Examen Cinemática 1º Bach

Transcripción

1 Examen Cinemática 1º Bach MODELO A t 1. Dada la ecuación vectorial de la posición de una partícula r( t ) ( t - 5 ) i ( t - 4t - 1) j, halla en unidades S.I. a. la velocidad en función del tiempo, v ( t ) b. la velocidad y su módulo a los 5 seundos c. la velocidad media entre t = 0 y t = seundos d. la aceleración y su módulo a los seundos e. la aceleración media entre t = 0 y t = 4 seundos t f. la ecuación de la trayectoria suponiendo que r( t ) ( - 5 ) i ( t - 1) j, de qué tipo de movimiento se trata?. A la vista de la siuiente ráfica, calcula: a. la aceleración en cada tramo b. la ecuación de la velocidad en cada tramo c. la ecuación del espacio recorrido en cada uno de los tramos suponiendo que se trata de un movimiento rectilíneo con el espacio inicial s 0 = 0 d. el espacio total recorrido a los, 5, 8 y 10 seundos e. la ráfica s frente a t. Sabiendo que el radio terrestre es de 678 km y su período de horas 56 minutos 4 seundos, calcula: a. su velocidad anular b. la velocidad lineal de un objeto situado en el ecuador c. la aceleración normal 4. Calcula la velocidad lineal a la que se desplaza un ciclista si sus ruedas, de 90 cm de diámetro, dan 6 vueltas cada 10 seundos 5. Con velocidad de 50 m/s y ánulo de lanzamiento de 0º se lanza un proyectil. Se pide a. el alcance máximo en la horizontal b. si en la mitad de su camino existe una colina de 1000 m de altura, choca con ella? c. En caso afirmativo, cómo podríamos llear con el proyectil al blanco primitivo disparando desde el mismo sitio y con el mismo cañón? 6. Desde lo alto del Empire State Buildin, de 81 m, se lanza verticalmente y hacia abajo una pelota de tenis, con velocidad de 5 m/s. Calcula: a. La velocidad con que llea al suelo b. El tiempo que tarda en llear c. la distancia al suelo, a los 5 seundos

2 t 1. Dada la ecuación vectorial de la posición de una partícula r( t ) ( t - 5 ) i ( t - 4t - 1) j, halla en unidades S.I. a. la velocidad en función del tiempo, v ( t ) La expresión de la velocidad instantánea se obtiene derivando el vector de posición, dr Por tanto, v(t) (t ) i (6t - 4) j m/s dr v(t) b. la velocidad y su módulo a los 5 seundos Sustituyendo en la expresión obtenida anteriormente, v(5) (5 ) i (6 5-4) j 7 i 6 j m/s Para calcular el módulo, v(5) m/s c. la velocidad media entre t = 0 y t = seundos r() - r(0) De la definición de velocidad media, v m - 0 Además, r() ( 5 ) i j i j y r(0) 5 i j r() - r(0) i j ( 5 i j ) 6 i 4 j Por tanto, v m i j - 0 d. la aceleración y su módulo a los seundos dv La expresión de la aceleración instantánea se obtiene derivando la velocidad, a(t) dv Por tanto, a(t) i 6j m/s Como es una manitud constante, su módulo no depende del tiempo, a m/s e. la aceleración media entre t = 0 y t = 4 seundos v(4) - v(0) De la definición de aceleración media, a m 4-0 Además, v(4) (4 ) i (6 4-4) j 6i 0j m/s, v(0) i - 4j m/s v(4) - v(0) 6 i 0 j (i 4 j ) 4i 4 j Por tanto, a m i 6 j m/s, que coincide con la aceleración instantánea por ser constante t f. la ecuación de la trayectoria suponiendo que r( t ) ( - 5 ) i ( t - 1) j, t Como x 5, y t 1, si despejamos t de la primera ecuación y sustituimos en la seunda, t x 5 t x 10 y = t 1 = (x + 10) 1 = 6x y = 6x - 9. de qué tipo de movimiento se trata?

