la ley de la gravitación universal. Por efecto de la gravedad tenemos la sensación de peso. Si estamos situados en las proximidades de un planeta, experimentamos una aceleración dirigida hacia la zona central de dicho planeta si no estamos sometidos al efecto de otras fuerzas. En la superficie de la Tierra, la aceleración originada por la gravedad es 9.81 m/s², aproximadamente. ahora como la aceleración de la gravedad La aceleración de la gravedad es una manifestación de la atracción universal que impulsa los cuerpos hacia el centro de la tierra. Albert Einstein demostró que la gravedad no es una fuerza de atracción, sino una manifestación de la distorsión de la 5

6 geometría del espacio-tiempo bajo la influencia de los objetos que lo ocupan. Y =0 Las ecuaciones que rigen el sistema son Para el lanzamiento vertical hacia arriba tenemos Para este caso es negativa Concepto lanzamiento vertical: El lanzamiento vertical es aquel Movimiento sujeto a la aceleración gravitacional pero ahora, la aceleración se opone al movimiento inicial del objeto. Las ecuaciones que rigen el movimiento son: Si tomamos el origen del sistema de referencia donde comienza el movimiento tenemos que, y será negativa por estar por debajo del nivel de referencia seleccionado. Caída libre Y =0 Lanzamiento vertical hacia abajo Las ecuaciones que rigen el sistema son 6

7 podemos decir que cada área de las que definimos representara el cambio en la velocidad en el intervalo que represente. Si tomamos el nivel de referencia al comienzo Por ejemplo. del movimiento, Graficas del movimiento Veamos el intervalo entre 2 y 4 segundos Ejercicios de movimiento en una dimensión 1) Dada la grafica de aceleración en función del tiempo a(t), determinar las graficas de velocidad en función del tiempo v(t), y posición en función del tiempo x(t). Dadas las condiciones iniciales de que para un tiempo t =0, tenemos que: V(0) = 2m/s, y x(0) = 1m. Veamos el intervalo entre 6 y 4 segundos El signo menos significa que la velocidad es negativa. a (m/ Ahora construyamos la grafica de velocidad en 2 A1 A2 V (m/s) función del tiempo. 2 4 A3 6 t (s -2 Dada la grafica anterior, primero la dividimos 6 2 A1 A2 A3 en áreas, A1, A2, A3, y por definición 7

8 Al igual que la grafica anterior dividámosla en áreas las cuales representaran los cambios en la posición para cada intervalo Para el intervalo entre 2 y 4 segundos 13 Para el intervalo entre 4 y 6 segundos ) En una carrera de 100 metros Ana y julia cruzan la meta en un empate muy apretado, ambas con un tiempo de 10,2 seg. Acelerando uniformemente, Ana tarda 2 seg. Y Julia 3 seg. Para alcanzar la velocidad máxima, la cual mantienen durante el resto de la competencia. a) Cuál fue la aceleración de cada velocista? b) cuál fue la velocidad respectiva? c) Cuál de las velocista va adelante en la marca de 6 seg. Y por cuanto?

9 A 100m J De la misma forma resolvemos para julia 10,2s Estudiemos primero el caso de Ana Por otro lado También sabemos que También sabemos que Y que Y que Sustituyendo en esta ecuación tenemos Sustituyendo en esta ecuación tenemos 9

10 Un movimiento parabólico es un ejemplo de un movimiento a aceleración constante. Todo cuerpo o partícula puede ser considerado como proyectil, este para saber quien de las dos va adelante movimiento se caracteriza por ser un en la marca de 6 s movimiento al cual se le suministra al Ana cuerpo o partícula una velocidad inicial y el cual es lanzado con un cierto ángulo y describe una trayectoria parabólica la cual esta influenciada durante su recorrido sólo por la aceleración de la gravedad, la cual se considerara constante. Existe el caso de movimiento parabólico donde el ángulo de Para Julia lanzamiento sea cera (se lanza horizontalmente), pero esto debe ocurrir al lanzarse sobre una superficie elevada. Finalmente Ana va delante por 2,6m MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES En este capitulo vamos a estudiar movimientos en dos dimensiones, entre los cuales se encuentran: el lanzamiento de proyectiles, movimiento circular y movimiento Relativo. Primero hallemos las componentes de la velocidad inicial del movimiento Movimiento parabólico o lanzamiento de proyectiles. 10

