Física y Química 4ºESO

Transcripción

1 CINEMÁTICA 1. Generalidades La Cinemática es el estudio del movimiento sin atender a las causas que lo producen. Para estudiar el movimiento es necesario emplear un determinado tipo de magnitudes, por ello, es necesario hacer una clasificación de estas. Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes escalares son aquellas que para definirlas solo basta su valor numérico o intensidad. Son ejemplos de estas, el tiempo, la masa, la temperatura, etc. Las magnitudes vectoriales son aquellas que se describen mediante un vector. Un vector tiene 4 características que son, su punto de aplicación, la dirección, el sentido y el valor numérico o módulo. Su representación es mediante una flecha. Ejemplos de estas magnitudes son, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Todas estas magnitudes que veremos en este tema. Sistema Internacional de Unidades En el estudio de la Cinemática, como de cualquier parte de la física, es conveniente expresar todas las unidades de las magnitudes físicas que intervengan en el mismo sistema de unidades. Nosotros utilizaremos el Sistema Internacional de Unidades (SI). En este sistema la longitud se expresa en metros, m, y el tiempo en segundos, s. Tanto la longitud como el tiempo son magnitudes fundamentales y a partir de ella definiremos todas las magnitudes que salgan en este tema. Cómo sabemos que un cuerpo se ha movido? Sabemos que un cuerpo se mueve si ha cambiado de posición y para saber si un cuerpo ha cambiado de posición, debemos elegir un sistema de referencia con el que dar coordenadas a las posiciones de ese cuerpo. El origen de este sistema de referencia debería estar en reposo. Por ejemplo si queremos ver como se mueve un coche en un circuito, el punto de referencia debería estar en cualquier punto del circuito pero nunca en otro coche que se estuviera moviendo. El problema es que no existe en el Universo nada que esté en reposo, por tanto debemos elegir un sistema de referencia en reposo relativo. Sistema de referencia Para dar coordenadas a las posiciones de un móvil (cuerpo que se mueve) elegiremos un sistema de referencia cartesiano. A partir de ahora nos referiremos al plano, por tanto para definir la posición de un móvil tendremos que dar dos coordenadas (x,y). Cada posición del móvil vendrá descrita por un vector de posición r, que será un vector cuyo origen es el punto (0,0) y su destino las coordenadas del móvil en ese momento. José Manuel Aranda Cinemática 1

2 Instante e intervalo de tiempo El tiempo es una magnitud que habrá que medir para estudiar el movimiento. Debemos por tanto distinguir entre instante de tiempo (valor que marca el aparato de medida en un momento dado) e intervalo de tiempo ( t) que es el tiempo transcurrido entre dos instantes determinados llamados inicial y final: t = t 2 t Vector de posición, desplazamiento, trayectoria y espacio recorrido Supongamos que un cuerpo se ha pasado de la posición 1 a la posición 2 (inicial y final), es decir que se ha movido. Podemos representar los vectores de posición como se muestran en la siguiente ilustración. (Los vectores se representan mediante una letra con una flecha encima o también en negrita) posición 2 con r 2. Observamos en la ilustración que cada posición del móvil se describe mediante un vector de posición. Cuando se encuentra en la posición 1 con r 1 y cuando se encuentra en la a r 2 r 1 es decir, incremento de r, r, se le llama desplazamiento que es una magnitud vectorial que nos indica lo que se ha desplazado el móvil. En la siguiente ilustración vemos diferentes caminos para llegar de 1 a 2. El camino que sigue un móvil para desplazarse se llama trayectoria (línea que une las posiciones sucesivas por las que pasa el móvil). Un movimiento se puede hacer con muchas trayectorias diferentes. En cambio desplazamiento solo hay uno que es el indicado por su vector. Podemos definir el desplazamiento de un móvil en un intervalo de tiempo como la diferencia entre las posiciones que ocupa en el instante final y en el instante inicial. El espacio recorrido (s) es la longitud que recorre medida sobre la trayectoria. 3. Velocidad La velocidad es una magnitud derivada muy importante para el estudio del movimiento. José Manuel Aranda Cinemática 2