3 Como la ecuación de la trayectoria es una línea recta y la aceleración es constante, se trata de un movimiento rectilíneo uniforme. A la vista de la siuiente ráfica, calcula: a. la aceleración en cada tramo La ecuación de la aceleración media es, prescindiendo del carácter vectorial, Aplicándola en cada uno de los tramos, obtenemos v()- v(0) 0 0 Tramo OA a1 10 m/s - 0 v(5)- v() Tramo AB a m/s 5 - v(7)- v(5) 0 0 Tramo BC a 0 m/s 7-5 v(10)- v(7) 0 0 Tramo CD a4 10 m/s 10-7 v(t ) - v(t a m t - t 1 1 ) b. la ecuación de la velocidad en cada tramo La ecuación de la velocidad entre dos intervalos t y t 0, con sus respectivas velocidades, v y v 0 es v = v 0 + a (t t 0) Aplicándola en cada uno de los tramos, tenemos que Tramo OA v = 10 t m/s Tramo AB 10 v 0 (t ) m/s Tramo BC v = 0 m/s Tramo CD v = 0 10 (t 7) m/s c. la ecuación del espacio recorrido en cada uno de los tramos suponiendo que se trata de un movimiento rectilíneo con el espacio inicial s 0 = 0 a(t t 0 ) La ecuación eneral del espacio recorrido es s s0 v 0 (t t 0 ) Aplicándola a cada uno de los tramos, tenemos que 10t Tramo OA s s 5t m Tramo AB Teniendo en cuenta que el espacio recorrido en el primer tramo es s = 5 = 0 m, y que éste es ahora el espacio inicial recorrido en el siuiente tramo, 10(t ) 5(t ) s 0 0(t ) s 0 0(t ) m Tramo BC Teniendo en cuenta que el espacio recorrido en el seundo tramo es 5(5 ) s 0 0(5 ) m 95 m, s = (t 5) m Tramo CD Teniendo en cuenta que el espacio recorrido en el tercer tramo es s = (7-5) = 155 m, 10(t 7) s 155 0(t 7), s = (t 7) 5 (t 7) m d. el espacio total recorrido a los, 5, 8 y 10 seundos

4 Hay que tener en cuenta en qué intervalo se encuentra cada uno de los instantes de tiempo anteriores, y usar la ecuación correspondiente. Para t = s usaremos la ecuación del tramo OA, para t = 5 s usaremos la del tramo AB, para t = 8 s usaremos la del BC y para t = 10 s la del tramo CD. t = s t = 5 s t = 8 s s = 5 t =0 m 5(5 ) s 0 0(5 ) s = (8 7) 5 (8 7) = 180 m m t = 10 s s = (10 7) 5 (10 7) = = 00 m e. la ráfica s frente a t. Sabiendo que el radio terrestre es de 678 km y su período de horas 56 minutos 4 seundos, calcula: a. su velocidad anular Sabemos que la velocidad anular es el cociente entre el ánulo irado y el tiempo empleado en hacerlo, t En nuestro caso, al tratarse de una vuelta completa de La Tierra, = rad Como el tiempo que tarda en dar una vuelta completa es t = h 56 m 4 s = s = s rad 5 Sustituyendo en la expresión de la velocidad anular, 7,9 10 rad / s t s b. la velocidad lineal de un objeto situado en el ecuador La relación entre la velocidad lineal y la anular es v = R y como en nuestro caso el radio de iro es el de La tierra, R = 678 km = 6, m Sustituyendo en la expresión correspondiente se obtiene que v = R = 7, rad / s 6, m v = 465,09 m / s 1674 km / h c. la aceleración normal

