Movimiento Circular. Mauricio A. Briones Bustamante SEMESTRE I Liceo de Hombres Manuel Montt Física Común - Tercero Medio.

Transcripción

1 Liceo de Hombres Manuel Montt Física Común - Tercero Medio SEMESTRE I 2018

2 Movimiento circular uniforme Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva, la dirección de su velocidad cambia. Cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, tiene un movimiento circular uniforme. Un automóvil que da vuelta a una curva de radio constante con rapidez constante, un satélite en órbita circular y un patinador que describe un círculo con rapidez constante son ejemplos de este movimiento (Figura 1). No hay componente de aceleración paralela (tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidez cambiaría. El vector de aceleración es perpendicular (normal) a la trayectoria y, por lo tanto, se dirige hacia adentro ( nunca hacia fuera!) al centro de la trayectoria circular. Esto causa el cambio en la dirección de la velocidad, sin cambiar la rapidez.

3 Movimiento circular uniforme Figura : Un automóvil con movimiento circular uniforme. La rapidez es constante y la aceleración se dirige hacia el centro de la trayectoria circular.

4 Movimiento circular uniforme Podemos definir la aceleración radial a rad = v 2 R. (1) Agregamos el subíndice rad para recordar que la dirección de la aceleración siempre sigue un radio del círculo, hacia su centro. Como la rapidez es constante, la aceleración siempre es perpendicular a la velocidad. Esto se muestra en la Figura 2. En conclusión, en el movimiento circular uniforme, la magnitud a de la aceleración instantánea es igual al cuadrado de la velocidad v dividido entre el radio R del círculo; su dirección es perpendicular a v (velocidad tangencial) y hacia adentro sobre el radio. La aceleración siempre apunta al centro del círculo, en ocasiones se le llama aceleración centrípeta. La palabra centrípeta significa que busca el centro en griego. La Figura 3 muestra las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración en varios puntos para una partícula con movimiento circular uniforme.

5 Movimiento circular uniforme Figura : Representación de la aceleración radial.

6 Movimiento circular uniforme Figura : Representación de la aceleración radial.

7 Movimiento circular uniforme También podemos expresar la magnitud de la aceleración en un movimiento circular uniforme en términos del periodo T del movimiento, el tiempo de una revolución (una vuelta completa al círculo). En un tiempo T, la partícula recorre una distancia igual a la circunferencia 2πR así que su rapidez tangencial es v = 2πR T. (2) Así, la aceleración radial se puede escribir de la forma a rad = 4π2 R T 2. (3)

8 Ejemplo 1: Movimiento circular uniforme Un automóvil deportivo Aston Martin V8 Vantage tiene una aceleración lateral de 0.96 g, que es (0.96)(9.8m/s 2 ) = 9.4 m/s 2. Ésta es la aceleración centrípeta máxima que puede lograr el auto sin salirse de la trayectoria circular derrapando. Si el auto viaja a 40 m/s, cuál es el radio mínimo de curva que puede describir? (Suponga que no hay peralte.)

9 Ejemplo 2: Movimiento circular uniforme En un juego mecánico, los pasajeros viajan con rapidez constante en un círculo de 5.0 m de radio, dando una vuelta completa cada 4.0 s. Qué aceleración centrípeta tienen?

10 Movimiento circular uniforme: ángulos en radianes Al describir un movimiento circunferencial, la forma más natural de medir el ángulo θ no es en grados, sino en radianes. Como se muestra en la Figura 4 a, un radián (1 rad) es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo. En la Figura 4b, un ángulo θ es subtendido por un arco de longitud s en un círculo de radio r. El valor de θ (en radianes) es igual a s entre r θ = s s = rθ. (4) r Un ángulo en radianes es la razón de dos longitudes, así que es un número puro, sin dimensiones. Si s = 3.0 m y r = 2.0 m, entonces θ = 1.5, pero a menudo escribiremos esto como 1.5 rad para distinguirlo de un ángulo medido en grados o revoluciones.