3 En general es el cociente entre un espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo. Al ser una magnitud vectorial hay que representarla como un vector. El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria. Tenemos que distinguir entre velocidad media y velocidad instantánea. La velocidad media (v m ) se define como el cociente entre el desplazamiento que ha tenido lugar y el intervalo de tiempo empleado para ello. La velocidad instantánea (v) es l velocidad que tiene un móvil en un instante de tiempo dado. En el SI la velocidad se mide en m/s. Supongamos que la trayectoria de un móvil sea una línea recta. Podemos calcular el valor de la velocidad media de la siguiente forma: vv mm = xx tt = xx 2 xx 1 tt 2 tt 1 Una velocidad positiva indica que el móvil se desplaza hacia la derecha con respecto al punto de referencia, y una velocidad negativa, que se mueve hacia la izquierda. A efectos prácticos para calcular una velocidad media de un trayecto tendremos que dividir el espacio total recorrido y dividirlo por el tiempo empleado. El cálculo de la velocidad instantánea requiere conceptos de un curso superior. Ejercicio resuelto 1 Calcular la velocidad media de un automóvil que partiendo a las 10:00 h recorre un trayecto de 120 km llegando a su destino a las 11:30 h. Expresar la velocidad en km/h y m/s. El tiempo empleado será t= 11:30 10:00 = 1h30 = 1,5 h El espacio total recorrido son 120 km Luego: v m = 120/1.5 = 80 km/h Vamos a pasar esta velocidad a m/s, que es la unidad del S usando fracciones unitarias. 80 kkkk h 1000 mm 1 kkkk 1 h 3600 ss = 22,2 mm ss 4. Aceleración Para describir los cambios de velocidad de un movimiento debemos definir la aceleración media como el cociente entre la variación de velocidad experimentada por el móvil y el intervalo de tiempo invertido en esa variación. José Manuel Aranda Cinemática 3

4 aa mm = vv tt = vv 2 vv 1 tt 2 tt 1 Física y Química 4ºESO Una aceleración negativa implicaría un movimiento en el que disminuye la velocidad, y si es positiva que aumenta la velocidad. La aceleración se expresa en el SI en m/s 2 y también es una magnitud vectorial. En este tema estudiaremos movimientos con aceleración constante. Ejercicio resuelto 2 Un móvil que se desplaza a 20 m/s aumenta su velocidad a 45 m/s en un tiempo de 5 s. Calcula la aceleración. Aplicando la ecuación de la aceleración tenemos que: aa = = 5 mm ss 2 5. Movimientos Rectilíneos Los movimientos rectilíneos son aquellos en los cuales la trayectoria es una línea recta y por tanto coincide con el desplazamiento MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU) En este movimiento la velocidad es constante (no hay que olvidar que cuando una magnitud vectorial es constante, lo es en módulo, dirección y sentido) Ecuación del movimiento: x = x 0 + v. t x, es la posición del móvil en un instante de tiempo, t es el instante de tiempo, v la velocidad y x 0 la posición inicial del móvil. Si el móvil parte del punto de referencia x 0 =0. Ejemplo: Un móvil que se mueve a una velocidad constante de 20 m/s y partió del punto de referencia tiene como ecuación: x = 20t Dándole valores al tiempo podemos ver las distintas posiciones que tiene el móvil. Cuando solo nos interesan espacios recorridos en MRU omitiendo el carácter vectorial, podemos hablar de rapidez (valor numérico de velocidad sin indicar dirección), entonces se suele sustituir la x de la ecuación por la s de espacio, quedando entonces de la siguiente forma: s = s 0 + v.t José Manuel Aranda Cinemática 4

5 Gráficas del movimiento: En la gráfica x-t se observa que la ecuación del MRU es lineal, es decir su representación gráfica es una línea recta cuya pendiente es la velocidad MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) En este movimiento la aceleración es constante. Ecuaciones del movimiento: xx = xx 0 + vv 0. tt + 1 aa. tt2 2 vv = vv 0 + aa. tt Combinado las ecuaciones anteriores sale la siguiente que puede resultar muy útil: vv 2 = vv aa. (xx xx 0 ) En estas x 0 y v 0 son respectivamente la posición y velocidad inicial. En un movimiento rectilíneo sin cambio de sentido el desplazamiento y el espacio recorrido coinciden y las ecuaciones pueden expresarse en función del espacio obteniendo las siguientes ecuaciones: ss = ss 0 + vv 0. tt + 1 aa. tt2 2 vv = vv 0 + aa. tt vv 2 = vv aa. ss Gráficas del movimiento: José Manuel Aranda Cinemática 5