5 v Sabemos que la expresión que permite calcular la aceleración normal es a n R R Por tanto, sustituyendo en la expresión anterior, a n = (7, rad / s) 6, m =, m / s Es decir, a n =, m / s 4 mm / s 4. Calcula la velocidad lineal a la que se desplaza un ciclista si sus ruedas, de 90 cm de diámetro, dan 6 vueltas cada 10 seundos La relación entre la velocidad lineal y la anular es v = R. Por tanto, debemos calcular primero la velocidad anular, ya que el radio de iro es el de la rueda. Como el diámetro es 90 cm, el radio será 45 cm = 0,45 m Sabemos que la velocidad anular es el cociente entre el ánulo irado y el tiempo empleado en hacerlo, t Por tanto, 6 vueltas es equivalente a = 6 rad = 7 rad, que da en 10 s 7 rad 6 rad Sustituyendo en la expresión t 10 s 5 s 6 rad m m Finalmente, usando la expresión v = R = m,4 10,18 m / s 7 km / h 5 s s s 5. Con velocidad de 50 m/s y ánulo de lanzamiento de 0º se lanza un proyectil. Se pide a. el alcance máximo en la horizontal v sen En el problema anterior hemos deducido la expresión que permite calcular el alcance máximo x Sustituyendo los valores planteados v 0 sen (50 m / s ) sen60º x 55 m 9,8 m / s b. si en la mitad de su camino existe una colina de 1000 m de altura, choca con ella? 0 Lo primero que hay que hacer es obtener una expresión que nos permita calcular el tiempo que tarda el objeto en llear al punto más alto de la trayectoria, para lueo sustituirlo en la ecuación que nos da la coordenada y (altura). Sabemos que en el punto más alto de la trayectoria, la velocidad en el eje y es nula v 0 sen Como v y = v 0 sen - t = 0 t, tiempo que coincide con la mitad del tiempo total de vuelo Sustituyendo ahora este tiempo en la ecuación de la altura, t v 0 sen v 0 sen y v 0 sen t - v 0 sen v 0 Y sustituyendo los valores que tenemos y sen v 0 sen v 0 sen v 0 sen (50 m / s ) (sen0º ) 9,8 m / s v 0 sen 797 m Como la colina mide 1000 m y la altura máxima alcanzada es 797 m, sinifica que el proyectil chocará con ella v 0 sen c. En caso afirmativo, cómo podríamos llear con el proyectil al blanco primitivo disparando desde el mismo sitio y con el mismo cañón? Como se trata de llear al mismo sitio y con el mismo cañón, la velocidad inicial del cañón no variará, ni tampoco la ravedad. Por tanto, lo único que podemos variar es el ánulo de lanzamiento. Sabiendo que el ánulo complementario de 0º es 60º, esto sinifica que sen 0º = cos 60º y que sen 60º = cos 0º v 0 sen cos v 0 sen0º cos 0º Como x, cuando lanzamos con un ánulo de 0º x

6 mientras que si cambiamos el ánulo por su complementario, es decir, 60º, la expresión no cambia v 0 sen60º cos60º x, por lo que el proyectil lleará al mismo sitio. v 0 sen (50 m / s ) (sen60º ) Sin embaro, la altura máxima ahora será y 9,8 m / s Lo cual sinifica que supera la colina y alcanza el objetivo 9 m 6. Desde lo alto del Empire State Buildin, de 81 m, se lanza verticalmente y hacia abajo una pelota de tenis, con velocidad de 5 m/s. Calcula: a. La velocidad con que llea al suelo Como v v 0 h v v 0 h (5m / s ) 9,8 m/s 81m 87 m/s 1 km/h Como v v b. El tiempo que tarda en llear v v t t (86,56 5 ) m / s t 9,8 m / s 0 0 8, s c. la distancia al suelo, a los 5 seundos t 9,8 m / s (5s ) El espacio recorrido en 5 s es s v 0t 5 m/s5 s 147,5 m Esta distancia es la recorrida por la pelota a partir del lanzamiento. Como la altura del edificio es de 81 m, la distancia al suelo a los 5 s del lanzamiento será h = 81 m 147,5 m =,5 m