11 Ahora determinemos la ecuación para Altura máxima determinar la velocidad en cualquier La altura máxima ocurre cuando el instante de tiempo en el eje x o y. tiempo es máximo g Donde: Ya que =0 (3) Si queremos hallar la velocidad total en cualquier instante La posición x de la partícula en cualquier instante Rapidez de la partícula en cualquier instante de tiempo (6) Tiempo máximo El tiempo máximo es le tiempo que tarda la partícula u objeto en alcanzar su máxima altura (momento en el cual su velocidad en y es cero) Entonces La posición inicial de la partícula es cero y la aceleración en el eje x es cero ya que el movimiento parabólico solo esta acelerado en el eje y debido a la aceleración. Hacemos (10) Tiempo de vuela 11

12 El tiempo de vuelo es el tiempo cuando la a) A qué velocidad inicial deberá el partícula vuelve a pasar por el mismo jugador lanzar el tiro de castigo? nivel de referencia desde el que salió y se b) Qué tiempo tarde en llegar la pelota define como dos veces el tiempo máximo a la cesta? (2) c) Cuál es la velocidad de la pelota al instante de entrar a la cesta? Alcance máximo Solución El alcance máximo es la distancia horizontal que la partícula recorre hasta que pasa de nuevo por el mismo nivel de referencia que fue lanzado pies 7 pies 13 pies Finalmente Finalmente hallemos la ecuación de la trayectoria Es Ejercicios de movimiento parabólico Un jugador de baloncesto lanza la pelota, formando un ángulo de 55 con la horizontal: calcular b) 12

13 c.) + 45 X1 X2 Finalmente D a. Para los 45 es el alcance máximo 2. Un jugador de beisbol que lanza una pelota desde el jardín suele dejar que la pelota de un bote en el piso con base en la teoría de que la pelota llegará más rápido de esta manera. Suponga que la pelota golpea el suela a un ángulo θ y después rebota al mismo ángulo pero pierde la mitad de su velocidad. a) Suponiendo que la pelota siempre se lanza con la misma velocidad inicial, A qué ángulo θ debe lanzarse para que recorra la misma distancia D con un bote que con un lanzamiento dirigido hacia arriba a 45 que llega al blanco sin botar. b) Determine la razón de tiempos correspondientes a lanzamientos de un bote y sin bote. Sin rebote Con rebote D = X1 +X2 Ahora sustituyendo tenemos Igualando con la primera ecuación 13

14 3) Un cañón antitanques esta ubicado en el borde de una meseta a una altura de 60m sobre la llanura que la rodea. La Finamente cuadrilla del cañón avista un tanque enemigo estacionado en la llanura a una distancia horizontal de 2,2 km del b. Sin rebote cañón. En el mismo instante, la c. tripulación del tanque ve el cañón y comienza a escapar en línea recta de éste con una aceleración de 0,900 m/. Si el cañón antitanque dispara Con rebote un obús con una velocidad de 240 m/s y un ángulo de elevación de 10 sobre la horizontal. Cuánto tiempo esperaran los operarios del cañón antes de disparar para darle al tanque? Ahora la razón de los tiempos es Solución Supongamos que el cañón se desplaza una distancia a partir de donde estaba estacionado hasta que fue impactado por el obús. Y que X sea la 14

15 distancia total desde donde sale el obús hasta donde impacta el tanque. Utilicemos la ecuación de la trayectoria El tiempo que le toma al proyectil llegar allí es: Finalmente el tiempo que debe esperar el operador del cañón es. X= 2349,6 m La distancia que recorre le tanque hasta el punto de impacto es Por otro lado el tiempo que le toma al tanque llegar allí es: Donde es la aceleración del tanque y es el tiempo del tanque 15 Movimiento circular Estudiaremos ahora el caso especial en que la partícula se mueve en una trayectoria circular con una rapidez constante (magnitud de la velocidad) y una aceleración constante en magnitud ya que tanto la velocidad como la aceleración cambian de dirección constantemente, este tipo de movimiento se llama movimiento circular uniforme. Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto durante su reproducción en el equipo de música, las manecillas de un reloj o las ruedas de una motocicleta