6 La gráfica x-t nos muestra que la función del desplazamiento es cuadrática dando como resultado la gráfica de media parábola ( por qué no se representa la otra media parábola?). La gráfica v-t corresponde a una función lineal donde v 0 es la ordenada en el origen y la aceleración es la pendiente. Ejercicio resuelto 3 Un móvil partiendo del reposo alcanza una velocidad de 25 m/s en 10 s y acelerando de forma uniforme. Calcular la aceleración y el espacio recorrido. Aplicando la ecuación de la velocidad vv = vv 0 + aa. tt Tenemos que: 25 = a; a = 25/10 = 2,5 m/s 2 Ahora aplicamos la ecuación del espacio s = s 0 + v 0. t + 1 a. t2 2 s = ½ (2, ) = 125 m Ejercicio resuelto 4 Un móvil que marcha a una velocidad de 20 m/s frena uniformemente hasta pararse. Si el espacio recorrido en la frenada es de 50 m. Calcular la aceleración del movimiento y el tiempo que tarda en pararse. En este caso tenemos como incógnitas la aceleración y el tiempo, por tanto si usamos las dos primeras ecuaciones del MRUV tendríamos que resolver un sistema de ecuaciones, en cambio si aplicamos la tercera ecuación no es necesario: vv 2 = vv aa. ss 0 = a; 0 = a; a = -400/100 = - 4 m/s 2 José Manuel Aranda Cinemática 6

7 Ahora aplicamos la primera ecuación v = v 0 + a. t 0 = 20 4t; t = -20/-4 = 5 s Ejercicio resuelto 5 Un móvil inicialmente en reposo alcanza una velocidad de 20 m/s en un tiempo de 10 s, posteriormente disminuye su velocidad a 10 m/s en 5 s, al final de estos mantiene esta velocidad durante 15 s para luego frenar hasta pararse en 20 s. Suponiendo que todos los cambios en el movimiento se realizan de forma uniforme. Calcular la velocidad media y representar la gráfica v-t. En el problema se reconocen 4 etapas. La primera etapa cuyos datos son: v 0 = 0; v = 20 m/s y t = 10 s es un MRUV Aplicando la ecuación v = v 0 + a.t y sustituyendo tendremos: 20 = a; donde a = 20/10 = 2 m/s2 Aplicando la ecuación x = v 0.t + ½ a.t 2 y sustituyendo tendremos: x=0+ ½ = 100 m La segunda etapa cuyos datos son: v 0 = 20 m/s; v = 10 m/s; y t = 5 s es un MRUV (retardado) Aplicando la ecuación v = v 0 + a.t y sustituyendo tendremos: 10 = a; donde a = (10-20)/5 = -2 m/s2 Aplicando la ecuación x = v 0.t + ½ a.t 2 y sustituyendo tendremos: x = 20.5 ½ 2.52 = 75 m La tercera etapa cuyos datos son: v = 10 m/s y t = 15 s es un MRU Aplicando la ecuación x = v.t; tendremos: x = = 150 m La cuarta etapa cuyos datos son: v 0 = 10 m/s; v = 0 m/s; y t = 20 s es un MRUV (retardado) Aplicando la ecuación v = v 0 + a.t y sustituyendo tendremos: 0 = a; donde a = - 10/20 = -0.5 m/s2 Aplicando la ecuación x = v 0.t + ½ a.t 2 y sustituyendo tendremos: José Manuel Aranda Cinemática 7

8 x = ½ 0,5.202 = 100 m Sumamos los espacios de cada etapa: = 425 m El tiempo total empleado es: = 50 s La velocidad media es: v m = 425/50 = 8,5 m/s 5.3. Movimientos rectilíneos baja la acción de la aceleración de la gravedad La Tierra ejerce sobre todos los cuerpos que están en su zona de influencia una fuerza que es de dirección radial y sentido hacia el centro y que se llama fuerza gravitatoria. Esta fuerza nos impulsa hacia el centro de la Tierra con una aceleración llamada aceleración de la gravedad, g, de valor promedio 9,8 m/s 2. Podemos distinguir dos MRUV en los que interviene la aceleración de la gravedad Caída libre Este es el caso de los cuerpos que se dejan caer desde una altura determinada. En este caso v 0 = 0, por tantos las ecuaciones del MRUV serán las siguientes: vv = gg. tt y h = 1 2 gg. tt2 donde g es la aceleración de la gravedad de valor 9,8 m/s 2 y h es la altura. Ejercicio resuelto 6 Se deja caer un objeto desde la azotea de un edificio tardando 4 s en llegar al suelo. Calcula la altura del edificio y la velocidad que lleva al llegar al suelo. Aplicando v = g.t; calculamos la velocidad de llegada v = 9,8. 4 = 39,2 m/s Aplicando h = 1 gg. 2 tt2 calculamos la altura h = 1 9, = 78,4 mm José Manuel Aranda Cinemática 8