11 Movimiento circular uniforme: ángulos en radianes Figura : Medición de ángulos en radianes.

12 Movimiento circular uniforme: ángulos en radianes La circunferencia de un círculo (es decir, la longitud del arco que rodea el círculo) es 2π veces el radio, así que hay 2π (unos 6.283) radianes en una revolución completa (360 ). Por lo tanto, 1 rad = 360 2π = (5) Asimismo, 180 = π rad, 90 = π/2 rad, etcétera. Si insistiéramos en medir θ en grados, tendríamos que haber incluido un factor más (2π/360) en el lado derecho de s = rθ (ecuación 4). Al medir ángulos en radianes, mantenemos la relación entre el ángulo y la distancia a lo largo de un arco lo más sencilla posible.

13 Movimiento circular uniforme: velocidad angular En la Figura 5a una ĺınea de referencia OP en un cuerpo que gira forma un ángulo θ 1 con el eje +x en el instante t 1. En un instante posterior t 2, el ángulo cambió a θ 2. Definimos la velocidad angular media ω med z del cuerpo en el intervalo t = t 2 t 1 como la razón del desplazamiento angular θ = θ 2 θ 1 en t: ω med z = θ 2 θ 1 t 2 t 1 = θ t. (6) El subíndice z indica que el cuerpo de la Figura 5b está girando en torno al eje z, que es perpendicular al plano del diagrama.

14 Movimiento circular uniforme: velocidad angular Figura : a) Desplazamiento angular θ de un cuerpo en rotación. (b) Cada parte de un cuerpo en rotación tiene la misma velocidad angular θ/ t.

15 Movimiento circular uniforme: velocidad angular Cuando nos referimos simplemente a velocidad angular hablamos de la velocidad angular instantánea, no de la velocidad angular media. La velocidad angular ω z puede ser positiva o negativa, dependiendo de la dirección en que gire el cuerpo. La rapidez angular ω, es la magnitud de la velocidad angular. Al igual que la rapidez ordinaria (lineal) v, la rapidez angular nunca es negativa. La velocidad angular es positiva si el cuerpo gira en la dirección de θ antihoraria, y negativa si lo hace en la dirección de θ horaria. Si el ángulo de θ está en radianes, la unidad de velocidad angular es el radián por segundo (rad/s). Suelen usarse otras unidades, como revoluciones por minuto (rev/min o rpm). Puesto que 1 rev = 2π rad, dos conversiones útiles son 1 rev/s = 2π (rad/s) y 1 rev/min = 1 rpm = 2π 60 rad/s.

16 Movimiento circular uniforme: velocidad angular como un vector ω z es la componente z de un vector de velocidad angular ω dirigido a lo largo del eje de rotación. Como muestra la Figura 6a, la dirección de ω está dada por la regla de la mano derecha Si la rotación es sobre el eje z, ω sólo tiene componente z, la cual es positiva si ω apunta en la dirección +z y negativa si ω apunta en la dirección z (Figura 6b).

17 Movimiento circular uniforme: velocidad angular como un vector Figura : Regla de la mano derecha para determinar la dirección del vector de velocidad angular ω. Si se invierte el sentido de la rotación, se invierte la dirección de ω. b) El signo de ω z de la rotación a lo largo del eje z.

18 Movimiento circular uniforme: aceleración angular Si cambia la velocidad angular de un cuerpo rígido, tiene una aceleración angular. Cuando una persona pedalea una bicicleta con más vigor para hacer que las ruedas giren más rápidamente, o aplica los frenos para detener las ruedas, se produce una aceleración angular sobre éstas. También se produce una aceleración angular cuando alteramos la rapidez de rotación de una pieza giratoria de una maquinaria, como el cigüeñal del motor de un automóvil. Si ω 1z y ω 2z son las velocidades angulares instantáneas en t 1 y t 2, definimos la aceleración angular media α med z en el intervalo t = t 2 t 1 como el cambio de la velocidad angular dividido entre t (Figura 7): α z = ω 2z ω 1z t 2 t 1 = ω z t. (7)

19 Movimiento circular uniforme: aceleración angular Figura : Cálculo de la aceleración angular media de un cuerpo rígido que gira.