16 son ejemplos de movimientos circulares; revoluciones en la circunferencia, según es decir, de cuerpos que se mueven la siguiente manera. describiendo una circunferencia. En este caso particular de movimiento circular uniforme la partícula se mueve a velocidad constante en magnitud donde su dirección esta cambiando constantemente y esto de debe a una aceleración denominada aceleración centrípeta o aceleración radial y se determina de la siguiente manera. Donde el arco descrito como s se llama arco de circunferencia y se determina por Donde Y esto nos da el ángulo medido en radianes (rad). Como tanto la longitud de arco como el radio deben medirse en las mismas unidades entonces el radian resulta ser un número sin unidades. Este valor de radianes los podemos transformar en grados y en vueltas o En la figura (a) observamos que el punto p1 es la posición de la partícula en un 16

17 tiempo t1 cualquiera, y el punto p2 es la Por trigonometría sabemos que para posición de la partícula en un tiempo ángulos pequeños en radianes tenemos, mientras que la velocidad v1 que, entonces finalmente es la tangente a la curva en la posición p1 y la velocidad v2 es la tangente a la curva en la posición p2, como en este movimiento la velocidad es constante en magnitud entonces vi y v2 son iguales en magnitud y podemos observar por definición de arco de circunferencia que el segmento de curva p1p2 es igual a y como la velocidad es constante y t pequeño Entonces tenemos que: Por otro lado podemos observar el la figura (b) que, de donde Por definición sabemos que la magnitud de la aceleración es: Entonces podemos finalmente definir a la aceleración centrípeta como Y su dirección siempre es apuntando hacia el centro del circulo en el que se mueve la partícula y sus unidades están dadas en. El tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa o una revolución se llama periodo (T) y se calcula como: El periodo también se define como: Dividiendo ambos términos entre dos (2) tenemos que: 17 Donde F se denomina frecuencia Se denomina frecuencia (F) de un movimiento circular al número de revoluciones, vueltas o ciclos completos durante la unidad de tiempo. La unidad

18 utilizada para cuantificar (medir) la frecuencia Acá aparecen dos términos nuevos los de un movimiento es el hertz (Hz), que indica cuales son la velocidad angular y la el número de revoluciones o ciclos por cada segundo. aceleración angular La velocidad angular es la tasa de También existe otro movimiento circular el variación del desplazamiento angular y cual no es uniforme el cual se caracteriza por puede ser descrito por la relación cambiar su velocidad tanto en magnitud como dirección durante el recorrido circular de la partícula. Y su dirección esta determinada por la regla de la mano derecha r Donde es la aceleración total Donde La aceleración angular es la medida de la variación de la velocidad angular en relación con el tiempo Y su dirección esta determinada por la regla de la mano derecha Existe también una relación entre estas magnitudes lineales y angulares dada por: Derivando esta ecuación respecto al tiempo 18

19 Volviendo a derivar tenemos la aceleración Si derivamos esta posición respecto del tiempo tenemos la velocidad relativa y al derivar esta tendremos la aceleración Movimiento relativo En este tipo de movimiento consideramos a la partícula desde el punto de vista de tres observadores diferentes dos de los cuales son móviles y uno fijo Al igual que la posición Derivando la velocidad A B Ejercicios Una pelota oscila en un círculo vertical en el extremo de una cuerda de 1,5 m de largo. Cuando se encuentra en el punto A, en θ = 37 del punto más bajo en su trayectoria, la aceleración de la pelota es m/. Para este instante, Donde los puntos A y B representas dos objetos que se están moviendo respecto al punto O donde se encuentra un observador fijo. Entonces los vectores posición a) Dibuje el diagrama vectorial que muestra las componentes de su aceleración b) Determine la magnitud de su aceleración centrípeta c) Determine la magnitud y dirección de su velocidad De igual manera Y 19 22,5m/ 20,2 m/

20 b) que tan lejos, aguas abajo, llega el bote a la otra orilla m Y su magnitud es b. A 37 de la horizontal 2) un bote cruza un rio de 160 m de ancho, b. X el rio tiene una velocidad constante de 1,5 m/s en dirección este respecto a la orilla. El 160 piloto mantiene el bote a velocidad constante respecto del rio a 2 m/s perpendicular al mismo. Determinar: a) cual es la velocidad del bote respecto a la tierra? 20