9 Viendo las ecuaciones de la caída libre podemos observar que esta no depende de la masa. Es decir que cuerpos de distinta masa que caen de una misma altura tardan el mismo tiempo en caer Lanzamiento vertical En este caso la aceleración de la gravedad actúa frenando el ascenso por tanto las ecuaciones del movimiento serán: vv = vv oo gg. tt y h = vv 0 tt 1 2 gg. tt2 Ejercicio resuelto 7 Se lanza hacia arriba un objeto con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular la altura máxima alcanzada y el tiempo que tarda en llegar a ella. Cuando llegue a la altura máxima la velocidad será 0. Por tanto: 0 = 15-9,8.t; y despejando t = 15/9,8 = 1,53 s que es el tiempo en llegar a la altura máxima. Si lo sustituimos en la ecuación de la altura: h = 15. 1,53-1/2. 9,8. 1,53 2 = 11,48 m 6. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Sus características son: s La trayectoria es una circunferencia. La velocidad es constante en módulo. En el MCU es más fácil medir el ángulo girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido (espacio). Por esto se define la velocidad angular ω como la rapidez con que se describe el ángulo (ϕ): ϕ ϕ ϕ t t t 2 1 ω= = 2 1 R ϕ El ángulo en el S.I. se mide en radianes: longitud arco (m) s ϕ (rad) = = radio circunferencia (m) R Un radián es por tanto el ángulo tal que hace coincidir la longitud del arco con el radio de la circunferencia. Las equivalencias con otras unidades son: 1 vuelta (revolución) = = 2 π radianes Entre la velocidad angular y la velocidad línea existe la siguiente relación: v = ω. r La ecuación del MCU es: ϕ = ϕ 0 + ω. t José Manuel Aranda Cinemática 9

10 En el Sistema Internacional (S.I.) la velocidad angular se mide en rad/s o en 1/s (s -1 ), el radian no tiene dimensiones. Otras unidades ( no S.I.) son: vueltas/s y revoluciones = r.p.m min Para convertir vueltas o grados a radianes seguimos el siguiente procedimiento: 0 ππ rrrrrr 30 = ππ rrrrrr 0,9 vvvvvvvvvvvvvv 2ππ rrrrrr 1 vvvvvvvvvv = 1,8ππ rrrrrr = 5,65 rrrrdd El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, ya que se repite a intervalos regulares de tiempo. Se denomina periodo ( T ) al tiempo que el punto tarda en dar una vuelta (el movimiento vuelve a repetirse). Se denomina frecuencia ( f ) al número de vueltas que el punto da en un segundo (rev/s). Periodo y frecuencia son magnitudes inversamente proporcionales: 1 T = f ; f 1 = T ; El periodo se mide en segundos (s) y la frecuencia se mide en 1 s o Hz (hertzios) Teniendo en cuenta las definiciones de periodo, frecuencia y velocidad angular, se 2 π 1 ω= = 2π = 2πf puede poner: T T Ejercicio resuelto 7 Un móvil recorre una trayectoria circular de radio 2 m con una velocidad de 45 rev/min. Calcular: a) velocidad angular en el SI b) velocidad lineal c) frecuencia d) periodo a) 45 rrrrrr 2ππ rrrrrr 1 mmmmmm = 90ππ = 3ππ mmmmmm 1 rrrrrr 60 ss 60 2 rrrrrr ss b) vv = ωω. rr = 3ππ 2. 2 = 3ππ mm ss = 9,4 mm ss c) ff = ωω 2ππ = 3ππ 2.2ππ = 3 4 HHHH d) TT = 1 ff = 4 3 ss José Manuel Aranda Cinemática 10