20 Movimiento circular uniforme: aceleración angular como un vector Así como hicimos con la velocidad angular, resulta útil definir un vector de aceleración angular α. Matemáticamente, α es la derivada con respecto al tiempo del vector de velocidad angular ω. Si el objeto gira en torno al eje z fijo, α sólo tiene componente z; la cantidad α z es precisamente esa componente. En este caso, α apunta en la misma dirección que ω si la rotación se está acelerando, y en la dirección opuesta si se está frenando (Figura 8).

21 Movimiento circular uniforme: aceleración angular como un vector Figura : Cuando el eje de rotación es fijo, los vectores de aceleración angular y velocidad angular están sobre ese eje.

22 MCU con aceleración angular constante Podemos establecer las ecuaciones que describen un movimiento circunferencial con α z constante tomando el intervalo de 0 a t. Relacionando la cinemática rectíĺınea en una dimensión con la cinemática de una martícula que describe un MCU, podemos obtener las ecuaciones para α z constante (ver tabla de la Figura 9). Figura : Comparación del movimiento lineal y angular con aceleración constante.

23 Relación entre cinemática lineal y angular Como sabemos, θ/ t es el valor absoluto de la razón de cambio del ángulo, que es la rapidez angular instantánea ω, es decir, la magnitud de la velocidad angular instantánea en rad/s. Así, v = 2πR T = ( 2π T ) R = ωr. (8) donde ω = 2π/T es otra forma de escribir la rapidez angular medida en rad/s. La variable T es el periodo, se mide en segundos y es el tiempo en que tarda la partícula en dar una revolución o vuelta completa.

24 Relación entre cinemática lineal y angular Cuanto más lejos del eje esté un punto, mayor será su rapidez lineal. La dirección del vector de velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria circular. La componente de la aceleración de la partícula que está dirigida hacia el eje de rotación, la componente centrípeta de aceleración a rad, está asociada con el cambio de dirección de la velocidad de la partícula. Podemos expresar esto en términos de ω: a rad = v 2 R = ω2 R. (9)

25 Movimiento circular no uniforme En esta sección, hemos supuesto que la rapidez de la partícula es constante. Si la rapidez varía, tenemos un movimiento circular no uniforme. Un ejemplo es un carro de montaña rusa que frena y se acelera al moverse en un lazo vertical. Dado que la rapidez v tiene diferentes valores en diferentes puntos del movimiento, a rad no es constante. La aceleración radial (centrípeta) es mayor donde la rapidez es mayor. En el movimiento circular no uniforme también hay una componente de aceleración paralela a la velocidad instantánea. Sabemos que la componente de aceleración tangencial a tan es igual a la tasa de cambio de la rapidez. Entonces, a rad = v 2 R y a tan = v t. (10)

26 Movimiento circular no uniforme El vector de aceleración de una partícula que se mueve con rapidez variable en un círculo es la suma vectorial de las componentes de aceleración radial y tangencial. Esta última tiene la dirección de la velocidad si la partícula está acelerando, y la dirección opuesta si está frenando (ver Figura 10). En el movimiento circular uniforme, la aceleración no tiene componente tangencial; no obstante, la componente radial es la magnitud de v/ t.

27 Movimiento circular no uniforme Figura : Partícula que se mueve en un lazo vertical, como un carrito de montaña rusa, con rapidez variable.

28 Aceleración lineal en un movimiento circular no uniforme Podemos representar la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo en términos de sus componentes centrípeta y tangencial, a rad y a tan. Vimos que la componente tangencial de aceleración a tan, la componente paralela a la velocidad instantánea, actúa cambiando la magnitud de la velocidad de la partícula (su rapidez) y es igual a la razón de cambio de la rapidez. Así, a tan = v t = R ω = Rα. (11) t Esta componente de la aceleración de una partícula siempre es tangente a la trayectoria circular de la partícula.